Convergencia - Metodos numericos PDF

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Metodos numericos...

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Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado. En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia. No todos los métodos numéricos convergen, por el contrario, divergen; es decir, se alejan cada vez más del resultado deseado. Es en esta situación cuando decimos que no tienen buena estabilidad.

Ejemplo matemático de un procedimiento o algoritmo que sea convergente El desarrollo en serie de Taylor deja claro que la sucesión de las derivadas en un punto de una función holomorfa no puede ser arbitraria, puesto que la serie de Taylor tiene radio de convergencia no nulo. Esta idea se puede concretar de diversas formas, entre las que elegimos la más elemental, probando las llamadas desigualdades de Cauchy. De ellas se deduce el teorema de Liouville, que es el resultado básico para el estudio de las funciones enteras, y permite probar muy fácilmente el teorema fundamental del Álgebra, afirmando que el cuerpo C es algebraicamente cerrado. La demostración que así se obtiene es esencialmente la original, debida al genio matemático de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que la publicó como parte de su tesis doctoral en 1799. El teorema fundamental del algebra se enuncia comúnmente de la siguiente manera: Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo

menos una raíz (real o compleja). Es ampliamente conocido también el enunciado: Un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p(z) de grado n ≥ 1, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades. Otras formas equivalentes del teorema son: 

El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.



Todo polinomio complejo de grado n ≥ 1 se puede expresar como un producto de n polinomios lineales, es decir

DEMOSTRACION.

Ejemplo cotidiano en donde se presente la convergencia

En matemáticas, la sucesión o serie de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:

La espiral de Fibonacci: una aproximación de la espiral áurea generada dibujando arcos circulares conectando las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión;1 adosando sucesivamente cuadrados de lado 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34. La sucesión comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que ladefine. A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemática y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en las flores de alcachofasy girasoles, en las inflorescencias del brécol romanesco, en la configuración de las piñas de las coníferas, en la reproducción de los conejos y en cómo el ADN codifica el crecimiento de formas orgánicas complejas. De igual manera, se encuentra en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos, como el nautilus....