Cotas Sipremo e infimo Analisis matematico PDF

Preview

Summary

Analisis matematico Analisis matematico Analisis matematico Analisis matematico Analisis matematico Analisis matematico Analisis matematico Analisis matematico Analisis matematico...

Description

Cotas - Supremo e ínfimo Cotas superiores Consideremos los conjuntos

y

, que representamos en las siguientes figuras:

Todos los elementos del conjunto son números menores que ; en otras palabras, para el conjunto hay un número (por ejemplo, el ) que es mayor que todos sus elementos. Decimos entonces que está acotado superiormente y que el número es una cota superior de . Observemos que tiene muchas cotas superiores: por ejemplo, que

,

y

también son cotas superiores de

es una cota superior de

(de hecho, cualquier número mayor o igual

).

A diferencia de lo que ocurre en el caso anterior, para no es posible encontrar un número mayor que todos sus elementos, ya que contiene números arbitrariamente grandes. Se dice entonces que no está acotado superiormente. En general, una cota superior de un conjunto es un número que es mayor o igual que todo elemento de . Se dice que el conjunto está acotado superiormente si tiene alguna cota superior. Podemos visualizar esta noción en la recta numérica:

Como vimos en el caso de , un conjunto puede no estar acotado superiormente. Esto ocurre cuando el conjunto contiene números arbitrariamente grandes.

Ejemplos. •

está acotado superiormente: por ejemplo,

, ,

, , son cotas superiores de

.

•

está acotado superiormente: por ejemplo, es una cota superior de . También es una cota superior de . Por otro lado, no es una cota superior de , porque tiene elementos mayores que como, por ejemplo, .

•

está acotado superiormente: por ejemplo, , o cualquier otro número mayor o igual que son cotas superiores de . Notar que no es una cota superior de , ya que, por ejemplo, es un elemento de que es mayor que .

• todos los que están en

no está acotado superiormente, porque no hay ningún número que sea mayor que .

Supremo Como vimos, si un conjunto tiene una cota superior, entonces tiene muchas cotas superiores. Nos preguntamos si hay una cota superior que sea la "mejor" entre todas las cotas superiores de .

Por ejemplo, para el conjunto otro lado, , porque

, tenemos que

es la menor de las cotas superiores de ). En este sentido,

es una cota superior de

(un número menor que

lo es. Por

no es mayor que todo elemento de

es la "mejor" cota superior que podemos encontrar para este conjunto. A

esta cota superior que es la menor de todas se la llama el supremo de

Definición. Si cotas superiores de

, pero también

.

es un conjunto no vacío y acotado superiormente, el supremo de . Si es el supremo de , escribimos .

Ejemplos. • El supremo del conjunto

es

• El supremo del conjunto

es

. .

es la menor de las

En efecto, es una cota superior de y, además, es la menor de todas las cotas superiores (de la misma manera que vimos que no es cota superior de , resulta que ningún número menor que lo es). • El supremo del conjunto • El conjunto

es

.

no tiene supremo, ya que no está acotado superiormente.

En otras palabras, el supremo de un conjunto cumple las dos condiciones siguientes: • es una cota superior de , • si es una cota superior de , entonces

no vacío y acotado superiormente es un número

que

.

Una característica fundamental del conjunto de los números reales es que todo conjunto acotado superiormente tiene supremo.

no vacío y

Cotas inferiores e ínfimo En forma similar a lo anterior, podemos introducir las nociones de cota inferior e ínfimo. Una cota inferior de un conjunto es un número que es menor o igual que todo elemento de dice que el conjunto está acotado inferiormente si tiene alguna cota inferior. Por ejemplo, para el intervalo inferiores de

, algunas cotas inferiores son ,

, mientras que

y . Por otro lado,

,

y

. Se

son cotas

no está acotado inferiormente.

Cuando un conjunto está acotado inferiormente, nos preguntamos por la "mejor" cota inferior posible; en este caso se trata de buscar la mayor de las cotas inferiores del conjunto. A la mayor de las cotas inferiores se la llama el ínfimo del conjunto. Si es el ínfimo de un conjunto , escribimos . Por ejemplo, para los conjuntos tenemos que ,

y

, y no tiene ínfimo.

representados en la figura de arriba,

Si es un conjunto no vacío y acotado inferiormente, el ínfimo de es la mayor de las cotas inferiores de ; en otras palabras, es un número que cumple las dos condiciones siguientes: • es una cota inferior de , • si es una cota inferior de

, entonces

.

Ejemplos. Para cada uno de los siguientes conjuntos , determinar si inferiormente y hallar, si existen, el supremo y el ínfimo de .

es acotado superiormente y/o

•

Este conjunto es acotado superiormente e inferiormente. Además,

e

.

•

El conjunto es acotado superiormente y vale existe .

. No es acotado inferiormente, con lo cual, no

•

Este conjunto no es acotado superiormente, entonces no existe .

. Es acotado inferiormente y vale

•

Este conjunto no es acotado superiormente ni inferiormente; por lo tanto, no existen

ni

....