IV. Tema. Movimiento en dos y tres dimensiones PDF

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Movimiento en dos y tres dimensiones...

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MOVIMIENTO EN DOS O TRES DIMENSIONES MOVIMIENTO DE PROYECTILES, MOVIMIENTO EN CÍRCULO Y MOVIMIENTO RELATIVO

ELABORADO POR: FABIÁN CHACÓN BENAVIDES

Contenido Introducción .............................................................................................................................................. 1 1.

Movimiento de Proyectiles ................................................................................................................. 1 1.1 Ejemplos.3 Resueltos de Movimiento de Proyectil......................................................................... 4

2.

3.

Movimiento Circular .......................................................................................................................... 7 2.1

Movimiento Circular Uniforme ................................................................................................. 8

2.2

Ejemplos del Movimiento Circular Uniforme .......................................................................... 9

Movimiento Relativo ........................................................................................................................ 10 3.1

Casos del movimiento relativo (Repaso) ................................................................................. 10

3.2

Movimiento Relativo en una dimensión .................................................................................. 12

3.2.1 3.3

Ejemplo de Movimiento Relativo en una Dimensión ..................................................... 12

Movimiento Relativo en dos dimensiones ............................................................................... 13

3.3.1

Ejemplo de Movimiento Relativo .................................................................................... 14

Introducción Los contenidos tratados en este documento son compuestos de conceptos desarrollados en los dos capítulos anteriores. A diferencia del capítulo 2, los cuerpos que estudiaremos no necesariamente se encuentran moviéndose en línea recta, lo cual nos da la posibilidad de comprender nuevos fenómenos físicos como lo es el movimiento parabólico o movimiento de proyectiles, el movimiento circular y el movimiento relativo. Se deja al lector como tarea antes de iniciar a leer este documento, investigar y estudiar la posición y velocidad como vectores en dos y tres dimensiones, el vector aceleración y las componentes perpendiculares y paralelas de la aceleración.

1. Movimiento de Proyectiles Imagine que se encuentra en un campo de béisbol y usted decide lanzar una pelota describiendo una trayectoria como la mostrada en la figura 1. Podemos analizar el movimiento de nuestra pelota, dándonos cuenta que conforme la pelota adquiere altura estará perdiendo velocidad a una taza constante, hasta llegar a una altura máxima en la que dejará de subir y cambiará su

Figura 1. Lanzamiento de una pelota

dirección, también notaremos que conforme baja la pelota su velocidad empezará a incrementar a una taza constante, pues bien, podemos afirmar que nuestra pelota presenta un movimiento de proyectil o como lo llaman algunos, movimiento parabólico. Un ejemplo de movimiento con aceleración constante es el movimiento de proyectil. Se trata del movimiento bidimensional de una partícula que es lanzada de forma oblicua al aire. La aceleración constante es g, dirigida hacia abajo. Si se está trabajando con un sistema de coordenadas con el eje y positivo verticalmente hacia arriba podemos decir que 𝑎𝑦 = −𝑔. P á g i n a 1 | 16

La partícula que se encuentra en un movimiento de proyectiles va tener un vector de velocidad, y dicho vector de velocidad puede descomponerse en una componente de velocidad en x y una en el eje y, tal y como se aprecia en la figura 1. Es importante reconocer que la aceleración debida a la gravedad es vertical, por lo tanto la componente de velocidad en el eje x será constante, sin embargo la componente de velocidad en el eje y disminuirá con forme la partícula adquiere altura, siendo 𝑣𝑦 = 0, en el punto más alto. De lo anterior deducimos que el movimiento parabólico puede ser estudiado por medio de dos tipos de movimiento, movimiento rectilíneo uniforme en el eje x, y un movimiento vertical con aceleración debida a la gravedad en el eje y.

Figura 2. Componentes horizontales y verticales de la velocidad de una pelota.

Con ayuda de la figura 2 podemos ver que el vector de velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula en todo punto, su componente vertical es la velocidad de la caída libre, y su componente horizontal una velocidad constante, si quisiéramos conocer la magnitud del vector resultante de la velocidad en cualquier instante basta con aplicar el teorema de Pitágoras 𝑣 =

√𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 , y el ángulo que el vector velocidad forma con la horizontal en este instante está

dado por tan ∅ =

𝑣𝑦 𝑣𝑥

. P á g i n a 2 | 16

También es posible describir la posición que tiene la partícula en movimiento parabólico, ya sea la distancia horizontal “x” o la distancia vertical “y” desde el punto de inicio, lo cual será de suma importancia para resolver problemas en donde se nos pregunte la distancia recorrida por una partícula que experimenta movimiento parabólico, o en su efecto conociendo los valor de “x” y “y”, encontrar variables de tiempo o velocidad. A continuación se muestran las ecuaciones fundamentales para el estudio del movimiento de proyectiles.

Figura 3. Ecuaciones para el movimiento de proyectiles.

Es importante mencionar que en

algunos

encontramos

problemas con

nos

fenómenos

llamados semiparabólicos, estos se dan en casos donde la partícula sale con una velocidad inicial horizontal, describiendo la trayectoria mostrada en la figura 4. De la misma forma las ecuaciones mostradas en la figura 3,

Figura 4.Ejemplo de un movimiento semiparabólico

pueden ser usadas para éstos casos. De lo anterior podemos ver que el ángulo que existe entre el vector velocidad inicial y la horizontal es importante para definir la trayectoria que tendrá la partícula que se encuentra en movimiento parabólico, en los problemas muchas veces es necesario comprender cual ángulo permite obtener un mayor alcance horizontal (45º), y cual ángulo convierte el movimiento de proyectil en un movimiento vertical (90º).

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1.1 Ejemplos.3 Resueltos de Movimiento de Proyectil. Ejemplo 1. Un jugador de fútbol soccer patea un balón con ángulo de 36º respecto a la horizontal y una velocidad inicial de 15.5 m/s. Suponiendo que el balón se mueva en un plano vertical, halle a) El tiempo que dura el balón llegando al punto más alto, b) La altura máxima, c) Su alcance máximo y tiempo de vuelo, d) Magnitud de la velocidad cuando llega al suelo. Solución. Parte a) En el punto más alto la velocidad 𝑣𝑦 = 0. Despejando t de la ecuación 𝑣𝑦 = 𝑣0 sin ∅ − 𝑡𝑔 𝑡=

𝑣0 sin ∅ − 𝑣𝑦 𝑔

𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜

𝑡=

(15.5 𝑚/𝑠) sin 36 = 0.93𝑠 9.8 𝑚/𝑠 2

Parte b) La máxima altura alcanzada es en t = 0.93 s, y puede encontrarse de la siguiente manera 1 1 𝑦 = (𝑣0 sin ∅) 𝑡 − 𝑔𝑡 2 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 𝑦 = (15.5 𝑚/𝑠 ) (sin 36) 𝑡 − (9.8 𝑚/𝑠 2 )(0.93𝑠)2 = 4.2𝑚 2 2 Parte c) El alcance 𝑋𝑚á𝑥 , puede obtenerse estudiando el movimiento horizontal de la partícula 𝑣𝑥 =

𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑥 ∗ 𝑡𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜 = 𝑋𝑚á𝑥 𝑡

El tiempo de vuelo total es 2 veces el tiempo encontrado en la parte a, se recomienda confirmar encontrando el tiempo que le toma al balón retornar el suelo. 𝑣𝑥 ∗ 𝑡𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜 = 𝑋𝑚á𝑥 = (15.5𝑚/𝑠 ) cos 36 ∗ (1,86𝑠) = 23.3 𝑚 Parte d) Para esto procedemos encontrar cada una de las componentes de la velocidad y con ayuda de Pitágoras encontramos el valor de la magnitud del vector de velocidad en el instante solicitado. 𝑣𝑥 = 𝑣0 cos ∅ = (15.5 𝑚/𝑠) cos 36 = 12.5𝑚/𝑠 𝑣𝑦 = 𝑣0 sin ∅ − 𝑔𝑡 = (15.5 𝑚/𝑠) sin 36 − (9.8𝑚/𝑠 2 )(1.86𝑠) = −9.1 𝑚/𝑠 |𝑣| = √(12.5𝑚/𝑠)2 + (−9.1 𝑚/𝑠)2 = 15.5 𝑚/𝑠

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Ejemplo 2. Supongamos que la pelota de la figura 2 tiene una velocidad inicial de 1.50 m/s sobre el eje 𝑥

y que, a partir de 𝑡 = 0, recibe una aceleracion de 2.80 m/s2 en la dirección 𝑦. a) ¿Dónde estará la pelota 3.00 s después de 𝑡 = 0? b) ¿Qué velocidad tiene la pelota en ese momento?

Solución. Tenga en cuenta que los movimientos en las direcciones 𝑥 y 𝑦 se pueden analizar de forma

independiente. Para a), simplemente calculamos las 𝑥 y 𝑦 en el tiempo dado, tomando en cuenta la aceleración en la dirección y. Para b), obtenemos las velocidades componentes y las combinamos vectorialmente para determinar a la velocidad total.

Parte a) 𝑥 = 𝑣𝑥0 𝑡 = (1.50 𝑚/𝑠)(3.0𝑠) = 4.50𝑚

1 1 𝑦 = 𝑣𝑦𝑜 𝑡 + 𝑎𝑦 𝑡 2 = 0 + (2.80𝑚/𝑠 2 )(3.0𝑠)2 = 12.6 𝑚 2 2 Por lo tanto la posición de la partícula en estudio puede expresarse de la siguiente manera (𝑥, 𝑦) = (4.50𝑚, 12.6 𝑚) Parte b) Para esta parte buscamos las componentes de la velocidad en el tiempo de 𝑡 = 3.0 𝑠, de forma similar al ejemplo 1. 𝑣𝑥 = 𝑣0 cos ∅ = (1.50 𝑚/𝑠) cos 0° = 1.50 𝑚/𝑠 𝑣𝑦 = 𝑣0 sin ∅ + 𝑎𝑦 𝑡 = (2.80𝑚/𝑠 2 )(3.00𝑠) = 8.40 𝑚/𝑠 |𝑣| = √(1.50𝑚/𝑠)2 + (8.40 𝑚/𝑠)2 = 8.53 𝑚/𝑠 Donde su dirección relativa al eje x está dada por: 8.40 𝑚/𝑠 ) = 79.9° ∅ = tan−1 ( 1.50 𝑚/𝑠 Note que en el problema 𝑣0𝑦 = 0, además 𝑣0𝑥 = 𝑣0

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Ejemplo 3. Supongamos que un golfista golpea una pelota en el “tee” dándole una velocidad inicial de 30.0 m/s con un ángulo de 35 respecto a la horizontal, como en la figura adjunta. a) ¿Qué altura máxima alcanza la pelota? b) ¿Qué alcance tiene?

Solución. La altura máxima tiene que ver con la componente y; el procedimiento para obtenerla es como el que usamos para determinar la altura máxima que alcanza una pelota proyectada verticalmente hacia arriba. La pelota viaja en la dirección x durante el tiempo que tarda en subir y bajar. Datos:

𝑣0 = 30.0𝑚/𝑠

𝜃 = 35°

𝑎𝑦 = −𝑔

( 𝑥0 𝑦 𝑦0 son cero)

Calculamos 𝑣𝑥0 𝑦 𝑣𝑦0, ya que con ambos valores podemos usar las ecuaciones de cinemática. 𝑣𝑥0 = 𝑣0 cos 35° = (30𝑚/𝑠)(0.819) = 24.6 𝑚/𝑠

𝑣𝑦0 = 𝑣0 sen 35° = (30𝑚/𝑠)(0.574) = 17.2 𝑚/𝑠

Parte a) Igual que para un objeto lanzado verticalmente hacia arriba, en la altura máxima la componente de la velocidad en y es cero. Asi, calculamos el tiempo requerido para alcanzar la altura máxima:

𝑣𝑦 = 𝑣𝑦0 − 𝑔𝑡

y despejando el tiempo obtenemos: 𝑡 =

𝑣𝑦0

𝑔

17.2 𝑚/𝑠

= 9.80 𝑚/𝑠2 = 1.76 𝑠.

Parte b) Al igual que en la proyección vertical, el tiempo de ascenso es igual al de descenso así que el tiempo total de vuelo es el doble del encontrado en el inciso anterior. El alcance puede encontrarse de la siguiente manera: 𝑋𝑚á𝑥 = 𝑣𝑥 𝑡 = (24.6

𝑚 ) (3.52𝑠) = 86.6𝑚 𝑠

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2. Movimiento Circular En esta sección se estudiará casos en donde las partículas se mueven en una trayectoria circular, al estudiar trayectorias de éste tipo es importante diferenciar algunos casos como los que se mostrarán a continuación. En la figura 5 se logra identificar un caso en el que existe un aumento de la rapidez con forme avanza en una trayectoria circular, para estos casos tenemos una componente de aceleración tangencial a la trayectoria y paralela a la velocidad del auto. Podemos ver que existe una componente de la aceleración en dirección al radio del circulo que forma la trayectoria, a ésta se le conoce como aceleración radial, ambas componentes forman Figura 5. MRU con aumento en la rapidez.

parte del vector aceleración, donde su magnitud está dada por |𝑎| = √(𝑎𝑡𝑎𝑛 )2 + (𝑎𝑟𝑎𝑑 )2 . En casos como los

presentados en la figura 6,

podemos ver que la

aceleración tangencial se encuentra opuesta a la dirección de la velocidad, por ende el móvil se encuentra disminuyendo su rapidez con forme avanza por la trayectoria circular. Para obtener la magnitud del vector aceleración se procede de la misma forma que el caso mencionado anteriormente donde |𝑎 | = √(𝑎𝑡𝑎𝑛 )2 + (𝑎𝑟𝑎𝑑 )2 .

Figura 6. MRU con disminución en la rapidez.

No siempre va existir una aceleración tangencial que cause un aumento o disminución de la rapidez de la partícula en movimiento circular, en algunos casos éste movimiento carece de variaciones en la magnitud de la velocidad, en estos casos se dice que la partícula bajo dicho movimiento se encuentra en movimiento circular uniforme, tal como se muestra en la figura 7. Figura 7. MRU con rapidez constante.

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2.1 Movimiento Circular Uniforme Sabemos que un movimiento circular uniforme se refiere al caso en donde la partícula que sigue una trayectoria circular, presenta en cada punto del recorrido un mismo valor de rapidez, no existe componente de aceleración paralela o tangente a la trayectoria, por lo tanto el vector aceleración es normal a la trayectoria, en otras palabras perpendicular a la trayectoria. Por lo tanto es posible encontrar el valor de la aceleración en un movimiento rectilíneo uniforme de manera sencilla con una sola ecuación 𝑎𝑟𝑎𝑑 =

𝑣2 𝑅

Figura 8. MRU con rapidez constant.

, a ésta aceleración es común encontrarla en la literatura como aceleración

radial o centrípeta, la segunda definición proveniente del griego que indica que va hacia el centro. Imagine que usted se encuentra en un juego mecánico “rueda de chicago”, y decide tomar el tiempo que dura en dar una vuelta completa, para esto decides encender el cronometro y detenerlo en el momento que llegues por primera vez al lugar donde lo encendiste, ese tiempo que tomas en física se conoce como Periodo, éste tiempo facilita muchos cálculos que ayudan a comprender algunas características del movimiento, por lo que en capítulos posteriores será de suma importancia su comprensión. Para calcular el periodo (tiempo de una revolución o una vuelta completa al círculo), podemos hacer uso del hecho que la partícula en movimiento circular uniforme recorrerá una circunferencia en un tiempo determinado (T), por lo que su rapidez es 𝑣=

2𝜋𝑟 𝑇

De la cual sustituyendo en la ecuación de la aceleración radial obtenemos 𝑎𝑟𝑎𝑑 =

4𝜋 2 𝑅 𝑇2

En donde podemos ver que con un simple algebra podemos encontrar el periodo, en caso de conocer las otras variables.

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2.2 Ejemplos del Movimiento Circular Uniforme Ejemplo 4. La Luna gira alrededor de la Tierra, haciendo una revolución completa en 27.3 días. Supongamos que la órbita es circular y que tiene un radio de 3.82 x 108m. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración de la Luna hacia la Tierra?

Solución. Tenemos que r = 3.82 x 108m. . El tiempo de una revolución completa, llamado periodo, es T = 27.3 d que al pasar en segundos tenemos 2.36 x 106 s. La rapidez de la luna será supuesta como constante, por lo tanto podemos aplicar una de las ecuaciones antes vistas para el movimiento circular uniforme. 𝑣=

2𝜋𝑟 2𝜋(3.82𝑥108 𝑚) = = 1018 𝑚/𝑠 𝑇 2.36 𝑥 106 𝑠

La aceleración de la luna hacia la tierra o aceleración radial de la luna puede encontrarse de la siguiente manera: 𝑎=

𝑣2 (1018 𝑚/𝑠)2 = = 0.00271 𝑚/𝑠 2 𝑟 3.82 𝑥 108 𝑚

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3. Movimiento Relativo Un aspecto importante de tomar en cuenta desde la perspectiva de ésta sección es que en el Universo, la velocidad no es absoluta, sino que va depender del observador. Suponga que usted se encuentra sentado en un sofá viendo su serie favorita, ahora se le hace la pregunta, ¿Usted se encuentra en reposo o se está moviendo?, la respuesta para usted o para alguna persona que se encuentra cerca de usted es simple, usted se encuentra en reposo, sin embargo, si alguien se encuentra observándolo desde la luna, posiblemente la perspectiva cambia, ya que con respecto al observador en la luna usted se encuentra en movimiento, por lo tanto surge la pregunta ¿ Quién dice la verdad, la persona en la luna o la persona en la sala de su casa?. Esta sección nos da una visión más amplia de éstos problemas, los cuales no se han abordado en secciones anteriores. Supongamos que usted va en un tren que corre en una carretera recta a una velocidad constante de 55 m/s. Los demás pasajeros que van con usted se mueven a la misma velocidad; sin embargo su velocidad para algunos de los pasajeros es cero, esto es fácil de comprobar, ya que a simple vista cualquier pasajero ve a los demás pasajeros en reposo. Para un observador en reposo en tierra el resultado varía, ya que vería a cada pasajero moverse a una velocidad de 55 m/s. En la secundaria es común estudiar el movimiento relativo en casos, para recordar estos conocimientos previos se realizará un resumen de cada caso.

3.1 Casos del movimiento relativo (Repaso) Caso 1. Un móvil respecto a sí mismo, no percibirá el movimiento ya que no se observa un cambio de posición en relación con el tiempo. Un ejemplo claro es cuando vamos en un bus, el bus se encuentra en movimiento, pero nosotros percibimos estar en reposo sentados en los asientos.

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Caso 2. Velocidad relativa equivalente a la resta de las velocidades marcadas por los velocímetros de dos automóviles, para un observador en uno de los móviles que se acerca al otro móvil que se aleja de éste. Un caso de esto es cuando perseguimos a una persona que intenta alejarse de nosotros, la velocidad con que vemos a la persona que se aleja es el resultado de restar la velocidad de esta persona con la nuestra. Caso 3. Si dos personas se acercan entre sí, cada uno percibirá que la otra persona al frente de ésta tendrá una velocidad que será igual a la suma de las velocidades de ambos. Ambas personas móviles

tendrán

una

velocidad

relativa

equivalente a la suma de sus velocidades Caso 4. Un observador en reposo verá un móvil ya sea alejándose o acercándose a una velocidad equivalente a la que marcaría un velocímetro en un automóvil. Caso 5. En casos donde dos móviles se muevan a una misma velocidad, como el caso del auto y el tren en la imagen, los móviles tendrán una velocidad relativa de cero, para un observador en uno de los móviles. Caso 6. Un móvil dentro de un medio de transporte, tendrá una velocidad relativa tal, que para un observador en tierra, se deben considerar ambas velocidades, y para otro dentro del medio de transporte, solo se considera la velocidad del móvil.

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3.2 Movimiento Relativo en una dimensión Cuando las velocidades son rectilíneas (en línea recta) en el mismo sentido o en sentidos opuestos, y todas tienen la misma referencia (digamos, el suelo), calculamos velocidades relativas usando la resta de vectores.

La ecuación anterior se puede leer como la velocidad con que un cuerpo A observa a un 󰇍󰇍󰇍𝐴󰇍 hace referencia a la velocidad y dirección del cuerpo A, de la misma cuerpo B, donde el vector 𝑉 󰇍󰇍󰇍󰇍𝐵 hace referencia a la velocidad y dirección del cuerpo B. forma 𝑉

3.2.1 Ejemplo de Movimiento Relativo en una Dimensión Ejemplo 5. Con base a la imagen adjunta, determine la velocidad de los autos B y A.

Solución. Ayudándonos con el hecho de que un observador en el auto B percibe al auto A a una velocidad relativa de 90 km/h a la derecha positiva podemos expresar dicho fenómeno en la siguiente ecuación: 󰇍󰇍𝑉󰇍󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍 󰇍 󰇍 𝐴𝐵 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 +90 𝑘𝑚/ℎ = 󰇍󰇍󰇍 𝑉󰇍𝐴 − 0 𝑘 𝑚/ℎ Por lo tanto la velocidad del auto etiquetado con A es de 90 km/h a la derecha. Con este valor y conociendo la velocidad con que un observador en el auto B percibe al auto C con una velocidad relativa de 150 km/h a 󰇍 󰇍󰇍 = 𝑉 󰇍󰇍󰇍 󰇍󰇍󰇍󰇍 la izquierda podemos represent...