Conjuntos. Definición. Formas de definir un conjunto. Inclusión de conjuntos. Igualdad de conjuntos. Conjunto universal y vacío. Diagrama de Venn. Operaciones con conjuntos. PDF

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Conjuntos. Definición. Formas de definir un conjunto. Inclusión de conjuntos. Igualdad de conjuntos. Conjunto universal y vacío. Diagrama de Venn. Operaciones con conjuntos....

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TEMA 2: CONJUNTOS ➢ DEFINICIÓN: colección de elementos con características similares. Entre un CONJUNTO y un ELEMENTO se establece una RELACIÓN DE PERTENENCIA. Si tenemos un conjunto A (por ejemplo, ropa), podemos decir si el elemento “a” pertenece al conjunto A (por ejemplo, un calcetín) o si no pertenece al conjunto A (por ejemplo, una silla). Si el elemento “a” pertenece al conjunto “A” lo escribimos así → a Є A Si el elemento “a” no pertenece al conjunto “A” lo escribimos así → a Ɇ A ➢ FORMAS DE DEFINIR UN CONJUNTO: se puede hacer de dos maneras. o Por enumeración: enumerando cada elemento. Usamos corchetes y separamos cada elemento con una coma. A={a, b, c, d} A={calcetín, pantalón, camiseta, jersey} o Por descripción: describiendo alguna propiedad que pueda tener ese conjunto y que identifica a todos sus elementos. A={prendas de ropa} ➢ INCLUSIÓN DE CONJUNTOS: si tenemos dos conjuntos A y B, se dice que A está CONTENIDO en B (AcB) cuando los elementos que pertenecen a A también pertenecen a B. A={2, 4, 6} Los elementos del conjunto A también están en el conjunto B, por lo tanto A ESTÁ INCLUIDO EN B. B={1, 2, 3, 4, 5, 6} SUBCONJUNTOS: si A está contenido en B, se dice que A ES UN SUBCONJUNTO DE B. Es igual que lo anterior, A está incluido en B, A está contenido en B, A es un subconjunto de B. Se representa así: A c B Si A={vocales del alfabeto español} y B={letras del alfabeto español} → A c B ( las vocales son letras del alfabeto). PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN DE CONJUNTOS: la inclusión tiene dos propiedades, que son: ❖ Reflexiva: todo conjunto A está contenido en sí mismo. A c A ❖ Transitiva: si un conjunto A está contenido en otro conjunto B, y B está contenido en C, se deduce que A está contenido en C. AcByBcC → AcC ➢ IGUALDAD DE CONJUNTOS: se dice que dos conjuntos son iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos. Es decir, cuando A c B y B c A, y se escribe A=B. Si A={letras de la palabra gato} y B={letras de la palabra gota} → A=B (ambos conjuntos tienen como elementos las letras g, t, a, o. ➢ CONJUNTO UNIVERSAL: es el conjunto que contiene a todos los conjuntos que estamos analizando en un determinado contexto. Si A={1, 2, 3} y B={4, 5, 6} → Un conjunto universal de A y B sería → μ={1, 2, 3, 4, 5, 6} ➢ CONJUNTO VACÍO: es un conjunto que no tiene ningún elemento. Por lo tanto, lo podemos incluir en cualquier conjunto, da igual que esté que no.

El conjunto vacío se representa por el símbolo ø. En el ejemplo anterior: Si A={1, 2, 3} y B={4, 5, 6} → el conjunto vacío podría estar contenido en los dos, no afectaría → ø c A y ø c B. ➢ CONJUNTO DE LAS PARTES DE UN CONJUNTO: es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de ese conjunto. Se simboliza con la letra P. Es decir, hacemos todas las combinaciones posibles con los elementos que tenemos en el conjunto, y cada combinación va entre llaves. Si A={1, 2, 3} → los subconjuntos de A son → P(A)= {{1}, {2}, {3}, {1, 2} {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, A, ø}} Incluimos a A porque la propiedad reflexiva dice que todo conjunto está contenido en sí mismo, e incluimos el conjunto vacío ø porque al no tener elementos, estaría en cualquier conjunto. ➢ DIAGRAMAS DE VENN: la representación de conjuntos se suele hacer utilizando los denominados diagramas de Venn. o El conjunto universal (μ) se representa mediante un rectángulo o cuadrado. o Cada conjunto que está dentro de μ se representa como una región cerrada dentro de ese rectángulo o cuadrado. o Cada elemento de cada conjunto, se representa dentro de su región cerrada correspondiente y con un puntito y la letra. .4 B .3 .2 .

.2

A .1

A la izquierda tenemos un diagrama de Venn. Los elementos {1, 2} están dentro del conjunto A → 1 Є A y 2 Є A→ A={1, 2} Los elementos {2, 3} están dentro del conjunto B → 2 Є B y 3 Є B → B={2, 3} El elemento {2} está en A y también en B → A Ո B={2} El elemento {4} pertenece al conjunto universal → μ={1, 2, 3, 4}

➢ OPERACIONES CON CONJUNTOS: los conjuntos se pueden combinar mediante operaciones que dan lugar a nuevos conjuntos. Estas operaciones son: o INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: la intersección de A y B es el conjunto que tiene como elementos los comunes a A y B. Se representa por el símbolo Ո. Si A={1, 2, 3, 4} y B={2, 4, 6, 8} → A Ո B={2, 4} Cogemos los elementos comunes a los conjuntos. o CONJUNTOS DISJUNTOS: dos conjuntos son disjuntos cuando NO TIENEN ELEMENTOS COMUNES. Si A={1, 2, 3} y B={4, 5, 6} → A Ո B= ø A y B son conjuntos disjuntos.

o UNIÓN DE CONJUNTOS: la unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a alguno de los dos conjuntos, es decir, el conjunto de los comunes y no comunes. Se simboliza A Ս B. Si A={1, 2, 3,4} y B={2, 4, 6, 8} → A Ս B={1, 2, 3, 4, 6, 8} o COMPLEMENTARIO DE UN CONJUNTO: el complementario de A es un conjunto formado por los elementos del conjunto universal ( μ) que no pertenecen a A. Se representa con un “c” como exponente de A → A  Si tomamos como ejemplo el diagrama de Venn que tenemos en la página anterior, vemos que: A={1, 2} Por lo tanto, A ={3, 4} → ya que son los únicos números de μ que no pertenecen al conjunto A. μ={1, 2, 3, 4} o DIFERENCIA DE CONJUNTOS: la diferencia de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Se representa como una resta A – B. Si A={1, 2, 3, 4} y B={2, 4, 6, 8} → A – B= {1, 3} Como restamos A – B, tenemos que sacar del conjunto A los elementos que también estén contenidos en B. En este caso, {2, 4} son elementos comunes a A y B, por lo tanto, al hacer la diferencia, los eliminamos. NOTA: la diferencia de A y B es igual a la intersección de A con el complementario de B. A – B= A Ո B  A={1, 2, 3, 4} B={2, 4, 6, 8}

B = {1, 3}

μ={1, 2, 3, 4, 6, 8}

➢ PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: hay siete propiedades de la intersección: 1. La intersección de cualquier conjunto con el conjunto vacío, es igual al conjunto vacío. Es lógico que si un conjunto no tiene elementos (ø), no pueda tener ninguno en común con cualquier otro conjunto. A Ո ø = ø 2. La intersección de cualquier conjunto con el conjunto universal es el mismo conjunto. Los elementos de A pertenecen también al conjunto universal, son comunes, y solo los elementos de A pueden ser comunes. Si volvemos al diagrama de Venn de arriba, vemos que A={1, 2} y μ={1, 2, 3, 4} → A Ո μ = {1, 2}. Por lo tanto → A Ո μ = A

3. La intersección de cualquier conjunto consigo mismo es igual al mismo conjunto. Esta propiedad se llama IDEMPOTENCIA. A Ո A= A 4. La intersección de un conjunto A con otro B es igual a la intersección de B con A. Es decir, tiene lo mismo en común A con B, que B con A. Esta propiedad se llama CONMUTATIVA. A Ո B = B Ո A 5. Si hacemos la intersección de A con B, y luego se hace la intersección del conjunto que obtendremos con el conjunto C, el resultado será el mismo que si hacemos la intersección de A con la intersección de B y C. Es la PROPIEDAD ASOCIATIVA. (A Ո B) Ո C = A Ո (B Ո C) → Vamos a ver un ejemplo con los siguientes conjuntos: A={1, 2, 3, 4} B={3, 4, 5, 6} A Ո B= {3, 4} → Ahora hago la intersección de este conjunto AՈB con el conjunto C (AՈB)ՈC= {4} → C solo tiene en común con AՈB el elemento {4} C={4, 5, 6, 7} Ahora vamos a hacerlo de la otra forma. Como tengo entre paréntesis (BՈC) tengo que hacer eso 1º: BՈC= {4, 5, 6} → Ahora que tengo este conjunto, hago la intersección con A AՈ(BՈC)= {4} → EL RESULTADO ES EL MISMO, EL ELEMENTO {4} 6. La intersección de dos conjuntos está contenida en cualquiera de los conjuntos que se intersecan, ya que los elementos de AՈB son elementos comunes a ambos, por lo que están contenidos tanto en A como en B. AՈBcA y AՈBcB A={1, 2, 3, 4}

AՈB= {3, 4} → y vemos que esos dos elementos pertenecen a A → AՈBcA

B={3, 4, 5, 6}

AՈB={3, 4} → y vemos que también pertenecen a B → AՈBcB

7. Si B está contenido en A, entonces la intersección de A y B es igual a B. Es decir, si B está dentro de A, lógicamente sus elementos también están en A, ya que es un subconjunto. A={1, 2, 3, 4} AՈB={2, 4} que son los mismos elementos del conjunto B B={2, 4} Por tanto → AՈB=B ➢ PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS: la unión de conjuntos también tiene siete propiedades: 1. La unión de cualquier conjunto con el conjunto vacío es total al conjunto. Si a un conjunto A le unimos un conjunto vacío, en realidad no le estamos añadiendo nada, por lo tanto se queda como está → AՍø=A 2. La unión de cualquier conjunto con el conjunto universal es total al conjunto universal. Si a un conjunto A le unimos el conjunto universal, como A ya es parte de ese conjunto universal, el resultado será el conjunto universal → AՍμ=μ 3. La unión de cualquier conjunto consigo mismo, es igual al mismo conjunto. Si al conjunto A le uno el conjunto A, como son iguales, se queda como está → AՍA=A → ESTA PROPIEDAD SE LLAMA IDEMPOTENCIA.

4. La unión de un conjunto A con otro B es igual a la unión de B con A. Lógicamente es lo mismo unirlos en un orden que en otro. AՍB=BՍA → ESTA PROPIEDAD SE LLAMA CONMUTATIVA. 5. Si se hace la unión de A con B y luego al resultado se le hace la unión con C, dará lo mismo que si hago la unión de B con C y al resultado le hago la unión con A. A={1, 2, 3, 4} (AՍB)ՍC=AU(BՍC) B={3, 4, 5, 6} AՍB={3, 4} → (AUB)UC= {3} C={3, 5, 7, 9} BUC={3, 5} → AU(BUC)={3} EL RESULTADO ES EL MISMO → {3} ESTA PROPIEDAD SE LLAMA ASOCIATIVA. 6. La unión de dos conjuntos contiene a cualquiera de los conjuntos que se unen. Si yo uno A y B, el resultado es un conjunto que tiene los elementos de A más los elementos de B, por tanto, ese conjunto contiene a A y a B. A={1, 2, 3, 4} AUB={1, 2, 3, 4, 6, 8} → los elementos de A (1, 2, 3, 4) están dentro de AUB, y los elementos de B={2, 4, 6, 8} B (2, 4, 6, 8) también lo están. Por tanto, AUBcA y AUBcB. 7. Si B está contenido en A, entonces la unión de A y B será igual a A. A={1, 2, 3, 4} AUB={2, 4} = B B={2, 4} ➢ PROPIEDADES DE LA COMPLEMENTACIÓN: la complementación tiene tres propiedades: 1. El complementario al conjunto vacío es el conjunto universal. Lo contrario a no tener nada es tenerlo todo → Ø = μ 2. El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío. Si un elemento pertenece al conjunto universal, no puede no pertenecer → μ  = ø 3. El complemento del complementario de un conjunto es el mismo conjunto. Se anula el exponente C, digamos. A={1, 2} μ={1, 2, 3, 4} El complementario de A, son los elementos de μ que no están en A. Por lo tanto A ={3, 4} Si yo ahora quiero calcular el complementario de A , tengo que buscar los elementos de μ que no están en A . Si μ={1, 2, 3, 4} y A ={3, 4} → (A ) = {1, 2} que es lo mismo que A. ENTONCES → (A )  = A ➢ PROPIEDADES QUE RELACIONAN VARIAS OPERACIONES: hay cuatro propiedades: 1. La intersección de un conjunto y su complemento es igual al conjunto vacío → AՈA = ø A={1, 2, 3} El complementario de A son los elementos de μ que no están en A. Solo hay uno. μ={1, 2, 3, 5} A = {5} → Si ahora comparo este elemento con los de A={1, 2,3} → AՈA = NO HAY ELEMENTOS COMUNES ENTRE A Y SU COMPLEMENTARIO. 2. La unión de un conjunto con su complementario, es igual al conjunto universal. → AUA = μ Con el ejemplo de arriba, hacemos AUA = {1, 2, 3, 5} = μ

3. Propiedad distributiva: hay dos casos. • Propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión: AՈ(BUC) = (AՈB) U (AՈC) A={1, 2, 3, 4} Vamos a hacer primero la primera opción: AՈ(BUC) B={3, 4, 5, 6} BUC={2,3,4,5,6,8} → AՈ(BUC)={2,3,4} → ESTE ES EL RESULTADO C={2, 4, 6, 8} Ahora lo haremos del otro modo: (AՈB) U (AՈC) AՈB={3, 4} AՈC={2, 4} (AՈB) U (AՈC)= {2, 3, 4} → ESTE ES EL RESULTADO EL RESULTADO ES EL MISMO DE UN MODO U OTRO, LA PROPIEDAD SE CUMPLE. Es como cuando la hacemos en la multiplicación: 2+(3x4)=(2x3)+(2x4)= 2+12= 6+8= 14 • Propiedad distributiva de la unión respecto de la intersección: AU(BՈC) = (AUB) Ո (AUC) A={1, 2, 3, 4} Vamos a hacer la primera opción: AU(BՈC) B={3, 4, 5, 6} BՈC={4, 6} → Ahora a A le uno BՈC → AU(BՈC)={1, 2, 3, 4, 6} C={2, 4, 6, 8} Ahora lo haremos del otro modo: (AUB) Ո (AUC) AUB={1, 2, 3, 4, 5, 6} AUC={1, 2, 3, 4, 6, 8} Ahora para la intersección, cojo los comunes. (AUB) Ո (AUC)= {1, 2, 3, 4, 6} 4. Leyes de Morgan: hay dos leyes de Morgan. I. Primera ley de Morgan: el complementario de una unión de conjuntos es igual a la intersección de los contrarios de los conjuntos → (AUB) = A  Ո B  A={1, 2, 3} Primero hacemos la primera opción: (AUB) →  primero hacemos la unión y luego el comB={2, 3, 4} -plementario → AUB={1, 2, 3, 4} → (AUB)  son los elementos de μ que no están en AUB. (AUB) = {5, 6} μ={1, 2, 3, 4, 5, 6} Ahora lo haremos de la otra forma: A  Ո B  → El complementario de A son los elementos de μ que no están en A → A = {4, 5, 6}. El complementario de B sería: B ={1, 5, 6} Ahora hacemos la intersección de A  y B  que sería coger los comunes a ambos. A  Ո B = {5, 6} El resultado es el mismo → (AUB) = A  Ո B  = {5, 6} II.

Segunda ley de Morgan: el complementario de una intersección de conjuntos es igual a la unión de sus complementarios → (AՈB) = A  U B. A={1, 2, 3} Primero haremos la primera opción: (AՈB)  → antes de hacer el complementario, B={2, 3, 4} tenemos que hacer la intersección de A y B.

μ={1, 2, 3, 4, 5, 6}

AՈB={2, 3} → y ahora el complementario, que son todos los elementos que están en μ y no están en la intersección de A y B (que es 2 y 3). Entonces (AՈB) = {1, 4, 5, 6} Ahora vamos a hacer la otra opción: A U B  → primero hallamos cada complementario por separado y luego hacemos la unión. A ={4, 5, 6} B = {1, 5, 6} Ahora unimos los dos conjuntos → A  U B = {1, 4, 5, 6} HEMOS LLEGADO AL MISMO RESULTADO, COMPROBANDO QUE SE CUMPLE LA IGUALDAD

➢ DESCOMPOSICIÓN DE LA UNIÓN DE DOS CONJUNTOS: si tenemos dos conjuntos A y B se cumple lo siguiente: AUB= (AՈB) U (AՈB ) U (A ՈB) = (AՈB) U (A – B) U (B -A) Vamos a comprobar si es verdad. AUB={1, 2, 3, 4} → RESULTADO DE LA PRIMERA IGUALDAD A={1, 2, 3} B={2, 3, 4} (AՈB) U (AՈB ) U (A ՈB) → Primero hay que hacer cada paréntesis por separado. C={4, 5, 6} AՈB={2, 3} AՈB (el complementario de B={1, 5, 6} ya que están en μ y no en B) AՈB = {1} → ya que es el elementos común de A y del complementario de B, porque μ={1, 2, 3, 4, 5, 6} A={1, 2, 3} y B ={1, 5, 6}. El único elemento común de ambos es el 1. Tenemos hechos los dos primeros paréntesis, nos falta el tercero: (A ՈB) A ՈB (primero hallamos A , que son los elementos de μ que no están en A. Por lo tanto A ={4, 5, 6} A ՈB={4} → ya que el único elemento común al conjunto A ={4, 5, 6} y al conjunto B={2, 3, 4}. Ya tenemos hechos los tres paréntesis, ahora tenemos que unirlos. Como son tres uniones, puedo hacerlo todo junto. Si hubiera una unión de dos paréntesis y luego una intersección, hay que empezar SIEMPRE por la izquierda. (AՈB) U (AՈB ) U (A ՈB)= {2,3} U {1} U {4}= {1, 2, 3, 4} → RESULTADO SEGUNDA IGUALDAD Ahora vamos a hacer la tercera: (AՈB) U (A – B) U (B – A) AՈB={2, 3} → ya lo habíamos hecho arriba. A – B= {1,2,3} - {2,3,4}= {1} → Si tengo los elementos 1, 2 y 3 y le saco los elementos 2, 3, 4; me quedo solo con el elemento 1, ya que el 2 y el 3 los eliminé y el 4 no lo puedo sacar ni meter porque ya no estaba en A. B – A= {2,3,4} - {1,2,3}= {4} → El procedimiento es igual que en la diferencia anterior. Ahora hacemos la operación de unión de conjuntos: (AՈB) U (A – B) U (B – A)= {2,3} U {1} U {4}= {1, 2, 3, 4} → RESULTADO TERCERA IGUALDAD

➢ DESCOMPOSICIÓN DE LA UNIÓN DE TRES CONJUNTOS: si tenemos tres conjuntos A, B y C se cumple lo siguiente: A U B U C= (AՈBՈC) U (A ՈBՈC) U (AՈB ՈC) U (AՈBՈC ) U (A ՈB ՈC) U (A  ՈBՈC ) U (A Ո B ՈC ) Vamos a comprobar la veracidad de esa afirmación: A={1,2,3} Primero calculamos el conjunto AUBUC: AUBUC={1,2,3} U {2,3,4} U {4,5,6}= {1,2,3,4,5,6} B={2,3,4} C={4,5,6} Ahora calculamos la segunda parte, y nos tendría que dar lo mismo para que se cumpla la igualdad. Vamos a hacer cada μ={1,2,3,4,5,6} paréntesis por separado. (AՈBՈC)={1,2,3} Ո {2,3,4} Ո {4,5,6}= {ø} → el conjunto AՈBՈC es un conjunto vacío, ya que no hay elementos comunes a los conjuntos A, B y C. (A ՈBՈC)={4,5,6}Ո{2,3,4}Ո{4,5,6}={4} →el conjunto A ՈBՈC tiene como elemento el número 4, ya que es el único elemento común a los tres conjuntos. Recordemos que A ={4,5,6} ya que son los elementos de μ que no están en A. (AՈB ՈC)={1,2,3}Ո{1,5,6}Ո{4,5,6}={ø} → es otro conjunto vacío, no hay elementos comunes. (AՈBՈC )={1,2,3}Ո{2,3,4}Ո{1,2,3}={2,3} → el conjunto tiene como elementos {2,3} (A ՈB ՈC)={4,5,6}Ո{1,5,6}Ո{4,5,6}={5,6} → el conjunto tiene como elementos {5,6} (A ՈBՈC )={4,5,6}Ո{2,3,4}Ո{1,2,3}={ø} → no hay elementos comunes, por tanto es un conjunto vacío. (AՈB ՈC )={1,2,3}Ո{1,5,6}Ո{1,2,3}={1} → el conjunto tiene solo un elemento: {1} Ahora hemos de unir todos los conjuntos: (AՈBՈC) U (A ՈBՈC) U (AՈB ՈC) U (AՈBՈC ) U (A ՈB ՈC) U (A  ՈBՈC ) U (A Ո B ՈC )= {ø} U {4} U {ø} U {2,3} U {5,6} U {ø} U {1} → para unir conjuntos vacíos a otros conjuntos, simplemente no los tenemos en cuenta porque NO TIENEN ELEMENTOS PARA SUMAR. Unimos todos los elementos y el resultado es el siguiente: (AՈBՈC) U (A ՈBՈC) U (AՈB ՈC) U (AՈBՈC ) U (A ՈB ՈC) U (A  ՈBՈC ) U (A Ո B ՈC )={1,2,3,4,5,6} → ES EL MISMO RESULTADO QUE OBTUVIMOS DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS A, B y C....