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Universidad Católica Andrés Bello Facultad de Ingeniería Cátedra: Laboratorio de Física Profesor: Oscar Rodríguez Prieto

Práctica #1 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

Autores: María Gabriela Bello

CI: 26194108

Caracas, junio de 2018

1

Objetivos -Objetivos Generales: 

Encontrar a través del método gráfico, la ley que gobierna el movimiento

-Objetivos Específicos:    

Estudiar el movimiento bajo la influencia de la gravedad. Calcular la Vo y el ángulo con el que sale la partícula del plano inclinado, a través del método de gráfico. Comparar la energía práctica con la energía teórica. Calcular la perdida de energía de la esfera. Introducción Teórica

Para ésta práctica es necesario de tener conocimiento de ciertos conceptos:        

Movimiento: cambio de posición de los cuerpos a lo largo del tiempo respecto a un sistema de referencia dado. Posición: vector que une el lugar ocupado por el cuerpo con el origen del sistema de referencia. Tiempo: parámetro para definir el movimiento, se mide en instantes, deltas; si hay cambio de posición en cambio de tiempo entonces hay movimiento. Desplazamiento: cambio de posición de un cuerpo con respecto a un sistema de referencia. Trayectoria: camino que recorre el cuerpo en el movimiento. Velocidad: cambio de posición a lo largo del tiempo. Aceleración: cambio de velocidad a lo largo del tiempo. Movimiento en dos dimensiones: movimiento de un cuerpo que se mueve con aceleración constante. El cuerpo en su trayectoria describe una parábola y está sujeto al campo gravitacional. Se puede analizar como un MRU en horizontal y un MRUA en vertical.

Marco teórico

Deducción de la ecuación que rige el Movimiento en dos dimensiones: La aceleración depende del cambio de la velocidad a medida que transcurre el tiempo, si este tiempo tiende a cero podemos hallar la aceleración instantánea. Aplicando el concepto de derivada tenemos que,

2

A=

ΔV ΔV ∂ V → lim = Δt ∂t ∆ t →0 Δ t

Luego, por integral definida obtenemos t

V

0

0

∂V t V → A . ∂t =∂V → A . ∫∂ t=∫ ∂ V → A . t ¿t =V ¿V → A . (t −t 0 )=V −V 0 A= ∂t V t 0

0

V =V 0 + A . ( t −t 0 ) (1)

Por otro lado la velocidad depende de la posición con respecto al tiempo, y si ese tiempo tiende a cero obtenemos la velocidad instantánea. Aplicando el concepto de derivada tenemos que, ∂ x Δ x Δx → lim = V= Δt ∆t→0 Δ t ∂ t Luego, por integral definida obtenemos t

V=

x

∂x → A . ∂ t =∂ x → V . ∫∂ t =∫ ∂ x ∂t x t 0

0

Ahora, reemplacemos V por la ecuación (1) y supondremos que to es 0 para facilitar la operación matemática t

x

t

t

x

( V 0 + A . t ) .∫ ∂ t =∫ ∂ x →V 0∫ ∂ t + A ∫ t . ∂t =∫ ∂ x → x0

t0

t0

t0

V 0 .t ¿tt + 0

x0

t x 1 A . t 2 ¿t =x ¿ x 2 0

0

V 0 . ( t−t0) + 1 A .( t−t 0 ) 2= x − x 0 →V 0 . t+ 1 A . t2=x −x 0 2 2 1 2 x ( t ) =x 0 +V o . t+ A X . t ( 2 ) 2 X

y ( t )= y 0+ V o .t + Y

1 A .t2 2 Y

(3)

Se coloca en “x” y en “y” porque el movimiento bidimensional con aceleración constante es un movimiento independiente en la dirección horizontal y la vertical. Principio de independencia del movimiento. También se hace referencia que en el movimiento horizontal no existe aceleración, es decir, AX = 0 m/s2 mientras que en el movimiento vertical la aceleración viene dada por la gravedad, es decir, A Y = g = 978 cm/s2. Para ambos movimientos se toma como to = 0 seg. Lo que dejaría las ecuaciones ( 2) y de la forma; 3

x ( t )=x 0 +V o . t (2.1) X

Lanzamiento de proyectil Movimiento en dos dimensiones donde el objeto es arrojado al aire, o dejado caer, con un ángulo denominado α. Esto hace que el objeto tenga su velocidad afectada por dicho ángulo de la forma;

De dicho diagrama se puede observar que la velocidad del objeto se puede descomponer en su componente horizontal y su componente vertical, lo que quedaría;

V o =V o ∙cos α(4) X

V o =V o ∙ sin α (5) Y

Despejando t de la ecuación (2.1) y sustituyendo la (4), nos queda que: t=

x− xo V o ∙ cos α

(6)

Ahora sustituyendo (5) y (6) en (3); y − y o =V o ∙sin α ∙

(

x− xo x− xo 1 + ∙g∙ V o ∙cos α 2 V o ∙ cos α

)

2

Simplificamos y tomamos en cuenta que el movimiento comienza en el origen 1 x2 y=tan α ∙ x+ ∙ g ∙ 2 2 2 V o ∙ ( cos α ) 4

Dividimos todo entre x para que la variable quede con potencia igual a 1 g y ∙ x +tan α(7) = x 2 ∙V o2 ∙ ( cos α )2 Hacemos un cambio de variable de la forma, y g U = ; C=tan αexp ; A= →(8) 2 2 x 2 ∙V o ∙ ( cos α ) exp

U= Ax+C(9) También debemos estudiar la energía perdida por el roce con el plano inclinado y la esfera de vidrio, para ello utilizaremos; 1 1 2 W PH−O = ∙m ∙V o 2− ∙m ∙V h 2 2 Donde Vh = 0 m/s y WPH-O = m.g.h, nos quedaría; 1 m∙ g ∙h= ∙ m ∙V o 2

2 TEO

→ V o = √ 2 ∙ g ∙ h(10) TEO

Despejando la Vo de la ecuación (8) obtenemos; Vo = exp

√g cos α ∙ √ 2 A

1 U TEO = ∙m ∙V o 2

2 TEO

1 ; U exp= ∙ m∙ V o 2

2 exp

1 U H −O = ∙ m ∙V o 2 ; U PESO=m ∙ g ∙ h 2 exp

1 1 2 U H −O =U PESO+∆ U → ∆ U = ∙m ∙V o − ∙ m∙ V o 2 2 exp

2 TEO

Parte experimental Materiales a utilizar:  Plano inclinado con ranura.  Repisa de madera.  Soportes. 5

       

Hojas blancas. Papel carbón. Regla. Plomada. Esfera de vidrio. Pabilo o hilo. Transportador. Tirro.

Procedimiento: Se realizó montaje del experimento, después se pegó una hoja blanca y papel carbón (para obtener la marca de donde golpea la esfera) sobre la placa receptora, luego de esto se colocó un tirro en el soporte para marcar todas las medidas en “y”, posteriormente se colocó en la primera medida (2 cm), se dejó caer 3 veces la esfera, a través del plano inclinado desde una altura “h” cualquiera, y se tomaron las 3 medidas en “x”, se repitió el mismo procedimiento en distintas medidas “y” hasta los 60 cm. Luego de realizar todas las medidas en “x” para cada medida en “y”, se midió la altura del plano inclinado y el ángulo que formaba este plano inclinado con respecto al plano horizontal. Presentación de las medidas realizadas Regla graduada: Apreciación de 0,1 cm Tabla datos: y (± 0,1 cm) 2,0 4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 50,0 60,0

x1 2,6 6,0 10,5 13,7 18,4 18,6 22,9 24,5 30,1 32,0 34,1 39,3

x (±0,1 cm) x2 2,3 6,2 11,2 13,7 17,4 19,1 23,0 25,0 27,0 33,6 35,2 38,5

x3 2,3 5,9 11,6 13,9 18,4 18,6 22,4 27,2 26,0 33,1 34,2 37,9

6

Análisis de datos y resultados.

Tabla #1: y (± 0,1 cm) 2 4 8 12 16 20 25 30 35 40 50 60

x1 2,6 6 10,5 13,7 18,4 18,6 22,9 24,5 30,1 32 34,1 39,3

x2 2,3 6,2 11,2 13,7 17,4 19,1 23 25 27 33,6 35,2 38,5

x (±0,1 cm) xpromedio x 3

2,3 5,9 11,6 13,9 18,4 18,6 22,4 27,2 26 33,1 34,2 37,9

Promedio de las medidas obtenidas en x: ´x =∑

2,40 6,03 11,10 13,77 18,07 18,77 22,77 25,57 27,70 32,90 34,50 38,57

∆x 0,15 0,15 0,55 0,1 0,5 0,25 0,3 1,35 2,05 0,8 0,55 0,7

(Para un punto)

medidas en x N ° de medidas

´x 2,0 cm=

2,6 cm +2,3 cm +2,3 cm =2,4 cm 3

Error de las medidas en x, al ser solo tres medidas; ∆ x= ∆ x 2,0 cm =

x MAX −x MIN 2

2,6 cm−2,3 cm =0,15 cm 2

Tabla #2: 7

y (± 0,1 cm) 2 4 8 12 16 20 25 30 35

Xpromedio

U (y/x)

UX

X2

2,4 6,03 11,1 13,77 18,07 18,77 22,77 25,57 27,7

0,83 0,66 0,72 0,87 0,89 1,07 1,10 1,17 1,26

1,992 3,9798 7,992 11,9799 16,0823 20,0839 25,047 29,9169 34,902

5,76 36,3609 123,21 189,6129 326,5249 352,3129 518,4729 653,8249 767,29

40 50 60

32,9 34,5 38,57 252,15

1,22 1,45 1,56 12,80

40,138 50,025 60,1692 302,308

1082,41 1190,25 1487,645 6733,674

SUMATORIAS Medidas para U (y/x) (Para un punto) U= U=

y x promedio

2 =0,83 cm 2,4

Medidas para UX (Para un punto) UX =U∗ X UX =0,83∗2,4= 1,992 cm

Medidas para X2 (Para un punto) X 2= X∗X

X 2=2,4∗2,4=5,76 cm

Por el método de los mínimos cuadrados y los datos experimentales obtenemos los valores de A y de C;

8

A=

n ∑ XY −∑ Y ∑ X

;

2 n ∑ X −(∑ X )

2

C=

∑ X 2 ∑ Y −∑ XY ∑ X 2 n ∑ X 2−(∑ X )

Evaluamos las ecuaciones con los valores correspondientes y obtenemos, A=

(12∗302,308 )−[ ( 12,80 )∗( 252,15 )] =0,02323 ( 12∗6733,674 ) −(252,15)²

C=

[( 6733,674 )∗( 12,80 )]−[ ( 302,308 )∗( 252,15 ) ]=0,57848 (12∗6733,674 )−(252,15)²

Calculamos el ángulo de salida teórico y práctico; Altura: 28,5 cm Base: 49,5 cm tan α TEO =

( )

altura 28,5 → αTEO =tan−1 =30,793 ° VALOR TEORICO base 49,5

−1 C=tan α exp → α exp=tan ( 0,57848 )=30,048 ° VALOR EXPERIMENTAL

Calculamos la velocidad inicial de salida de la esfera, teórico y práctico; A=

2 ∙V o

2 exp

g 978 = 2 2 2 ∙ (cos α ) 2 ∙ V o ∙ ( cos α exp ) exp

VEL. INICIAL EXPERIMENTAL Vo = exp

√ 978

cos 30,048∙√ 2 A

→

cm √ 978 =167.61 s cos 30,048 ∙ √2 ∙ 0,02323

VEL. INICIAL TEORICO V o =√2 ∙ g ∙ h= √2 ∙ 978 ∙30,793=245,421 teo

cm s

9

Ahora calcularemos el error del ángulo del plano inclinado con la mesa horizontal y de la velocidad inicial de la esfera,

|

% error=

|

Valorteo −Valor exp ∗100 Valor teo

− 30,048 |30,79330,793 |∗100= 2,42% 245,421−167.61 % error de la V =| |∗100=32,47 % 245,421 % error α =

o

Para finalizar, calcularemos la pérdida de energía de la esfera,

T1- ∆U = T2 ∆U = T1 - T2 1

2

1

2

∆U= 2 m. Vexp - 2 m . Vteo %∆U= %∆U=

Vexp 2−Vteo 2 x100 Vteo2

167.612− 245.4212 x100=53.35% 245.4212

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Análisis de Resultado Los resultados obtenidos a través del método de los mínimos cuadrados permitieron hallar las constantes con la que luego despejamos para conocer el ángulo y la velocidad inicial de la esfera al salir expulsada del plano(experimentales). En el papel milimetrado, graficar U en función de x se observó que era recta, es decir, lineal de la forma Y = mX + b Se obtuvo la velocidad inicial experimental que es un 32,47% menor a la teórica (Vo TEO = 245,421 cm/s ; Vo EXP = 167.61 cm/s), la diferencia de las mismas nos permite concluir que la esfera pierde energía por el roce que existe con el plano por donde se mueve; por otro lado el ángulo experimental hallado fue de 30.048° y comparándolo contra el ángulo teórico de 30,793°, sólo existe un error del 2.42%. También se toman en cuenta el error humano que pudo afectar toma de datos por varias imprecisiones en la medida, el movimiento de la placa de llegada, lanzamiento de la esfera, entre otros. Añadido a esto , se calculó la pérdida de energía de la esfera mediante las velocidades experimentales y teóricas, arrojando un 53.35% de pérdida de energía , es decir que la energía en la práctica es menor que la que se calcula teóricamente porque en la práctica influye el roce y hay menos energía.

Conclusión Se logró los objetivos fijados al principio de la experiencia, y se fortificó, por la práctica, el conocimiento del método de mínimos cuadráticos. Se llegó a la conclusión que es lineal la función, de la forma Y = mX + b, por sólo un cambio de variable. Ya que al graficar Y en función de X se observó una parábola, que es el movimiento que describe la esfera. La esfera pierde velocidad por el roce contra el plano y las imperfecciones que este tenga, la posición de la esfera al chocar con la placa es imprecisa pues la esfera pudo haber chocado contra la mesa por la posición del plano contra esta, también depende de la posición de la vertical y la manera de la toma de datos y mediciones con la regla graduada.

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Bibliografía Coronado, G., & Fernandez, J. (Abril de 2013). FísicaLab. Recuperado el 15 de junio de 2018 de https://www.fisicalab.com/tema/introduccionmovimiento#contenidos Mujica, P. (2016). Prácticas de Mecánica. Caracas: UCAB. Licenciada Ana González. Movimiento en Dos Dimensiones Recuperado el 15 de junio de 2018http://fisica4toantoniosandoval.blogspot.com/2014/10/movimiento-endimensiones.html

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