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Métodos numéricos en Matlab 1 Mike Flores Theory

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Mike Flores Theory

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Pregúntate si lo que estás haciendo hoy te acerca al lugar en el que quieres estar mañana. Walt Disney

Esperando que este manual sea de ayuda a todo aquel lector que se adentra en el estudio de los métodos numéricos y el cómputo científico.

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Métodos numéricos en Matlab 1 Mike Flores Theory

Contenido

¿Cómo utilizar este manual? ........................................................................................................... 3 Solución de ecuaciones algebraicas y trascendentes ..................................................................... 4 Métodos cerrados (acotados) ......................................................................................................... 4 Método de la Bisección (Bipartición del Intervalo) ..................................................................... 4 Método de la Regla Falsa o de la Falsa Posición ......................................................................... 5 Métodos abiertos ............................................................................................................................ 6 Método del Punto Fijo................................................................................................................. 6 Método de Newton-Raphson...................................................................................................... 7 Método de Newton-Raphson Modificado para el cálculo de raíces múltiples ........................... 8 Método de la Secante ................................................................................................................. 9 Integración numérica .................................................................................................................... 10 Regla del Trapecio ..................................................................................................................... 10 Regla del Trapecio Compuesta .................................................................................................. 11 Regla de Simpson 1/3 ................................................................................................................ 12 Regla de Simpson 1/3 Compuesta ............................................................................................ 13 Regla de Simpson 3/8 ................................................................................................................ 14 Regla de Simpson 3/8 Compuesta ............................................................................................ 15

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Métodos numéricos en Matlab 1 Mike Flores Theory

¿Cómo utilizar este manual? Este manual es un compendio de códigos de métodos numéricos en Matlab, por lo tanto no desarrolla la teoría correspondiente a cada método. Se recomienda abrir un nuevo script en Matlab, allí copiar y pegar el código con el cual se desea trabajar. Posteriormente correr el script. Cada código contiene comentarios que indican el procedimiento a realizar, los cuales inician con el símbolo (%) y están indicados en color verde. Como se muestra en el siguiente ejemplo: %Limpiamos la pantalla y mostramos el nombre del método clear clc disp('Método de la bisección')

Estos comentarios pueden ser borrados por el usuario y no alterarán la ejecución correcta del Script

Figura 1.-Script en Matlab

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Métodos numéricos en Matlab 1 Mike Flores Theory

Solución de ecuaciones algebraicas y trascendentes Métodos cerrados (acotados) Método de la Bisección (Bipartición del Intervalo) %Limpiamos la pantalla y mostramos el nombre del método clear clc disp('Método de la bisección') %Damos de alta la variable simbólica X syms x %Introducimos la función,los límites superior e inferior,así como %porcentaje de error f =input('Introduzca la función f(x):'); xa =input('Introduzca el valor de Xa :'); xb =input('Introduza el valor de Xb :'); err =input('Porcentaje de error :'); %Graficamos la función ezplot(f), grid on f =inline(f); erro=100; xr =0; i =0; %Comprobamos que la función cambie de signo en el intervalo %Si f(xa).f(xr)0 resuélvase xa=xr if f(xa)*f(xr)>0 xa=xr; else xb=xr; end %Calculamos el porcentaje de error erro=abs(((ea-xr)/xr)*100); end else fprintf('No existe raíz en el intervalo dado') end %Mostramos los resultados en pantalla (con 3 decimales) fprintf('\nRaíz=%10.3f en %4d iteraciones\n',xr,i);

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Métodos numéricos en Matlab 1 Mike Flores Theory

Método de la Regla Falsa o de la Falsa Posición

%Limpiamos la pantalla y mostramos el nombre del método clear clc disp('Método de la regla falsa') %Damos de alta la variable simbólica X syms x %Introducimos la función,los límites superior e inferior,así como %porcentaje de error f =input('Introduzca la función f(x):'); xa =input('Introduzca el valor de Xa :'); xb =input('Introduza el valor de Xb :'); err =input('Porcentaje de error :'); %Graficamos la función ezplot(f), grid on f =inline(f); erro=100; xr =0; i =0; %Comprobamos que la función cambie de signo en el intervalo %Si f(xa).f(xr)0 resuélvase xa=xr if f(xa)*f(xr)>0 xa=xr; else xb=xr; end %Calculamos el porcentaje de error erro=abs(((ea-xr)/xr)*100); i=i+1; end %Mostramos los resultados en pantalla (con 3 decimales) fprintf('\nResultado de la raíz=%10.3f en %4d iteraciones\n',xr,i); else fprintf('No existe raíz en el intervalo dado') end

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Métodos numéricos en Matlab 1 Mike Flores Theory

Métodos abiertos Método del Punto Fijo

%Limpiamos la pantalla y mostramos el nombre del método clear clc disp('Método del punto fijo') %Damos de alta la variable simbólica X syms x %Introducimos la función,el punto de inicio,así como %porcentaje de error f =input('Introduzca la función f(x):'); xi =input('Introduzca el punto de inicio:'); err =input('Porcentaje de error :'); %Graficamos la función ezplot(f), grid on f =inline(f); j =0; ea =100; while err err %Aproximamos la raiz con la fórmula correpondiente xi=pi-(f(pi)/d(pi)); %Calculamos el porcentaje de error ea=abs(((xi-pi)/xi)*100); pi=xi; j=j+1; end %Mostramos los resultados en pantalla (con 3 decimales) fprintf('\nRaiz= %10.3f en %d Iteraciones',pi,j)

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Métodos numéricos en Matlab 1 Mike Flores Theory

Método de Newton-Raphson Modificado para el cálculo de raíces múltiples

%Limpiamos la pantalla y mostramos el nombre del método clear clc disp('Método de Newton Raphson modificado') %Damos de alta la variable simbólica X syms x %Introducimos la función,el punto de inicio,así como %porcentaje de error f=input('Introduzca la función f(x):'); pi=input('Introduzca el punto de inicio:'); err=input('Porcentaje de error:'); %Graficamos la función ezplot(f) grid on %Calculamos 1er y 2a derivada de la función dx=diff(f); dx2=diff(dx); f =inline(f); dx =inline(dx); dx2 =inline(dx2); ea =100; j =0; while ea>err %Aproximamos la raiz con la fórmula correspondiente xi=pi-(f(pi)*dx(pi))/((dx(pi)^2)-(f(pi)*dx2(pi))); %Calculamos el porcentaje de error ea=abs(((xi-pi)/xi)*100); pi=xi; j =j+1; end %Mostramos los resultados en pantalla (con 3 decimales) fprintf('\nResultado de la raíz=%10.3f en %4d iteraciones\n',pi,j);

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Métodos numéricos en Matlab 1 Mike Flores Theory

Método de la Secante

%Limpiamos la pantalla y mostramos el nombre del método clear clc disp('Método de la secante') %Damos de alta la variable simbólica X syms x %Introducimos la función,los puntos xi-1,xi,así como el %porcentaje de error f=input('Ingrese la función f(x):'); x1=input('Ingrese el punto xi-1:'); x2=input('Ingrese el punto xi:'); err=input('Porcentaje de error:'); %Graficamos la función ezplot(f) grid on f=inline(f); ea=100; i=0; %Imprimiremos en pantalla una tabla con las raices aproximadas por cada %iteración fprintf('Iteración: Raiz\n') while ea>err %Aproximamos la raiz con la fórmula correspondiente xi=x2-(f(x2)*(x1-x2))/(f(x1)-f(x2)); %Calculamos el porcentaje de error ea=abs(((xi-x2)/xi)*100); %8.4f\n',i,xi) fprintf('%f x1=x2; x2=xi; i=i+1; end %Mostramos los resultados en pantalla (con 3 decimales) fprintf('\nRaiz de la función:%10.3f\nCalculada en %4.0fIteraciones\n',xi,i)

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Métodos numéricos en Matlab 1 Mike Flores Theory

Integración numérica Regla del Trapecio

%Limpiamos la pantalla y mostramos el nombre del método clear clc disp('Regla del trapecio') %Damos de alta la variable simbólica X syms x %Introducimos la función,los puntos a y b, así como el %porcentaje de error f =input('Introduzca la función f(x):'); a =input('Introduzca el punto a: '); b =input('Introduzca el punto b: '); %Graficamos la función en el intervalo [a,b] ezplot(f,[a,b]); grid,title('\bf Regla del Trapecio') f=inline(f); %Aproximamos la integral con la fórmula correspondiente int=((b-a)/2)*(f(a)+f(b)); %Mostramos los resultados en pantalla (con 3 decimales) fprintf('\nAproximación a la integral=%12.3f \n',int);

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Métodos numéricos en Matlab 1 Mike Flores Theory Regla del Trapecio Compuesta

%Limpiamos la pantalla y mostramos el nombre del método clear clc disp('Regla del trapecio compuesta') %Damos de alta la variable simbólica X syms x %Introducimos la función,los puntos a y b, número de subintérvalos así como %porcentaje de error f =input('Introduzca la función f(x):'); a =input('Introduzca el punto a: '); b =input('Introduzca el punto b: '); n =input('Número de subintervalos (n): '); %Graficamos la función en el intervalo [a,b] ezplot(f,[a,b]); grid,title('\bf Regla del Trapecio Compuesta') f=inline(f); %Calculamos la longitud del subintervalo h=((b-a)/(2*n)); sumxi=0; for i=1:n-1 x=a+h*(2*i); sumxi=sumxi+feval(f,x); end %Aproximamos la integral con la fórmula correspondiente int=((b-a)/(2*n))*(f(a)+ 2*sumxi + f(b)); %Mostramos los resultados en pantalla (con 3 decimales) fprintf('\nAproximación a la integral=%12.3f \n',int);

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Métodos numéricos en Matlab 1 Mike Flores Theory Regla de Simpson 1/3

%Limpiamos la pantalla y mostramos el nombre del método clear clc disp('Regla de Simpson 1/3') %Damos de alta la variable simbólica X syms x %Introducimos la función,los puntos a y b,así como %porcentaje de error f =input('Introduzca la función f(x):'); a =input('Introduzca el punto a: '); b =input('Introduzca el punto b: '); %Graficamos la función en el intervalo [a,b] ezplot(f,[a,b]); grid,title('\bf Regla de Simpson 1/3') f=inline(f); %Aproximamos la integral con la fórmula correspondiente int=((b-a)/6)*(f(a)+4*f((a+b)/2)+f(b)); %Mostramos los resultados en pantalla (con 3 decimales) fprintf('\nAproximación a la integral=%12.6f \n',int);

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Métodos numéricos en Matlab 1 Mike Flores Theory Regla de Simpson 1/3 Compuesta

%Limpiamos la pantalla y mostramos el nombre del método clear clc disp('Regla de Simpson 1/3 compuesta') %Damos de alta la variable simbólica X syms x %Introducimos la función,los puntos a y b, número de subintérvalos así como %porcentaje de error f =input('Introduzca la función f(x):'); a =input('Introduzca el punto a: '); b =input('Introduzca el punto b: '); n =input('Número de subintervalos (n): '); %Graficamos la función en el intervalo [a,b] ezplot(f,[a,b]); grid,title('\bf Regla de Simpson 1/3 compuesta') f=inline(f); %Calculamos la longitud del subintérvalo h=(b-a)/(2*n); sumxi=0; for i=1:n-1 x=a+h*(2*i); sumxi=sumxi+feval(f,x); end sumxmi=0; for i=1:n x=a+h*(2*i-1); sumxmi=sumxmi+feval(f,x); end %Aproximamos la integral con la fórmula correspondiente int=((b-a)/(6*n))*(f(a)+ 4*sumxmi + 2*sumxi + f(b)); %Mostramos los resultados en pantalla (con 3 decimales) fprintf('\nAproximación a la integral=%12.3f \n',int);

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Métodos numéricos en Matlab 1 Mike Flores Theory Regla de Simpson 3/8

%Limpiamos la pantalla y mostramos el nombre del método clear clc disp('Regla de Simpson 3/8') %Damos de alta la variable simbólica X syms x %Introducimos la función,los puntos a y b,así como %porcentaje de error f =input('Introduzca la función f(x):'); a =input('Introduzca el punto a: '); b =input('Introduzca el punto b: '); %Graficamos la función en el intervalo [a,b] ezplot(f,[a,b]); grid,title('\bf Regla de Simpson 3/8') f=inline(f); h=((b-a)/3); x=a; sum=0; for i=2:3 x= x + h; sum=sum + 3*f(x); end %Aproximamos la integral con la fórmula correspondiente int=((b-a)/8)*(f(a)+sum +f(b)); %Mostramos los resultados en pantalla (con 3 decimales) fprintf('\nAproximación a la integral=%12.3f \n',int);

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Métodos numéricos en Matlab 1 Mike Flores Theory Regla de Simpson 3/8 Compuesta %Limpiamos la pantalla y mostramos el nombre del método clear clc disp('Regla de Simpson 3/8 compuesta') %Damos de alta la variable simbólica X syms x %Introducimos la función,los puntos a y b, número de subintérvalos así como %porcentaje de error f =input('Introduzca la función f(x):'); a =input('Introduzca el punto a: '); b =input('Introduzca el punto b: '); n =input('Número de subintervalos (n): '); %Graficamos la función en el intervalo [a,b] ezplot(f,[a,b]); grid,title('\bf Regla de Simpson 3/8 compuesta') f=inline(f); %Calculamos la longitud del subintérvalo h =(b-a)/(2*n); f0=0; for i=1:n-1 x=a+h*(2*i); f0=f0+f(x); end f1=0; for i=1:n x=a+h*(2*i-1); f1=f1+f(x); end f0=2*f0+4*f1; f0=f0+f(a)+f(b); %Aproximamos la integral aprox=(h/3)*f0; %Mostramos los resultados en pantalla (con 3 decimales) fprintf('\nAproximación a la integral=%12.3f \n',aprox);

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