Principios de analisis matematico - enrique lines escardo PDF

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Prólogo Lafinalidad de este libro sobre «principios«, destinado a los estudiantes que ;11;(';(/1/ el estudio del Análisis Matemático, es presentar las teorías básicas y los método,\' ¡!rO/JI'" de esta rama de la Matemática, que han de servir defundamento y referencia (f los 1///1&#...

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Prólogo

,t""u".,,,d"fI. I.DITORIAL REVERTÉ. S. A, Lurltlo. 13 15. local B 08029 Barcelona 1l1l'''''VU'¡O" lodos los derechos, la reproducción total o parcial de esta obra. por cualqUier 11111(1111 ti

IHocndlmlento, comprendidos la reprograffa y el tratamiento informático y la distri-

llllO:lOí" do "ltlmplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda rigurosamente 1" .. llIhl O, x 2 > 2} no posee Ínfimo en Q. I(vidl'nll'mente x = 2 es una cota superior de X, y x = 1 es una lufr.lilll' dl' Y. Pon flrimer lugar, no existe un racional : tal que ( : ) 2 = 2 o

ninconcota

El ejemplo siguiente se refiere a la determinaci~~ de un ~upremo y un ínfimo en la ordenación por inclusión de una colecCLOn de conjuntos. Ejemplo 2. - Dado el cuadrado 1 = [0,1] X [0,11 del plano. ordinario R2, sea X el conjunto de las partes (o subconjuntos) de l. Se considera en X la ordenación parcial por la inclusión c. Con A se designa el conjunto de todos los círculos abiertos (sin borde) de radio _1_. contenidos en 1. 4 Cotas triviales superior e inferior de A son el cuadrado 1, y el vacío 1>. Otras cotas más interesantes son la unión y la intersección de la colección de círculos y E A, pues precisamente son el supremo y el ínfimo de la colección A: sup A = U y, inf A = y.

n

El sup A es la figura plana abierta (sin borde) obtenida al sustituir en 1 1 los cuadrados en los vértices de lado 4 por cuadrantes circulares. El inf A es el conjunto vano. Manifiestamente, ni sup A m inf A pertenecen a A, que nO posee ni máximo ni mínimo.

bien

,,1...

2 tll; ya que en la descomposición en factores primos de los dos miem"ros d¡, la igualdad, el factor 2 aparece un número par de veces en el primer

Id

/

por lo qUl'

w

+ (2 ro + 1) r <

no sería el supremo de X.

w2

+ 2-

1))2

"

I

1

I

IL ___

___ .1

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I

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1 1 1

supo A

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O 4

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: inf, A )

3 8 \

r---

"- ....

\

I /-

4 w2

...,

~

y un número impar en el segundo. Si ¡'xistiera un m> O racional que fuera ro = sUPQ X, como wz:;;t: 2, sería ",l. 2, [J hien (,¡2> 2. El primer caso no puede darse, pues tomando un r < 1 racional, tal que 2 -~ w 2 () • - r < 2 l ' se tendría Il1Ít'Il1hl'O

+ ('" + r)2 = {Ji + 2 ror + r <

2,

por lo que w - r sería también una cota superior de X y w no sería el supremo de X. El mismo razonamiento prueba que no existe en Q un infinito de Y.

J.I~; dlls

Il)

2w

(w - 1")2

1.7. Cuando el conjunto X está totalmente ordenado, las definiciones de 1111 i1110 .Y su premo de un subconjunto A e X se simplifican. Un a E X es ínfimo el,' i\ ,'/1 X si, y sólo si, se cumplen las dos condiciones:

!'ara todo x E A es a -s;; x. I'arll todo a' E X, que sea a< a' existe algún x'

a}-2

tal que 0< 1" <

= infA

cllando se sobreentiende cuál es el concepto X que contiene a A. 1k ord inario no existen en X ínfino ni supremo de A eX.

,1) h¡

9

Elementos de la teoría de conjuntos

,....

"-

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/

supo A

' ....

/

I /

/

3

8

."

/

I

10

Elementos de la teoría de conjuntos

Estos extremos no pertenecen a A que no posee ni mínimo ni máximo. Si el círculo fuera cerrado A (con borde), se tendría

Si en este ejemplo se hubieran considerado los círculos abiertos y de radio 3 contem'dos en 1, el sup A sería una figura abierta análoga a la anterior,. -Xobtenida al sustituir en 1 los cuadrados en los vértices de lado

+

d,' un;! figura plana sin borde, limitada por cuatro arcos de circunferencia. En ,'sil' caso, tampoco el sup A y el inf A son máximo ni mínimo.

En los ejemplos anteriores los supremos e ínfimos aparecen de una maIll'ra ".~pontánea e intuitiva. No siempre es así. A continuación se exponen. ,'11 UI1;! ordenación total, situaciones sorprendentes de dichos extremos.

I:'j¡-mplo ./. - . En el conjunto de puntos (x, y) del cuadrado l = [0,1] X (0,1] '.,' ddilll' Ii! ordenación lexicográfica. Para cada par de puntos (XI> y,), (x:¡, Y2) E [ ('~: (.\'r, !Ir) < (Xl, yz) si X, < X2 cualesquiera que sean y, e Y2' y si Xl = X2 ('¡I.lnrl, 1 Ifr": 1/l. Se complementa esta definición poniendo (x" y,)::::;:; (X:¡, Y2), si (,1'r, I/r)' (xJo y)} o si (Xl> y,) = (X2'Y2)'

iof. A

I --_ I // ... "

r

\

A

\

\

}

\

1 1

"

---

~/ I

I

1 supo A 2

o

1

1

1 4 Este conjunto está acotado, pues aparte de las cotas triviales (O, O) infe-

rior y (1, 1) superior, cualquier punto (x, y) E 1 con O::::;:; x::::;:;

+

es una cota

+::::;:; x::::;:; 1 es una cota superior de A. I~I fnfimo de Aes precisamente (+, 1), y el supremo (+, O)

inferior de A, y cualquier (x, y) con

,

que como pertenecientes a A, serían el mínimo y el máximo.

4.

APLICACIONES 4.1.

Definición: Dados dos conjuntos X e Y, un grafo F de una relaci')1I

!ll = {X, Y, F} es funcional si cumple las condiciones siguientes: a) Los primeros elementos de todos los pares (x, y) € F, forman un

('(1/1-

junto que coincide con X. b) No existen en F pares que tengan el mismo primer elemento; es dl'cir, si (x, y) E F Y (x, y) E F es y = y. Una aplicación de X en Y, es una relación entre X e Y, en la que el gr'l fo es funcional. Como el conceptO' de aplicación tiene gran importancia, conviene d;¡r 1111.1 definición directa del mismO'.

dominio f = X

2

Sl'¡¡ A el conjunto de puntos del CÍrculo abierto de centrO' el de l y ra-

dio

1)

-4-' -2-

El 'conjuntO' X que cQincide CQn la primera proyección del grafO' F mina dominio de la aplicación f o conjunto ck partida. La segunda proyección de F se denomina recorrido, codo minio o de llegada de la aplicación f. De acuerdo con la definición es

1

o

_= (3

Y supA

Definición: Una aplicación f de X en Y, es una terna {X. Y. F} {'/I 1" .(/1/' F es una parte del producto cartesiano X X Y, que cumple las ('(}/II/;ool//'\ a) Para todo x E X, existe al menos un par (x, y) E F. b) No existen pares distintos en F que tengan el mismo primer e/"II/.'lItO.

1

I 1/

(14 ' 1) 2

"f-

mA=---~

por cua-

dr.lII1l's circula,res. Sin embargo el inf A es totalmente distinto, pues se trata

11

Elementos de la teoría de coniuntos

Para designar una aplicación ciones

con;ll11/o

recorrido fe Y.

Y

f de X en

f:X-¡.Y

St' d('1I0-

O'

Y, son de uso' frecuente las notaX

f

4

Y,

que se leen Uf aplica X en Y". Si en la aplicación f = {X, Y, F} es (x, y) E F, se dice que al elemento x E X le corresponde en f el y € Y, Y este elemento se suele denotar por {(x), que se lee Uf de x", Para indicar que al elemento x le corresponde el y = {(x), también se escribe X

f-+

Y

= f(x)

o

X

f-+

f(x).

12

Elementos de la teoría de conjuntos

Este simbolismo puede emplearse para designar una aplicación, cuando se suponen conocidos el dominio X de la misma, y el conjunto Y que contiene a I recorrido. En vez del nombre de aplicación se usa frecuentemente el clásico de fUl/cirÍn, y se dice que f define una función en X, a valores de Y. El conjunto X se denomina también, dominio de la función O' campo de d"(illil"ián de la función. Los nombres de aplicación y función se consideran comO' sinónimos y en J\n;ílisis, en particular, es muy frecuente el uso del segundo término·. 4.2.

'1.J,

En una aplicación f: X 0-)0 Y, a cada x

€

X le corresponde un solo

11 e Y. que es la imagen de x en la aplicación f. Si ecx, el subconjunto de y formado por todas las imágenes de los elementos x € e, es la imagen de e ,'/1 /1/ aplicación t, que se representa por f(C)· EII particular, el recorrido de la aplicación t: X·-jo Y es t(X). f

--------.........

y

.... ....

,

,., ,., .....

------

Aplicación I de X en Y. Imagen de

e

,-

I

1, la aplicación de X en de equivalencia Xa

~, o

X €~,

' lap'lcactuTt 'L_ 1 se denomma natura,

En esta aplicación la antiimagen de una clase de equivalencia es ella misma. 4.4. Atendiendo a propiedades simples del recorrido y del grafo de cada IIplicación, se obtiene una clasificación general de las aplicaciones. 11 na aplicación f : x·~ Y, en la que el recorrido f(X) coincide con el con¡UI/to Y, es exhaustiva. La aplicación f "aplica X sobre Y", por 10 que a veces Sl' dice que f es una aplicación "sobre" o sobreyectiva. En las aplicaciones exhaustivas todo y € Y es imagen de un x € X por lo /llenos. Una aplicación f : X·-* Y, (m la que para todo par x', x" € X de elementos d¡sfintos, también I(x') -:j::- f(x"), es inyectiva. También se dice que f es una j 111 fe' ('cí ón. . Una aplicación f: X·-* Y, en la que todo elemento y € Y es imagen de 111/0 y un solo elemento x € X, es biyectiva. También se dice que f es una "i{lección . En consecuencia la aplicación es biyectiva, si es exhaustiva e inyectiva . Fjemplo. En la figura siguiente se presentan esquemas de los distintos

1

I

y

y

,.'/

por ,.

En una aplicación f : X -+ L, la antiimagen de un y € Y es el conjunto de lodos los x E X tales que t(x) = y. Se designa po.r /- 1 (y), y en consecuencia

f- I (y) = {x

€

X : f(x)

€

X: f(x)

x

= y}.

Aunque según esta definición, la antiimagen de un y € Y es un conjunto, cuando éste conste de un sO'lo elementO', se identificará con tal elemento y se escribirá x = /- 1 (y). La definición de antiimagen de un elementO' y, se generaliza al casO' de un conjunto: En una aplicación f : X -4 Y, la antiimagen de un D e Y, es el subconjunto dl' X, unión de todas las antiimágenes de los elementos y € D:

f- I (D) = {x

€

en la que a cada a € X le corresponde la clase'

r

\

¡(X)

13

E/llmentos de la teoría de conjuntos

D}.

Es frecuente denominar a la antiimagen, imagen inversa. H;emplo. Si en el conjunto X está definida una relación de equivalencia

Aplicación f : X -lo Y

X Aplicación f: X-lo y exhaustiva

y

y

I I

I

X

Aplicación f : X -+ Y inyectiva

i" ¡~ Aplicación f : X -* Y biyectiva

14

Elementos de la teoría de coniuntos

l/"montos de la teoría de conjuntos

15

tipos de aplicaciones {= {X, Y, F}. 4.5. De acuerdo con las definiciones anteriores, el que en la aplicación { : X-+ y cada una de las antiimágenes de los elementos y E {(X) tenga un solo elemento x E X, equivale a que la aplicación f es inyectiva; y el que cada uno de los elementos y € Y tenga una antiimagen no vacía, equivale a que la aplicación f es exhaustiva. Para las aplicaciones biyectivas, y sólo para éstas, tiene sentido el concepto de aplicación inversa.

r:

Definición: Sea X ,---+ Y una aplicación biyectiva. El conjunto de todos los !I({res (y, x) obtenidos invirtiendo los (x, y) de la aplicación {, define una 'I!J!iCllf"Íón de Y sobre X que se denomina inversa de la t. Además, la aplicación inversa f- 1 : y ---+ X es también biyectiva. Consecuenci:1 dl' ser biyectivas tanto f como f- I son las siguientes igualdades: x

= f- (((x)) para todo x

Y

= f(f-I (y»

1

para todo

€

X

y € Y.

'1.'). En el caso de tratarse de aplicaciones cualesquiera, son útiles y de uso freClll'llte las siguientes fórmulas. ,..,'C({ f: X -> Y una aplicación. Para todo e e X es e e f- I (((e); y para !or/" /) e Y es f(f-l (D» e D. LI primera inclusión resulta del hecho de que si x E e, f(x) € Y, por 10 quc x pertenece a la antiimagen de f(x), o sea x E f- I (f(x». Como este resuljado es cierto para todo x € e, se tiene e e t- 1 (((e». La segunda inclusión resulta análogamente. Si y € D es f- I (y) € X, Y po.r la definición de antiimagen f(f-I(y» = y, o bien tef-I(y» = q, cuando YU(X). En todo 'caso es {(f-I (y» e {y} para todo y € D, en donde f(f-l (D» e D. De este mismo razonamiento resulta: Para todo D e Y es f(f-l(D» = D n f(X). Por otra parte, si f : X -+ Y es biyectiva, para todo e e X es e = f- I «((e», y para todo D e Y es f(f-I(D) D.

=

4.7. Definición: Sean las aplicaciones f : X-+ Y y g : Y -+ Z, en las que el recorrido de f está contenida en el dominio de g, es decir f(X) e Y. La aplicación compuesta de f y g, que se escribe g o es una aplicación g o f : X -+ Z~ en la que a cada x € X le corresponde z = g(f(x») € Z.

r,

También se puede decir, que si F y G son los grafos de f y g respectivamente, el grafo de la aplicación g o f es

G o F = {(x, z)

E

X

X

Z : (x, y)

€

F, (y, z)

€

G}.

En general no tiene sentido la composición en orden inverso f o g. y 11111' dIO menos la propiedad conmutativa. Sin embargo, la ley asociativa f¡ () t¡:" /) ,..' (h o g) o f es válida, siempre que cada uno de los miembros de la iguald,1l1 ftonga sentido. 'I.R. Finalmente, conviene precisar lo que se entiende po,r res!ri('c¡(¡1I d(' 1111:1 aplicación.

Definición: Sea f : X ,---+ Y una aplicación y X o e X. Se denomina I',,\! ri," ,'iáll de faX o, la aplicación fa : X¡j---+ Y, en la que es fo(x) = f(x) por" ¡""" ,r ( XI), A veces, para la restricción de faXo se escribe f I X o ó fX o' La restricción de f se obtiene al reducir X a X o, el proceso con1.r:ll'l" 1I,'v.l 11 la extensión de una aplicación. Una aplicación f: X ---+ Y es extensión de la fo : X o ---+ Yo si X" e X. 11 ,'\ f(x) = fo(x) para todo x € X o•

.5.

SUCESIONES

5.1. Se supondrá conocido el conjunto de los números naturales o enfcros positivos, que se designa po.r N, así como su ordenación usual. La orden:ll'i(lIl de N no sólo es total, sino que N es un conjunto bien ordenado, es decir, todo subconjunto e e N tiene un mínimo o primer elemento. También se supondrá conocido el método de demostración por indu('ci,"ll.

5.2. En algunos casos el reco,rrido de una aplicación se considera l11;í~; interesante que la aplicación misma, y a través de las aplicaciones se c!dilU'll conjuntos que son sus recorridos. En estos casos se cambia la notación y la terminología. Las sucesiones finitas e infinitas son los ejemplos más típicos.

Definición: Una sucesión finita de elementos del conjunta X, de n !{~r­ //linos, es una aplicación del conjunto {l, 2, , .. , n} de los números na/l/raIn IlIl'IWreS o iguales que n, en X.

IINis-2

]6

Elementos de la rlOvi,-: de con;untos

Si se designa por f esta aplicación. su dominio es la sección inicial Sen) = {1, e N de extremo n, y su recorrido (f(l). 1(2)• ... , {(x n )}. En vez de f(h) se suele escribir Xh que es el término h-ésimo de la sucesión, su recor,rido será {XI> X2, " ' 1 x n }. 2, ...• n}

Definicióq: Una sucesión infinita, o simplemente una sucf!sión, de elementos del con;unto X, es como aplicación del conjunto N de los números naturales en X. Con la misma notación que en el caso anterior, el recorrido, de la sucesión es {XI' X 2• •..• X n, ... } o en forma breve {x n }, sobreentendiéndose que n "recorre" los números naturales. Por brevedad es común utilizar la notación {x n } para indicar la sucesión indefinida cuyo término n-ésimo es X n • 5.3. Sea k una aplicación cuyo dominio es N y cuyo recorrido es un subconjunto de N; es decir. k: N ,-->' N. Además se supone que k es creciente con n: SI m < n es k(m) < k(n). Estas aplicaciones permiten definir sllbsllcesiones de una suceSlOn dada. Dada una sucesión {x n }, que escrita con notación general es: f: N ~ X. la aplicación compuesta {o k : N - X, hace corresponder a cada n E N, el elemento Xk(n¡ E X. La sucesión {Xk(n)} es una subsucesión o sucesión parcial de la {x n }. Otra notación para la subsucesión .{Xk(n)} es {Xk n }'

Ejemplo.

Dada la sucesión (-;.-) y la aplicación k definida por k(n) = 2",

por composición se obtiene la subsucesión (

".,,,,,,,Ios de la teoría de conjuntos

17

son las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva de la coordinaci"'fl. Si los dos conjuntos X e Y son coordinables, se dice que tienen el misllIo ",¡",,'ro cardinal, la misma cardinalidad, o la misma potencia. St' t'scribe card (X) card (Y). '11It'

=

t,.2. Proposición: Si m:F- n, las secciones iniciales S(m) y ""II/'dil/rlhfes, S,, probará la proposición aparentemente más general:

1111,'/,"

Nill!:1I1/1/

1/,/

\""

.\1"'" ,,,

coordinable con un subconjunto propio. S,, l'onsidera el conjunto CeN de aquellos números n tules qu!' ,,1 IIII'IIC", t'KI~h' IIna aplicación de S(n) sobre un subconjunto propio. Sea 1;' d 1111111111(1 ,tI' (,'. por lo que existe una aplicación inyectiva f de {l, 2, .. " ,,' I .... 111 C' 1111 ~lIh('()njunto propio. Sí];¡ imagen de {l, 2..... n'} por {no contiene n', f aplica {I, 2" (1/' J) I ~Ilhl'l' 1111 subconjunto propio, lo que contradice la propiedad de mínilllo el,' ,,' SI' ~lIpone, pues, que la imagen de {l. 2 ..... n'} por f contiene fI'. Si f( //') !I'. PI'I'Sl,'llIdíendo de n', resulta que { aplica {l, 2•. oo, (n' -·l)} sobre 1111 ~;lIll1'llIl 111II11l propio, en contra de la hipótesis de mínimo de n'. Si fin') ¡,. ,,' .. ". l'III1Sid!'l'1..

,''''1 ,"

20

Elementos de la teoría de conjuntos

6.7, Ejemplos notables de conjuntos numerables son los que se citan en las siguientes proposiciones.

1/

Proposición: El conjunto Z de los números enteros, es numerable. El conjunto Z es unión de los elementos de las sucesiones {n}, {~n}, con (' N. con el con junto finito {O}.

11.

JlI.

de g. Probar que 9l es una relación de equivalencia, y que existe una biyección entre F/91 y P(X) - {1>}, donde P(X) es el conjunto de las partes de X. Sea S un...