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Combinación lineal y espacio generado
Algebra lineal
Algebra abstracta...

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Combinación lineal y espacio generado Combinación lineal Sea v 1 , v 2 , … , v n vectores en un espacio vectorial V . Entonces cualquier vector de la forma a1 v 1 +a 2 v 2 +…+ an v n donde a1 , a2 , … , an son escalares se denomina una combinación lineal de v1 , v2 , … , vn . Ejemplo Una combinación lineal en R2 −3 e s una combinación lineal de −5 y 2 ya que 2 En R , 2 1 1

( )

( ) ()

( ) () ( )

( 1) −5 +( 1) 2 = −3 1 1 2 Una combinación lineal en R2

(−15 ) e s una combinaciónlineal de (32 ) y (−32 ) ya que 3 2 5 ( 1) ( )+(1 ) ( )= ( ) −3 −1 2 En R2 ,

Una combinación lineal en R3 0 22 es una combinación lineal En R3 , 22 10 5 0 (−1) −10 + ( 2) 6 = 22 1 22 −20

() ( ) ()( )

( ) () 10 5 −10 y 6 1 −20

ya que

Conjunto generador Se dice que los vectores v 1 , v 2 , … , v n vectores de un espacio vectorial V genera a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismos. Es decir, para todo v ∈V existe escalares a1 , a2 , … , an tales que v =a1 v 1 + a2 v 2 +…+ an v n

Conjunto de vectores que genera R2 y R3 . 1 0 1 0 π Los vectores i= y j= genera R2 . ( π ) +(e ) = 0 1 0 1 e

() ()

Los vectores

() ()()

( ) ( ) ( ) {( ) ( ) ( )}

1 0 0 1 0 0 i= 0 ,i= 1 y k= 0 , gen 0 , 1 , 0 0 0 1 0 0 1

Conjunto de vectores que genera M 22 . a b =a 1 0 +b 0 1 +c 0 0 +d 0 0 Como c d 0 0 0 0 1 0 0 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(10 00 ) , (00 10 ) , (01 00 )

y

(00 01 )

vemos que

generan M 22 .

Combinaciones lineales en Pn En Pn todo polinomio se puede escribir como una combinación lineal de 2 n 1 , x , x , … , x genera Pn an x n+ an−1 xn−1 +…+ a0

Espacio generado por un conjunto de vectores Sea v 1 , v 2 , … , vk ,k vectores de un espacio vectorial V . El espacio generado por {v 1 , v 2 , … , vk } es el conjunto de combinaciones lineales v 1 , v 2 , … , vk . Es decir gen { v1 , v2 , … , v k }= {v :v =a1 v 1 +a2 v 2 +…+ ak v k } donde a1 , a2 , … , an son escalares arbitrarios. Teorema: El espacio generado por vectores es un subespacio Sea v 1 , v 2 , … , vk , son vectores de un espacio vectorial V , entonces gen {v 1 , v 2 , … , vk } es un subespacio de V . Demostración Cerradura bajo la suma de vectores Sea A , B ∈ gen {v 1 , v 2 , … , vk } A=a1 v 1+ a2 v 2 +…+ ak v k y B=b 1 v1 +b 2 v 2+ …+bk v k

tenemos

A + B=a1 v 1+ a2 v 2 +…+a k v k + b1 v 1 + b2 v 2 +…+ bk v k ¿ (a1 +b 1 ) v 1+ ( a2 +b 2 ) v 2+ …+( a k + bk ) v k

∈ gen {v 1 , v2 , … , v k }

Cerradura bajo la multiplicación por escalar Sea A ∈ gen { v1 , v 2 , … , vk } y α un escalar donde A=a1 v 1+ a2 v 2 +…+ ak v k temenos a1 v 1 ¿ a ¿ αa αa (¿¿ k)v k ∈ gen {v 1 , v 2 , …, v k (¿¿ 1) v 1 +(α a 2) v 2 +…+¿ α(¿ k v k ¿ )=¿ αA = α ( a 1 v1 + a2 v 2+…+a k v k) =α ¿ Por tanto gen {v 1 , v 2 , … , vk } es un subespacio de V .

( ) ()

2 4 v = y v = −1 Sean 1 , 1 2 4 6 Podemos verificar que H =gen {v 1 , v 2 } es subespacio de R3 Demostración Cerradura bajo la suma de vectores Sea r 1 y r 2 ∈ H 2 a1 +4 b1 2 4 r 1=a1 −1 +b1 1 = −a1+b1 4 6 4 a1 +6 b1

( ) ()(

) ( ) ()( )

2 a2 +4 b2 2 4 r 2=a2 −1 +b2 1 = −a2 +b2 6 4 4 a2 +6 b2

( ) () ( ) ()(

)( )

2 a1+ 4 b 1 2 a2 + 4 b2 2 4 2 4 r 1 +r 2=a1 −1 + b1 1 +a2 −1 +b 2 1 = −a1 +b 1 + −a2 +b2 4 6 4 6 4 a 1+ 6 b1 4 a2 +6 b 2

2(a1+a2 )+ 4 (b1 +b2 ) ¿ −(a 1+a2)+1(b1 +b2 ) ∈ H 4 (a 1+ a2)+6 (b1 +b 2)

(

)

Cerradura bajo la multiplicación por escalar Sea r 1 ∈ H y α escalar

( ) ()(

2 a1 +4 b1 2 4 r 1=a1 −1 +b1 1 = −a1+b1 4 6 4 a1 +6 b1

) α(2 a1 )+α (4 b1) b 2(α a1 )+4 (α b1) αb

( )(

2 a1 +4 b1 α(¿¿ 1) (¿¿ 1) ∈H = αr 1=α −a1+ b1 = α (−a1 )+¿ α (4 a1)+ α(6 b 1) −( α a1 )+ ¿ 4 (α a1)+6 (α b 1) 4 a1 +6 b1 Por tanto

)(

)

H =gen {v 1 , v 2 } es subespacio de R3 .

Corolario El espacio generado por dos vectores diferentes de 0 en R3 que no son paralelos es un plano que pasa por el origen.

{( )

x gen { v 1 , v 2 } = y :ax +by +cz=0 z

}

Ejemplo Sean

( ) ()

2 4 v 1= −1 y v 2= 1 , Entonces: 4 6

H =gen { v1 , v 2 }={v : v=a1 (2 ,−1,4 )+ a2 (4,1,6 ) }

{( )

x y : x =2 a1+ 4 a 2 , y=−a1 +a2 , z=4 a1 +6 a2 z

}

(

2 4 −1 1 4 6

(

1 0 0 1 0 6

x y z

)(

1

x 2 y z

2

−1 1 4 6

x 2y − 6 3 y x + 3 6 2 8 z− x + y 3 3

)(

1 2

)

{( )

1 2

x 2

( )( )( 0 3

y+

4 6

z

x 2

x 2y − 3 6 y x + 0 1 3 6 2 5 0 0 z− x + y 3 3 1 0

El sistema tiene una solución única en x y :3 z−5 x +2 y=0 z

x 2

0 1

4 6

y x + 3 6 z

1 0 0 1 4 6

5 2 z− x + y=0 o bien 3 z−5 x+2 y=0 3 3

R3 gen { v 1 , v 2 } = planoque pasa por el origen, v 1 y v 2 son no paralelos .

{( )

}

)

)

}

x gen { v 1 , v 2 } = y :ax +by +cz=0 z

x 2y − 6 3 y x + 3 6 z

Ejemplo Sean

a1 b1 v 1= a 2 y v 2= b2 , Entonces : a3 b3

() ()

(

a 1 b1 a 2 b2 a 3 b3

x y z

)(

1 a2 a3

b1 a1 b2 b3

x a1 y z

)(

1 0 a3

b a b1 a2 =0 y b3 − 1 3 =0 a1 a1 b1a2 b 1 a3 b2= y b 3= a1 a1 Si b2−

()

a1 ) a1 b1 a b1 1 b1 a2 =( ) a2 v 2= b 2 = a1 a1 b3 a3 b1 a3 a1 b 1(

()

Sea b 2−

()

b1 a2 b1 a3 ≠ 0 y b3 − ≠0 a1 a1

b1 a1 b a b 2− 1 2 a1 b3

x a1 xa y− 2 a1 z

)(

b1 a1 b a 0 b2− 1 2 a1 b1 a3 0 b 3− a1

1

x a1 xa y− 2 a1 x a3 z− a1

)

1

b1 a1

x a1 x a2 y− a1 b a b 2− 1 2 a1 xa z− 3 a1

1

b1 a1

0

1

( )( 0

0

1

0

x a1 x a2 y− a1 b a b2 − 1 2 a1

( )

0

0

x a3 − La solución es única en z− a1

(

b1 a2 b1 a3 −b 2 a3 a2 b3 + +x − y b 3− =0 a1 a1 a1 a1

R

(

)(

)

(

z b2 −

)

( )(

x a2 b a a1 b 3− 1 3 = 0 a1 b1 a2 b2− a1 y−

b1 a2 xa b a xa b a − 3 b 2− 1 2 − y− 2 b 3− 1 3 =0 a1 a1 a1 a1 a1

z b2 −

) (

)(

) (

)

)

2

gen { v 1 }= recta que pasa por el origen . a1 Sea v = a2

()

( )( a1 x a2 y

1 a2

)(

x 1 x a1 a1 = x (a 2) y 0 y− a1

Solución única es

y−

x ( a2) a1

)

x a2 a1 xa b a z− 3 − (b3− 1 3 ) b a a1 a1 b 2− 1 2 a1 y−

)

=0 o bien

( )

y=

a2 x a1

Teorema Sean v 1 , v 2 , … , vn , v n+1 ,n+ 1 vectores que están en un espacio vectorial v 1 , v 2 , … , vn . Si v 1 , v 2 , … , vn genera a V , entonces v 1 , v 2 , … , vn , v n+1 también genera a V . Es decir, si se agregan uno o más vectores a un conjunto generador se obtiene otro conjunto generador.

{( ) ( )}

{( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

1 2 1 2 −2 4 6 generan R2 , entonces también generaa R2 , , , , , 2 3 2 3 −3 7 9

(74) =( 2) ( 12 ) +( 1) (32) (69 )= ( 0) ( 12 ) +(3) (23 ) Operaciones con subespacios Consideramos dos subespacios H 1 y H 2 de un espacio vectorial V . Aunque se probo que H 1 ∩ H 2 es un subespacio V , no siempre se tiene H 1 ∪ H 2 es un subespacio de V Ejemplos

{( ) }

H 1=gen 1 0 H 2=gen

{( ) } 0 1

{

( ) ( )}

0 2 a H 1 ∪ H 2= x ∈ R ∨x= ox= 0 b gen

{( )( )} 1 0 0 1

gen

({ 10 ) }∪ gen {( 01) }

Teorema Sea H 1 y H 2 subespacios de un espacio vectorial V , entonces H 1 ⊂ H 2 o H 2 ⊂ H 1

V . Si

H 1 ∪ H 2 es subespacio de

Demostración Teorema Sea H 1 y H 2 subespacios de un espacio vectorial V . Si los vectores generan a H 1 y los vectores w 1 , w 2 , … . , wr generana H 2 entonces gen { v 1 , v 2 , … . , vk , w1 , w2 , … . , wr }=H 1 +H 2 H 1+ H 2={ v ∈V | v=h 1+h2 , h1 ∈ H 1 , h2 ∈ H 2 }

v 1 , v 2 , …. , v k...