Física Tema 7 Movimiento en Dos Dimensiones con Aceleración Constante Versión pdf PDF

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO

CURSO DE FISICA TEMA 7: Movimiento en Dos Dimensiones con Aceleración Constante

CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO

Contenido MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES CON ACELERACION CONSTANTE. MOVIMIENTO DE PROYECTILES............................................................................................................................... 1 Movimiento de proyectiles de corto alcance. ........................................................................ 2 Ecuación de la trayectoria del proyectil ................................................................................. 4 Ejemplos ................................................................................................................................. 5

CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES CON ACELERACION CONSTANTE. MOVIMIENTO DE PROYECTILES.

En este movimiento, las magnitudes cinemáticas poseen dos componentes, por lo que  escribimos: r = xiˆ + yjˆ , vˆ = vxiˆ + vyjˆ y aˆ = axiˆ + ayjˆ .Si escogemos el plano x-y gráficamente se puede representar rˆ y vˆ por ejemplo tal como se muestra en la siguiente figura:

De igual forma gráficamente la aceleración se representa tal como se muestra la siguiente figura.

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO   En el instante f la velocidad instantánea se expresa como v = dr

dt

(primera derivada de r

respecto de t).

 d ˆ ˆ v = ( xi + yj) dt dy  dx v = ˆi + ˆj dt dt  v = vx iˆ + vy ˆj  Donde vx y v y son las componentes de ventor v . De igual forma para la aceleración instantánea en el tiempo t

  a = dv

dt

(segunda derivada de r respecto de t)

 d a = (v x iˆ+ v y jˆ) dt dv y ˆ  dv a = x iˆ + j dt dt  a = a xiˆ + a y ˆj

Un caso particular corresponde cuando ax = 0 (vx = constante) y ay =−g , denominado movimiento de proyectiles de corto alcance. Movimiento de proyectiles de corto alcance.  Se denomina proyectil a cualquier objeto lanzado oblicuamente al aire con una velocidadv0 , al quedar libre describe una trayectoria parabólica al estar sometido a la acción única de la gravedad. Un proyectil puede ser una pelota lanzada al aire, una piedra, una bola metálica lanzada por un atleta. Cada uno de estos proyectiles avanza simultáneamente tanto en la dirección horizontal como en la dirección vertical. Para analizar el movimiento de proyectiles, este se considera que está formado por la combinación simultanea de dos movimientos: un movimiento en a la dirección horizontal (M.R.U) en el cual vx es constante (ax = 0) y otro en la dirección vertical (M.R.U.V o movimiento con aceleración constante ay =−g = cte ). El estudio del movimiento de proyectiles se simplifica al hacer las siguientes consideraciones: 1) No se toma en cuenta la curvatura de la tierra. 2) Se desprecia la resistencia del aire. 3) Para que ay =−g sea constante, tanto las alturas como las distancias recorridas son pequeñas. 2

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La siguiente figura muestra la trayectoria de un proyectil que se lanzó con una velocidad  v0 = v0 xˆi + v0 y ˆj ; a un ángulo de disparo θ0 .

El

sistema

de

referencia se coloca  x0 = 0, y0 = 0 en t = 0; v0 = v0 xiˆ +v0 y jˆ

a

la

salida

del

proyectil

de

forma

que

Con v 0 x =v 0 cos θ0 y v 0 y =v 0sen θ0 . v   −1 vy En un tiempo t la velocidad es v = vx ˆi + vy ˆj ; v = vx 2 + vy 2 ; tan θ= y v y θ = tan ( v ). x

x

Horizontalmente:

vx = v 0x + ax t ; ax = 0 vx = v0x = v 0 cos θ0 = constante La localización del proyectil requiere calcular: x = v0 x t = ( v0 cos θ0) t 1 y = v0 y t − gt2 2  Que son componentes de r = xiˆ + yjˆ . En el movimiento de proyectiles hay dos posiciones importantes: La altura máximaY(max ) , en esta posición v y = 0 , ya que el proyectil deja de subir. El tiempo transcurrido desde la salida hasta él

Ymax se denomina tiempo de subida (t s ) . La otra posición se denomina alcance (R), que constituye

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO el valor de X cuando la salida del proyectil y la caída del mismo están al mismo nivel. El proyectil en este caso tarda un tiempo que se conoce como tiempo de vuelo (tv ).

Ecuación de la trayectoria del proyectil Se determina así: X = v0 x t = ( v0 cos θ0 ) t

t=

X v0 cos θ0

En este mismo tiempo el proyectil alcanza una altura “Y” que se expresa por: 1 Y =v 0 yt − gt 2 2 1 Y = (v0 senθ 0 )t − gt 2 2 Sustituyendo el tiempo: 1 x x ) − g( )2 Y = (v0 sen θ0 )( v 0 cos θ0 2 v 0 cos θ0

x2 1 ) Y = (tan θ0 )x − g ( 2 2 v 0 cos2 θ0 Y = (tan θ0 )x − (

g )x 2 2 2v 0 cos θ0 2

Luego Y=Ax-Bx2, representa la ecuación de una parábola en forma simplificada. Observe que la coordenada Y está en función de X. Se puede demostrar que el alcance

a partir de la ecuación de la trayectoria.   

  

Ya que cuando X=R entonces Y=0   

  

  

        

     

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La identidad trigonométrica del

. También se puede demostrar que

Para ello se calcula el :

Este se sustituye en:

  

  

  

  

Ejemplos Ejemplo 1. Determinar para que valor de

se cumple que R=Ymax

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≃

Ejemplo 2 Calcular el valor de

para cuando

Solución:

     

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO Ejemplo 3 Se lanza un proyectil desde el piso describiendo una trayectoria tal como se muestra en la figura. Cuando alcanza una altura de 9.1m alcanza una velocidad instantánea de un ángulo de

, que forma

con la horizontal.





Determinar: a) El valor de b) La velocidad del proyectil un instante antes de golpear el piso.

Solución: a)

Para

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b) El valor de

En el instante en que el proyectil golpea el suelo

El signo menos es porque tiene sentido hacia abajo. Los valores anteriores se ilustran en la siguiente.

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CURSO DE REFUERZO PARA ASPIRANTES A NUEVO INGRESO Figura.



⇒

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