Derivación numerica - Guía 11 - Metodos numericos - P3 PDF

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Universidad de Sucre & Departamento de Matemáticas Curso virtual: Métodos numéricos, diciembre-2020 Guía: Derivada numérica de una función 𝒚 = 𝒇(𝒙) La derivación numérica es una técnica numérica para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma. Las fórmulas de derivación numérica son importantes en el desarrollo de algoritmos para resolver problemas de contorno de ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales. El uso de funciones conocidas como ejemplos de aplicación de las técnicas de derivación numérica permite comparar la aproximación numérica con la respuesta exacta. Fórmulas para la derivación numérica1 La definición la derivada de una función 𝑓(𝑥), como el límite de un cociente incremental, es: 𝑓 ′ (𝑥) =

𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

entonces si elegimos valores de ℎ > 0, “pequeños”, con base el teorema de Taylor, podemos hacer las siguientes aproximaciones numéricas 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 ) + ℎ𝑓′ (𝑥0 ) +

ℎ2 ′′ 𝑓 (𝑥0 ) + ⋯ 2

𝑓(𝑥0 − ℎ) = 𝑓(𝑥0 ) − ℎ𝑓′ (𝑥0 ) +

ℎ2 ′′ 𝑓 (𝑥0 ) + ⋯ 2

𝑓(𝑥0+ℎ )−𝑓(𝑥0) ℎ

Diferencias hacia adelante, 𝑓 ′ (𝑥0 ) ≈ Diferencias hacia atrás, 𝑓 ′ (𝑥0 ) ≈

𝑓(𝑥0)−𝑓 (𝑥0−ℎ ) ℎ

La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas aproximaciones es una mejor aproximación numérica a la derivada en un punto dado. Diferencias centradas: si la función 𝑓(𝑥) puede evaluarse en puntos que están a ambos lados de 𝑥, entonces la mejor fórmula que involucra dos puntos es la que utiliza abscisas situadas simétricamente a izquierda y derecha de 𝑥. Teorema 1. Supongamos que 𝑓 ∈ 𝐶 3 [𝑎, 𝑏] y que 𝑥 − ℎ, 𝑥, 𝑥 + ℎ ∈ [𝑎, 𝑏 ]. Entonces

𝑓 ′ (𝑥) ≈

Es más, existe un número 𝑐 = 𝑐 (𝑥) ∈ [𝑎, 𝑏 ] tal que 𝑓 ′ (𝑥) =

𝑓(𝑥+ℎ )−𝑓(𝑥−ℎ) 2ℎ

, (1)

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 − ℎ) ℎ2 𝑓3 (𝑐) − 2ℎ 6

Si los valores de la tercera derivada 𝑓 (3) (𝑐) no cambian muy rápidamente, entonces el error de truncamiento:

ℎ 2𝑓3(𝑐) 6

1

tiende a cero a la misma velocidad que ℎ2, lo que se denota por 𝑂(ℎ2 ).

ℎ2

Teorema de Taylor: 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0 ) + ℎ𝑓 ′ (𝑥0 ) + 𝑓 ′′ (𝑥0 ) + ⋯ → 𝑓′ (𝑥0 ) ≈ 2

𝑓(𝑥0+ℎ )−𝑓(𝑥0) ℎ

Ejemplo 1. El voltaje 𝐸 = 𝐸(𝑡) en un circuito eléctrico obedece la ecuación 𝐸(𝑡) = 𝐿

𝑑𝐼

+ 𝑅𝐼(𝑡), donde 𝑅 es la 𝑑𝑡 resistencia, 𝐿 es la inductancia e 𝐼 es la intensidad de corriente. Consideremos 𝐿 = 0.05 henrios, 𝑅 = 2 ohmios y los valores de la intensidad 𝐼(𝑡), en amperios, que se relacionan en la tabla siguiente. t 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

I(t) 8.2277 7.2428 5.9908 4.5260 2.9122

a. Determine 𝐼′ (1.2) mediante derivación numérica y use este valor para calcular 𝐸(1.2).

𝑡

b. Compare su respuesta con la que se obtiene sabiendo que la expresión de 𝐼(𝑡) es 𝐼(𝑡) = 10𝑒 −10𝑠𝑒𝑛(2𝑡). Solución: a. Utilizando diferencias centradas, se tiene que 𝐸(𝑡) = 𝐿 𝐸(1.2) ≈ 0.05

𝑡

𝑑𝐼

𝑑𝑡

+ 𝑅𝐼(𝑡) ≈ 𝐿

𝐼 (𝑡+ℎ)−𝐼(𝑡−ℎ)

+ 𝑅𝐼(𝑡), ℎ = 0.1; por lo que

2ℎ

𝐼(1.3) − (1.1) 𝐼(1.2 + 0.1) − 𝐼 (1.2 − 0.1) + 2 ∗ 𝐼(1.2) + 2 ∗ 𝐼(1.2) = 0.05 0.2 2 ∗ 0.1

→ 𝐸 (1.2) ≈ 0.05

b. Como 𝐼(𝑡) = 10𝑒 −10𝑠𝑒𝑛(2𝑡), entonces 𝑡

4.5260−7.2428

𝑑𝐼

𝑑𝑡

0.2

𝑡

+ 2 ∗ 5.9908 = 11.3024 voltios.

= −𝑒 − 10𝑠𝑒𝑛(2𝑡) + 20𝑒 𝑡

𝑡

−10

cos(2𝑡), así el valor exacto de 𝑡

𝐸(𝑡) = 𝐿 (−𝑒 −10 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) + 20𝑒 −10 cos(2𝑡)) + 𝑅(10𝑒 −10 𝑠𝑒𝑛(2𝑡)) 1.2

→ 𝐸 (1.2) = 0.05 (−𝑒 − 10 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 1.2) + 20𝑒

1.2 10

−

1.2

cos(2 ∗ 1.2)) + 2 (10𝑒 − 10 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 1.2)) = 11.298 voltios

Teorema 2 Supongamos que 𝑓 ∈ 𝐶 5 [𝑎, 𝑏] y que 𝑥 − 2ℎ, 𝑥 − ℎ, 𝑥, 𝑥 + ℎ, 𝑥 + 2ℎ ∈ [𝑎, 𝑏 ]. Entonces

𝑓 ′ (𝑥) ≈

−𝑓 (𝑥+2ℎ )+8𝑓 (𝑥+ℎ )−8𝑓(𝑥−ℎ )+𝑓(𝑥−2ℎ)

Es más, existe un número 𝑐 = 𝑐 (𝑥) ∈ [𝑎, 𝑏] tal que 𝑓 ′ (𝑥) =

12ℎ

, (2)

−𝑓(𝑥 + 2ℎ) + 8𝑓(𝑥 + ℎ) − 8𝑓(𝑥 − ℎ) + 𝑓(𝑥 − 2ℎ) ℎ4 𝑓 5 (𝑐) + 12ℎ 30

Ejemplo 2 Si 𝑓(𝑥) = ln(𝑥), calculemos 𝑓 ′ (3), mediante las fórmulas (1) y (2), para valores de ℎ = 1 0.1, 0.01 𝑦 0.001, además el error absoluto teniendo en cuenta que 𝑓 ′ (3) = ≈ 0.333333.

a. 𝑓 ′ (3.0) con la fórmula, (1) y ℎ = 0.1. 𝑓 ′ (3.0) ≈

𝑓(3.0 + 0.1) − 𝑓(3.0 − 0.1) 𝑓(3.1) − 𝑓(2.9) ln(3.1) − ln(2.9) = = = 0.333457 2 ∗ 0.1 0.2 0.2

b. 𝑓 ′ (3.0) con la fórmula, (1) y ℎ = 0.01. 𝑓 ′ (3.0) ≈

3

𝑓(3.0 + 0.01) − 𝑓(3.0 − 0.01) 𝑓(3.01) − 𝑓(2.99) ln(3.01) − ln(2.99) = = = 0.333335 2 ∗ 0.01 0.02 0.02

c. 𝑓 ′ (3.0) con la fórmula, (1) y ℎ = 0.001.

𝑓 ′ (3.0) ≈

𝑓(3.0 + 0.001) − 𝑓(3.0 − 0.001) 𝑓(3.001) − 𝑓(2.999) ln(3.001) − ln(2.999) = 0.333333 = = 0.002 2 ∗ 0.001 0.002

d. 𝑓 ′ (3.0) con la fórmula, (2) y ℎ = 0.1. 𝑓 ′ (3.0) ≈

−𝑓(3.0 + 2 ∗ 0.1) + 8𝑓(3.0 + 0.1) − 8𝑓(3.0 − 0.1) + 𝑓(3.0 − 2 ∗ 0.1) 12 ∗ 0.1 𝑓 ′ (3.0) ≈

𝑓 ′ (3.0) ≈

−𝑓(3.2) + 8𝑓(3.1) − 8𝑓(2.9) + 𝑓(2.8) 1.2

− ln(3.2) + 8 ∗ ln(3.1) − 8 ∗ ln(2.9) + ln(2.8) = 0.333333 1.2

e. 𝑓 ′ (3.0) con la fórmula, (2) y ℎ = 0.000000000001 = 1 ∗ 10−12 . 𝑓 ′ (3.0) ≈ 𝑓 ′ (3.0) ≈

−𝑓(3.0 + 2 ∗ ℎ) + 8𝑓(3.0 + ℎ) − 8𝑓(3.0 − ℎ) + 𝑓(3.0 − 2 ∗ ℎ) 12 ∗ ℎ

− ln(3 + 2ℎ) + 8 ∗ ln(3 + ℎ) − 8 ∗ ln(3 − ℎ) + ln(3 − 2ℎ) = 0.333437 12 ∗ ℎ

Este sucede porque el error global del proceso numérico depende de 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟𝐺 = 𝑓(ℎ, 𝑓, 𝑒𝑝𝑠) = 𝐶1 (

𝑒𝑝𝑠 ) + 𝐶2 ℎ𝑛 𝑓 𝑚 (𝑐) ℎ

La épsilon en el ambiente Scilab es %𝑒𝑝𝑠 = 2.22044605 ∗ 10−16. Por ejemplo, si dividimos y

𝑒𝑝𝑠

1∗10−12

= 2.2 ∗ 10−4 , notamos que el factor

numérica.

𝑒𝑝𝑠

ℎ

𝑒𝑝𝑠

1∗10−3

= 2.2 ∗ 10−13

, empieza a tener un valor importante en la aproximación

Derivadas numéricas de orden 2, 𝒇(′′) (𝒙)

La fórmula de aproximación a 𝑓 ′ (𝑥) requiere que la función se pueda evaluar en abscisas situadas simétricamente a ambos lados del punto 𝑥, por eso se llama fórmula de diferencias centradas. Para obtener la fórmula de diferencias centradas que aproxime la derivadas de orden 2 se emplea el teorema de Taylor, con lo que se obtienen las siguiente fórmulas de aproximación numérica a 𝑓 ′′ (𝑥) 𝑓 ′′ (𝑥0 ) ≈

𝑓 ′′ (𝑥0 ) ≈

𝑓(𝑥0+ℎ)−2𝑓(𝑥0) +𝑓(𝑥0 −ℎ ) ℎ2

, 𝐸(𝑓, ℎ) =

ℎ 2𝑓4(𝑐)

−𝑓(𝑥0 +2ℎ)+16𝑓(𝑥0+ℎ )−30𝑓(𝑥0)+16𝑓(𝑥0−ℎ)−𝑓 (𝑥0−2ℎ) 12ℎ2

12

, 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏], (1)

, 𝐸(𝑓, ℎ) =

ℎ 4𝑓6 (𝑐) 90

, 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏], (2)

Ejemplo 3 Si 𝑓(𝑥) = ln(𝑥), calculemos 𝑓 ′′ (3), mediante las fórmulas (1) y (2), para valores de ℎ = 1

0.1, 0.01 𝑦 0.001, además el error absoluto teniendo en cuenta que 𝑓 ′′ (3) = − 32 = −0.111111.

a. 𝑓 ′′ (3) con la fórmula, (1) y ℎ = 0.1. 𝑓 ′′ (3) ≈

𝑓(3 + ℎ) − 2𝑓(3) + 𝑓(3 − ℎ) 𝑙𝑛(3 + 0.1) − 2𝑙𝑛(3) + 𝑙𝑛(3 − 0.1) = ℎ2 0.12 𝑓 ′′ (3) ≈

b. 𝑓 ′′ (3) con la fórmula, (1) y ℎ = 0.01.

ln(3.1) − 2ln(3) + ln(2.9) = −0.111173 0.12

𝑓 ′′ (3) ≈

𝑓(3 + ℎ) − 2𝑓(3) + 𝑓(3 − ℎ) 𝑙𝑛(3 + 0.01) − 2𝑙𝑛(3) + 𝑙𝑛(3 − 0.01) 0.012 = ℎ2 ln(3.01) − 2ln(3) + ln(2.99) 𝑓 ′′ (3) ≈ = −0.111112 0.012

c. 𝑓 ′′ (3) con la fórmula, (1) y ℎ = 0.001. 𝑓 ′′ (3) ≈

𝑓(3 + ℎ) − 2𝑓(3) + 𝑓(3 − ℎ) 𝑙𝑛(3 + 0.001) − 2𝑙𝑛(3) + 𝑙𝑛(3 − 0.001) = ℎ2 0.0012 𝑓 ′′ (3) ≈

ln(3.001) − 2ln(3) + ln(2.999) = −0.111111 0.0012

d. 𝑓 ′′ (3) con la fórmula, (2) y ℎ = 0.1. 𝑓 ′′ (3) ≈ 𝑓 ′′ (3) ≈ 𝑓 ′′ (3) ≈

−𝑓(3 + 2ℎ) + 16𝑓(3 + ℎ) − 30𝑓(3) + 16𝑓(3 − ℎ) − 𝑓(3 − 2ℎ) 12ℎ2

−𝑙𝑛(3 + 2ℎ) + 16𝑙𝑛(3 + ℎ) − 30𝑙𝑛(3) + 16𝑙𝑛(3 − ℎ) − 𝑙𝑛(3 − 2ℎ) 12ℎ2

−𝑙𝑛(3.2) + 16𝑙𝑛(3.1) − 30𝑙𝑛(3) + 16𝑙𝑛(2.9) − 𝑙𝑛(2.8) = −0.111111 12 ∗ 0.12

e. 𝑓 ′′ (3) con la fórmula, (2) y ℎ = 0.000001 = 1 ∗ 10−6 𝑓 ′′ (3) ≈ 𝑓 ′′(3) ≈

−𝑓(3 + 2ℎ) + 16𝑓(3 + ℎ) − 30𝑓(3) + 16𝑓(3 − ℎ) − 𝑓(3 − 2ℎ) 12ℎ2

−𝑙𝑛(3 + 2ℎ) + 16𝑙𝑛(3 + ℎ) − 30𝑙𝑛(3) + 16𝑙𝑛(3 − ℎ) − 𝑙𝑛(3 − 2ℎ) = −0.111503 12ℎ2

Bibliografía 1. John H. Mathews, Kurtis D. Fink. Métodos numéricos con Matlab. Edición 3ra., editorial Prentice-Hall....