Copia de MCIN U2 A2 JOLO - INTRODUCCION AL ALGEBRA SUPERIOR PDF

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INTRODUCCION AL ALGEBRA SUPERIOR...

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UNIDAD II ACTIVIDAD 2: AREA ENTRE CURVAS INTRODUCCION El presente trabajo se presenta como evidencia de aprendizaje para la Unidad II de la asignatura Calculo Integral perteneciente al programa de Licenciatura en Matemáticas de la UnADM. El objetivo de este trabajo es mostrar la adquisición de conocimientos significativos en materia de área entre dos curvas mediante la resolución de ejercicios prácticos. La estructura del trabajo es la siguiente: Se presentara los enunciados de los problemas propuestos, los cuales se encuentran divididos en tres partes, seguido de su solución y el argumento para llegar al resultado obtenido. Por último, se enunciaran unas breves conclusiones acerca del tema. DESARROLLO Una vez revisado el tema área entre dos curvas, encuentra el área de la región limitada por las curvas dadas. Si es posible realiza la gráfica correspondiente usando algún software para graficar. 

y=2−x2 ; y=−x

Solución: Hallamos los puntos de corte entre las curvas, igualando entre ellas y luego igualando a cero para resolver

x :

2−x 2=−x 2 −x + x +2=0 Factorizando:

( x+1 )( 2− x ) =0 Hallamos las raíces de x 1=−1

x 2=2

[Public]

x :

Entonces, aplicando la definición de área entre curvas propuesta por Leithold (1998) tenemos: b

A=∫ [ f ( x )−g ( x ) ] dx a 2

2

−1

−1

A=∫ [ 2−x 2−( −x ) ] dx=∫ [ 2+ x−x 2 ]dx

[

]

2 2

x3 x A= 2 x− + 3 2

= −1

9 2

Entonces: A=

9 unidadescuadradas 2

Grafica:

Figura 1. Grafica del área entre las curvas. Fuente: Symbolab

[Public]



y= x

2

; y= x3

Solución: Hallamos los puntos de corte entre las curvas, igualando entre ellas y luego igualando a cero para resolver x : 2

3

3

2

x =x

x − x =0 Factorizando: x 2 ( x−1)=0 De lo anterior tenemos: x 1=0 x 2=1

Entonces, aplicando la definición de área entre curvas propuesta por Leithold (1998) tenemos: b

A=∫ [ f ( x )−g ( x ) ] dx a 1

[

3

]

4 1

x x 1 A=∫ [ x −x ] dx= − = 3 4 0 12 0 2

3

Entonces: A=

[Public]

1 unidades cuadradas 12

Grafica:

Figura 2. Grafico del área entre curvas. Fuente: Symbolab.



y= x

2

; y=√ x

Solución: Hallamos los puntos de corte entre las curvas, igualando entre ellas y luego igualando a cero para resolver x : x = √x 2

Elevamos al cuadrado para eliminar la raíz: x 4=x Igualamos a cero: 4

x − x =0 Factorizamos: x ( x−1 ) ( x 2+ x+1 ) =0 Hallamos las raíces: x 1=0 x 2=1

[Public]

x 3=

−1 √ 3 + i 2 2

x 4=

−1 √ 3 − i 2 2

Como la ecuación esta definida en los reales, utilizaremos las soluciones reales de la ecuación. Entonces, aplicando la definición de área entre curvas propuesta por Leithold (1998) tenemos: b

A=∫ [ f ( x )−g ( x ) ] dx a

[

]

1

x3 3√ x3 1 A=∫ [ x −√ x ]dx= − = 3 2 0 3 0 1

2

Entonces: 1 A= unidades cuadradas 3 Grafica:

Figura 3. Grafico del área entre curvas. Fuente: Symbolab.

[Public]



y 2=x−1 ; x=3

Solución: Despejando y: y 2=x−1 y= √ x−1 Hallamos los puntos de corte entre las curvas, igualando entre ellas y luego igualando a cero para resolver x :

√ x−1=3 Elevamos al cuadrado para eliminar las raíces: x−1=9

x=10 De lo anterior tenemos que las ecuaciones solamente se cortan en el punto (3,10) . Al no tener un segundo punto de corte, no es posible calcular el area entre las curvas. Observamos gráficamente:

[Public]

Figura 4. Grafico del área entre curvas. Fuente: Symbolab.



y=x 2 ; y = x 4

Solución: Hallamos los puntos de corte entre las curvas, igualando entre ellas y luego igualando a cero para resolver x : x 2= x 4 4

2

x − x =0

Resolvemos mediante un cambio de variable. Sea u=x 2 , entonces tenemos: 2

u −u=0

Factorizamos: u ( u−1) =0 Hallamos las raíces: u1=0

u2=1

[Public]

Realizamos el cambio de variable: x 2=0 x=0

x 2=1 x 1=1, x 2=−1

Tenemos tres puntos de corte: x 1=−1 x 2=0

x 3=1 Entonces, aplicando la definición de área entre curvas propuesta por Leithold (1998) tenemos: b

A=∫ [ f ( x )−g ( x ) ] dx a

Dados los puntos de corte de las ecuaciones, podemos escribir el área entre las curvas de la siguiente manera: b

c

a

b

A=∫ [ f ( x )−g ( x ) ] dx +∫[ f ( x )−g ( x ) ] dx Ahora bien, observando los puntos de corte, tenemos que estos están contenidos en el

[−1,1 ] , por lo que, de acuerdo con Leithold (1998), podemos

intervalo cerrado

escribir la formula del área entre las curvas de la siguiente manera: b

c

c

a

b

a

A=∫ [ f ( x )−g ( x ) ] dx +∫[ f ( x )−g ( x ) ] dx=∫ [ f ( x )−g ( x ) ] dx Hallamos el área entre las curvas: 1

A=∫ [ x 2−x 4 ] dx= −1

[Public]

[

x3 x5 − 3 5

]

1

=

−1

4 15

Entonces: 4 unidades cuadradas 15

A=

Grafica:

Figura 5. Grafico del área entre curvas. Fuente: Symbolab.



y=

x 2 ; x−3 y +4=0 2

Solución: Despejamos y=

y

de la segunda ecuación:

x+ 4 3

Hallamos los puntos de corte entre las curvas, igualando entre ellas y luego igualando a cero para resolver x : x 2 x+4 = 3 2

[Public]

Multiplicamos por el MCM de 2 y 3, que es 6: 6

( ) ( ) x2 x+4 =6 2 3 2

3 x =2 x +8

3 x2 −2 x−8=0 Hallamos las raíces mediante el empleo de la formula general para ecuaciones −b ± √ b −4 ac 2a 2

cuadráticas

[ CITATION Leh04 \l 1033 ]:

−(−2)± √ ( −2) −4(3)(−8) 2 ±10 = 2(3) 6 2

x=

Entonces: x 1=

−4 3

x 2=2

Entonces, aplicando la definición de área entre curvas propuesta por Leithold (1998) tenemos: b

A=∫ [ f ( x )−g ( x ) ] dx a 2

[

]

2

3 2 x 2 x +4 x x 4 250 A= ∫ [ − ] dx= − + x −4 = 3 81 6 6 2 3 −4 3 3

Entonces: A=

250 unidades cuadradas 81

Grafica:

[Public]

Figura 6. Grafico del área entre curvas. Fuente: Symbolab.



y =4 x −x 2 ; y=x

Solución: Hallamos los puntos de corte entre las curvas, igualando entre ellas y luego igualando a cero para resolver x : 4 x −x2 =x 2

3 x−x =0

Factorizando x ( 3−x )=0 Hallamos las raíces: x 1=0

x 2=3 Entonces, aplicando la definición de área entre curvas propuesta por Leithold (1998) tenemos:

[Public]

b

A=∫ [ f ( x )−g ( x ) ] dx a 3

3

A=∫ [ 4 x − x −x ] dx=∫[ 3 x − x 2 ] dx 2

0

A=

[

0

]

3

3 x2 x3 9 − = 3 0 2 2

Entonces: A=

9 unidadescuadradas 2

Grafica:

Figura 7. Grafico del área entre las curvas. Fuente: Symbolab.

[Public]



y=x 2 ;

y=−x 2 +2

Solución: Hallamos los puntos de corte entre las curvas, igualando entre ellas y luego igualando a cero para resolver x : 2

2

x =−x + 2

2 x 2=2 2

x =1

x 1=−1 x 2=1

Entonces, aplicando la definición de área entre curvas propuesta por Leithold (1998) tenemos: b

A=∫ [ f ( x )−g ( x ) ] dx a 1

1

−1

−1

A=∫ [ x 2− ( −x 2 +2) ] dx=∫ [ 2 x 2−2] dx

A=

[

3

2x −2 x 3

]

1

= −1

8 3

Entonces:

A=

[Public]

8 unidadescuadradas 3

Grafica:

Figura 8. Grafico del área entre las curvas. Fuente: Symbolab.

CONCLUSIONES A continuación, se presenta una serie de argumentos a modo de conclusiones sobre el tema: 

Para entender el concepto de área entre curvas es importante haber comprendido de manera efectiva el concepto de área bajo una curva y los ejes del plano.



Se da por entendido que el estudiante a estas alturas ya conoce, entiende y domina los criterios de concavidad de funciones, sin embargo, considero importante incluir este en futuros ejercicios, a modo de repaso y también para poder observar su aplicación grafica.

REFERENCIAS Larson, R., & Edwards, B. (2010). Calculo de una variable. Mexico: McGraw Hill. Lehmann, C. (2004). Algebra. Mexico: Limusa. Leithold, L. (1998). El Calculo. Mexico: Oxford University Press - Harla.

[Public]

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