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ALGEBRATEMA 4: RELACIONES Y FUNCIONESÁREA DE ALGEBRADEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTASÍndice Pág. Tema # Definición de relación y función Función Biyectiva e inversa Recursos complementarios Bibliografía Actividad de aprendizaje autónomo TemaEl producto cartesiano A x B lo forman los pares ordenados e...

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ALGEBRA

TEMA 4: RELACIONES Y FUNCIONES ÁREA DE ALGEBRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Índice

Tema #4

Pág.

4.1. Definición de relación y función

2

4.2. Función Biyectiva e inversa

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Recursos complementarios

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Bibliografía

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Actividad de aprendizaje autónomo

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Tema #4

4.1. Definición de relación y función Definición de relación Una relación binaria de un conjunto llamado A en un conjunto llamado B está formada por todos los pares ordenados que cumplen una determinada proposición o propiedad establecida y son un subconjunto del producto cartesiano AxB (Recalde, s.f). Matemáticamente se lo describe como:

𝑅: 𝐴 → 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) / 𝑥 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑦} = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 𝑅 𝑦}; 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵

Par Ordenado García (2010), define un par ordenado de la siguiente manera: “Sean A y B dos conjuntos, definimos el par ordenado (A,B) como el conjunto (𝐴, 𝐵) = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}

Al elemento A lo llamaremos primer elemento del par ordenado y al elemento B lo llamaremos, segundo elemento del par ordenado”.

Producto Cartesiano García (2010) y Recalde (s.f) definen al producto cartesiano como: “Sean A y B dos conjuntos, definimos el producto cartesiano de A con B, notado A x B, como el conjunto

𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)/𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}”

Ejemplo:

Si 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} y 𝐵 = {𝑐, 𝑑}, hallar el producto cartesiano A x B

Solución:

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Tema #4

El producto cartesiano A x B lo forman los pares ordenados en donde el primer elemento pertenece a A y el segundo elemento pertenece a B.

𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑐); (𝑎, 𝑑); (𝑏, 𝑐); (𝑏, 𝑑); (𝑐, 𝑐); (𝑐, 𝑑)}

Dominio de una relación De lo descrito por García (2010), el dominio de una relación se puede definir de la siguiente manera:

Sea 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)/𝑝(𝑎, 𝑏)} una relación, el dominio de la misma es: 𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {𝑎 ∈ 𝐴 /∃ 𝑏 ∈ 𝐵 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 }

Es decir, que el dominio de una relación es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares de una relación.

Rango de una relación De lo descrito por García (2010), el rango de una relación se puede definir de la siguiente manera:

Sea 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)/𝑝(𝑎, 𝑏)} una relación, el dominio de la misma es: 𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {𝑏 ∈ 𝐵 /∃ 𝑎 ∈ 𝐴 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑅 }

Es decir, que el recorrido de una relación es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares de una relación. Ejemplo:

Sean los conjuntos 𝐴 = {1,2,3} y 𝐵 = {1,2,3,4}, hallar:

a) El conjunto de pares ordenados que cumplen con la relación 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 + 𝑦 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟} y 𝑅 ⊆ 𝐴 × 𝐵

b) El Dominio de R c) El Rango de R Solución: 

Primero hay que encontrar el producto A x B



Luego encontramos la pares ordenados que cumplen con la relación:

𝐴 × 𝐵 = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4)}

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Tema #4

(1,1) → 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 1 → 𝑥 + 𝑦 = 1 + 1 = 2 que es un número par, por lo tanto el par (1,1) cumple

con la relación.

(1,2) → 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 2 → 𝑥 + 𝑦 = 1 + 2 = 3 que es un número impar, por lo tanto el par (1,2) NO

cumple con la relación.

(1,3) → 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 3 → 𝑥 + 𝑦 = 1 + 3 = 4 que es un número par, por lo tanto el par (1,3) cumple

con la relación.

Y así sucesivamente hasta analizar todos los pares ordenados de A x B. Entonces, respondiendo a las preguntas del ejercicio tenemos: a) 𝑅 = {(1,1); (1,3); (2,2); (2,4); (3,1); (3,3)}

b) El Dominio de R serán todas las primeras componentes de los pares ordenados que forman la relación:

𝐷𝑜𝑚 (𝑅) = {1,2,3}

c) El Rango de R serán todas las segundas componentes de los pares ordenados que forman la relación:

𝑅𝑎𝑛 (𝑅) = {1,2,3,4}

Definición de función Según lo descrito por Stewart, J., Redlin, L., &Watson, S.,(2012), si se consideran dos conjuntos no vacíos A y B una función f definida en A con valores en B, o simplemente de A en B, es una correspondencia que asocia a cada elemento x  A un único elemento y  B . La función así definida se llama aplicación.

Notación Las funciones se denotan con letras del alfabeto español o griego f, g, h, F, , , , etc. Y simbólicamente por:

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f:A  B x  y  f x 

ó

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f A  B; y  f x 

Dónde:

f x 

: se lee “f de x”

y  f  x : es la regla de correspondencia y : es el valor o la imagen de x mediante f x

: es la pre imagen de y mediante f

Cualquier elemento arbitrario x del dominio de f se llama variable independiente y su imagen correspondiente mediante f se llama variable dependiente. En el ejemplo del área del círculo, el radio, r, es la variable independiente y el valor A del área es la variable dependiente, se escribe

Ar   r 2 ; r > 0 . La regla de correspondencia describe la forma como se obtiene el valor de la función f x  . Una función está bien definida cuando se conocen su dominio y su regla de correspondencia.

Dominio de una función Sea

f :AB

una función definida por la regla de correspondencia y  f x  .

Al conjunto A se llama dominio de la función. Se denota por Dom (f). Simbólicamente Dom  f  x  A ! y  B  y  f x  , Dom f   A

Rango de una función Sea f : A  B una función definida por la regla de correspondencia y  f x  .

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Tema #4

El subconjunto de B formado por los valores que la función asigna a cada uno de los elementos de A, se llama rango o recorrido de la función. Se denota con Ran (f). Simbólicamente Ran f    y  B  x  A  y  f x  , Ran f   B Tomando en consideración a estas dos definiciones podemos indicar que dos funciones f y g son iguales si y solo si: a) f y g tienen el mismo dominio b) f x   g x ,  x  Dom  f  Ejemplos: 1) Si A  1, 2, 3, 4, 5 ; B  0, 2, 4, 6, 8, 10  son dos conjuntos y f : A  B es una función definida por f x   2x . Hallar Dom f  y Ran f  Solución: Dom f   1, 2, 3, 4, 5 

Ran f    f 1, f 2, f 3, f  4, f 5    2, 4, 6, 8, 10

Luego Ran f    2, 4, 6, 8, 10 

2) Sea la función g definida por 𝑔(𝑥) =

Solución:

La expresión

√6+𝑥 3−𝑥

√6+𝑥 , 3−𝑥

encontrar el dominio de g.

es un número real si y solo si el radical √6 + 𝑥 NO es negativo y el denominador

3-x ES DISTINTO de cero. Con estas consideraciones g(x) existirá si solo si: Entonces: Esto se puede expresar como:

6+𝑥≥0 𝑥 ≥ −6

𝑦

𝑦

3−𝑥 ≠0 𝑥≠3

Dom g(x) = {𝑥 ∈ [−6,3[ ∪ ]3; ∞[}

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Tema #4

3) Hallar el dominio y el rango de 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 𝑥 − 2

Solución:

El dominio está determinado por aquellos valores que tiene x que hacen válida la raíz: 𝑥2 − 𝑥 − 2 ≥ 0

(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) ≥ 0

𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ]−∞ , −1] ∪ [2 , +∞[

Para encontrar el rango, debemos considerar que serán todos los valores que pueda tomar y, en este caso, los reales mayores que cero (recuerde que para que exista la raíz el valor que tiene DEBE ser mayor o igual a cero) Entonces:

𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 𝑦 ∈ [0 , +∞[

4) Determinar el rango de la siguiente función: 𝑓(𝑥) = √ Solución:

𝑥−3 1 − 3𝑥 + 2𝑥 2

Para encontrar el rango de la función debemos hallar los valores de y que permitan que exista la misma, es decir, despejar x. 𝑓(𝑥) = 𝑦 = √

𝑥−3 1 − 3𝑥 + 2𝑥 2

𝑥−3 1 − 3𝑥 + 2𝑥 2 𝑦 2 (1 − 3𝑥 + 2𝑥 2 ) = 𝑥 − 3 𝑦2 =

Agrupando:

𝑦 2 − 3𝑥𝑦 2 + 2𝑥 2 𝑦 2 − 𝑥 + 3 = 0 2𝑥 2 𝑦 2 − (3𝑦 2 + 1)𝑥 + (𝑦 2 + 3) = 0

Es una ecuación de segundo grado donde:

𝑎 = 2𝑦 2 , 𝑏 = 3𝑦 2 + 1

,

𝑐 = 𝑦2 + 3

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Tema #4

Utilizamos la fórmula general para encontrar x:

3𝑦2 + 1 ± √𝑦 4 − 18𝑦 2 + 1 𝑥= 4𝑦 2

Entonces el rango para la función DEBE cumplir con lo siguiente:: 4𝑦2 ≠ 0 → 𝑦 ≠ 0

y que:

𝑦 4 − 18𝑦 2 + 1 ≥ 0

Por lo tanto, el rango sería:

𝑦 ∈ ]−∞ , 2 − √5] ∪ [2 + √5 , +∞[ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 𝑦 ∈ ]0, 2 − √5] ∪ [2 + √5, +∞[

4.2. Función Biyectiva e Inversa Función Inyectiva Una función “f” es univalente o inyectiva, si a elementos distintos del Dominio de f, le corresponden elementos distintos del Rango. Analíticamente tendremos: f es inyectiva f es inyectiva

 a  b

 f  a   f  b ;



a; b  Dom f



  f  a   f  b   a  b;



a; b  Dom f



Ejemplo: Verificar si la función f x   2x  1 es inyectiva: Solución:

f a  f b 

2a  1  2b  1 2a  2b

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Tema #4

ab Entonces la función f x   2x  1 es inyectiva. Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Función Sobreyectiva Sea f una función de A en B, f es una función sobreyectiva, si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f. A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio. Ejemplo: A={a,e,i,o,u} B={1,3,5,7} f={(a,1),(e,7),(i,3),(o,5),(u,7)} Simbólicamente: f es sobreyectiva, si el rango de la función es igual al conjunto de llegada. Rangof  B

Función Biyectiva Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva, si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez.

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Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA. Ejemplo: A={a,e,i,o,u} B={1,3,5,7,9} f={(a,5),(e,1),(i,9),(o,3),(u,7)} TEOREMA: 1 Si f es biyectiva, entonces su inversa f es también una función y además biyectiva.

Función Inversa Sea f una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I y cuya imagen sea el conjunto J.

Entonces, la función inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

f  x  y



f 1  y   x

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

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f

1

o f  II

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

fof

1

 IJ

a) Propiedades Analíticas: En funciones reales de una variable en el gráfico de la función inversa. Ejemplo de una función f y de su inversa g, donde los respectivos dominios de definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2 ]

Los gráficos que representan f y g son simétricos con relación a la primera diagonal, es decir la recta y = x. En efecto, esta simetría envía un punto cualquiera M(x,y) sobre el punto M'(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si M' pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la segunda x = g(y) y son por definición equivalentes. Observaciones: 1. La notación f

1

se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para números

reales. Únicamente se usa como notación de la función inversa. 2. La inversa de una función cuando existe, es única.

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3. La inversa de una función cualquiera no siempre existe, pero la inversa de una función biyectiva siempre existe.

4. En general, las gráficas de f y f

1

son simétricas respecto a la función identidad y = x.

b) Método para hallar la inversa de una función: Aunque existen varios métodos para hallar la inversa, los siguientes pasos ayudan a obtener la inversa de la función f(x). Proceso: 1. Se sustituye f(x) por y es la función dada. 2. Se intercambian x e y para obtener x = f(y). 3. Se despeja la variable y. 1 4. En la solución se escribe f  x  en vez de y.

Ejemplo: 1) Calcular la función inversa de:

f x 

2x  3 x1

Se sustituye f(x) por y es la función dada.

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y

2x 3 x1

x

2y 3 y1

Se intercambian x e y para obtener x = f(y).

Se despeja la variable y. x y  1   2 y  3

x y  2y  x  3 y x  2   x  3

y 1 En la solución se escribe f  x  en vez de y:

x3 x 2

f 1  x  

x 3 x 2

Ejemplos de Aplicación: Previo al análisis correspondiente, determine la inversa de las siguientes funciones:

f  x  x 1)



 x, si f x     x , si

x0 x...