Resumen Analisis Matematico I PDF

Preview

Summary

Download Resumen Analisis Matematico I PDF

Description

m .a r s.c o no UT Ni a



 



NÁLISIS MATEMÁTICO I AN UNIDAD I: RELACIONES Y FUNCIONES  Entorno: E ( a; δ ) (entorno de centro “a” y radio “δ”)

E (a ;δ ) = (a − δ ; a + δ ) = x − a < δ Entorno Reducido:

E * (a ;δ ) = E ′ (a ;δ ) (no incluye al punto a)

E * (a ;δ ) = (a − δ ; a ) ∪ (a; a + δ ) = 0 < x − a < δ  Función Par: f: A→B será par ⇔ ∀x ∈ Domf  f(x) = f(-x) Característica Gráfica: Simetría respecto al eje y. Función Impar: f: A→B será impar ⇔ ∀x ∈ Domf  f(x) = -f(-x) Característica Gráfica: Simetría respecto al origen de coordenadas.

UNIDAD II: LÍMITES Y CONTINUIDAD 

Si lím f (x ) = l ⇔ ∀ ε > 0;∃ δ (ε ) > 0 /(∀ x : x ∈ Domf ∧ 0 < x − a < δ )  f ( x) − l < ε x→ a



Si lím f 1 (x )= l ∧ lím f 2 (x )= l ∧ ∀x ∈ E (a ;δ ) : f 1 (x ) ≤ f 3 (x ) ≤ f 2 (x )  lím f 3 (x ) = l x→ a

x→ a

x→ a



lím f (x ) = l

x → ±∞

gr. P(x) = gr. Q(x)  l = Cociente entre los coeficientes principales de los dos polinomios. gr. P(x) < gr. Q(x)  l = 0 gr. P(x) > gr. Q(x)  l = ∞

I. II. III.

 

f (x) es un infinitésimo en x = a ⇔ lím f (x ) = 0 x→ a

 !"

lím

x →0

senx tgx senx tgx x x = lím = lím = lím = lím = lím =1 x x x x x → → → → → 0 0 0 0 0 x x tgx senx senx tgx

#

f (x) es continua en x = a ⇔ en a cumple con las siguientes condiciones: 1. ∃ f (a) 2. ∃ lím f ( x) = l (único y finito) x →a

3.



l = f (a)





m .a r s.c o no UT Ni a



 



# Discontinuidad Evitable (aparente): Cuando no existe f (a ) pero ∃ lím f ( x) x →a

= l (único y finito). En ese caso se rearma la función con varias

reglas para que sea continua. Existe en esta función una LAGUNA. Discontinuidad No Evitable (no removible): Cuando no existe f (a ) y no existe l único y finito. En ese caso existe un SALTO, cuyo valor se obtiene de

l d − l i , y puede ser finito o infinito.

#$ Si

f (x) tiene límites laterales distintos en x = a , pero: 1. ∃ lím− f ( x) = li = f (a)  ∃ Continuidad Lateral Izquierda x →a

2.

∃ lím+ f ( x) = ld = f ( a)  ∃ Continuidad Lateral Derecha x →a

%& Funciones Continuas en x = a f (x) y k ∈ IR

  

f (x) y g (x) f (x) y g (x) f (x) y g ( x) ≠ 0



f (x) y g (x) (continua en f (a ) )



 

Función continua en x = a

k . f ( x) f ( x) + g ( x) f ( x).g ( x) f ( x) g ( x) ( gof )( x)

UNIDAD III: DERIVADAS Y DIFERENCIALES  

Mtg (pendiente de la tangente) =



lím

X → Xo

f ( x) − f ( x 0 ) x − x0 



m .a r s.c o no UT Ni a



 



 Incremento:

∆x = x − x0 Incremento de la función:

∆y = f (x ) − f (x 0 ) = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) '&()

∆y f (x ) − f (x 0 ) f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 ) = = ∆x ∆x x − x0 '&

∆y f ( x0 + ∆ x) − f ( x0 ) = lím ∆x→0 X → Xo ∆x ∆x lím

"

y ' = f ' (x ) =

f ( x 0 + ∆x) − f ( x 0 ) ∆y dy = Df (x ) = lím = lím X →Xo ∆ x ∆x →0 ∆x dx

" Es la función que nos permite calcular la derivada en un punto en base al valor del punto elegido. Condición: Domf ' ⊆ Domf

 " Es la pendiente de la recta tangente en el punto.

Mtg = f ' (x ) = lím

∆x→ 0

f ( x 0 + ∆ x) − f ( x 0 ) ∆x

 Si el cociente incremental no tiene límite único y finito, entonces no existe derivada única. Lo que puede ocurrir es:  1. ld ≠ li ( finitos )  ∃2tg  tiene dos derivadas laterales  Existe Punto Anguloso

( l = +∞) ∨ ( l = −∞)  tiene derivada infinita  3. l = ±∞  ∃2 tg (coincidentes verticales), una conMtg = +∞ y la otra con Mtg = −∞  Existe Punto Cuspidal

2.

"&#

Derivabilidad  Continuidad Continuidad  / Derivabili dad (no siempre) No continua  No derivable "(&") Función

f ( x) = k /( k ∈ IR) f (x ) = x f ( x) = kx f ( x) = xm /( m∈ IR)



Función Derivada

f ′(x ) = 0 f ′ (x ) = 1 f ′ (x ) = k f ′ ( x) = m.x m−1





m .a r s.c o no UT Ni a



 



f ( x) = e x

m mn −1 ⋅x n 1 f ′ (x ) = x f ′( x ) = e x

f ( x ) = a x /( a > 0 ∧ a ≠ 1)

f ′ (x ) = a x .ln a

f ( x) = n xm /(n, m∈ IR) f ( x ) = ln x

f ( x) = log a x /(a > 0 ∧ a ≠ 1) f ( x ) = sin x f ( x) = cos x f ( x ) = tan x f ( x) = cot x f ( x) = sec x f ( x) = csc x f (x ) = arcsin x f ( x) = arccos x f (x ) = arctan x f ( x) = arc cot x f ( x) = arc sec x f ( x) = arc csc x f ( x) = cosh x f ( x) = sinh x f ( x) = tanh x f ( x) = coth x f ( x) = sec hx f ( x) = csc hx f ( x ) = arg sinh x f ( x) = arg cosh x f ( x ) = arg tanh x f ( x) = arg coth x



f ′ (x ) =

f ′ (x ) =

1

x .ln a f ′( x) = cos x f ′ ( x) = − sin x f ′(x ) = sec 2 x f ′ ( x) = − csc 2 x f ′( x) = sec x. tan x f ′( x) = − csc x. tan x 1 f ′ (x ) = 1− x2 1 f ′ (x ) = − 2 1− x 1 f ′ (x ) = 2 1+ x 1 f ′ (x ) = − 1+ x 2 1 f ′ (x ) = x. x 2 − 1 1 f ′ (x ) = − x. x 2 − 1 f ′( x) = sinh x f ′( x) = cosh x f ′( x) = sec h2 x f ′( x) = − csc h2 x f ′ ( x ) = − sec hx. tanh x f ′( x) = − csc hx. coth x 1 f ′ (x ) = 1+ x2 1 f ′ (x ) = x2 − 1 1 f ′ (x ) = 2 1− x 1 f ′ (x ) = − 2 x −1





m .a r s.c o no UT Ni a



 



f ( x) = arg sec hx

f ′ (x ) = −

f ( x) = arg csc hx

f ′ (x ) =

1 x 1 − x2 1

x x2 +1

%&" Derivada de la Suma:

[ f ( x) + g ( x)]′ =

f ′( x) + g ′( x)

Derivada del Producto:

[ f (x ).g ( x)]′ =

f ′ ( x).g ( x) + f ( x). g′( x)

Derivada del Cociente:

′  f ( x ) f ′(x ).g (x ) − f (x ).g ′( x )   = g 2 ( x)  g (x ) "

(gof )′(x ) = g ′[ f ( x )]. f ′( x) = (gohof )′(x ) =

dg df ⋅ df dx

dg dh df (regla de la cadena) ⋅ ⋅ dh df dx

" Ejemplos:

1 ⋅ y′ = 2 y. y′ + 3 x 2 y sin y + cos x = y .x  derivo  cos y .y ′ − senx = y ′.x + y 2 3 ln y. = y + x  derivo 

* " Se aplica generalmente a las funciones exponenciales y potenciales.

y = [ f ( x )] ( )  aplico ln ln y = g (x ).ln f ( x)  derivo g x

1 1 · y′ = g ′( x ).ln f ( x) + g ( x)· · f ′( x)  despejo y f (x )  g ( x). f ′( x)  y ′ = y. g ′( x).ln f ( x) +   reemplazo f (x )    g (x ).f ′ (x ) y ′ = [ f (x )]g ( x ) . g ′(x ).ln f (x ) +  f (x )  

y′ y

""

y = f (x )  x = f 1 ( y )  derivo ′ x ′ = f −1 ( y )  aplico derivada de una composicio n ′ 1 = f −1 ( y ) . y ′  reemplazo −

[

[

]

]

1 = x′.y′  y′ =



1 x′ 



m .a r s.c o no UT Ni a



 





f ′( x). ∆x + ω.∆ x , siendo ω un infinitésimo → 0 . Al primer término se lo llama diferencial de y, y se escribe: dy = f ′ (x ).∆ x

El incremento de la función puede expresarse como∆ y = para ∆x

o

dy = y ′.dx (expresión analítica)  Ya que el diferencial difiere de la derivada en el valor arbitrario de∆ x , las mismas reglas de derivación nos sirven para la diferenciación.

  Q

ε.∆ x T

∆y dy

P

R

∆x

x

x + ∆x

+

f ( x) ≅ f ( x0 ) + f ′ ( x0 ).∆ x Con:   

x = punto a aproximar x 0 = punto cercano a x ∆x = x − x 0

%&   

d[ f ( x) + g( x) ] = df ( x) + d( g) d[ f ( x). g( x)] = g.df ( x) + f .dg ( x)  f ( x )  g.df ( x) − f .dg ( x) d = g 2 (x )  g ( x) 

"

f (x)

Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Creciente +

-

Decreciente

Positiva

Negativa

f ′ (x) Creciente

f ′ (x)



+

-

Positiva

Negativa



Decreciente



m .a r s.c o no UT Ni a



 



UNIDAD IV: APLICACIONES DEL CÁLCULO DIFERENCIAL *+"(*) * y = f (x) tiene un Mr f (x0 ), siendo x 0 ∈ Domf ⇔ ∃ E (x 0 ;δ ) /∀x ; f (x ) ≤ f ( x 0 )

"() * y = f (x) tiene un mr f ( x0 ) , siendo x0 ∈ Domf ⇔ ∃ E (x 0 ;δ ) /∀x ; f (x ) ≥ f ( x 0 )

#++" Para que exista extremo relativo en un puntox 0 ∈ Domf es necesario que:

∃f ′( x0 ) = 0  Son los puntos donde la función puede presentar un extremo relativo.  Puntos donde f ′(x ) = 0 

Puntos donde ∃ /f

′(x) , siendo punto anguloso o cuspidal.

#+" 

x 0 ∈ Domf es punto crítico y h un número pequeño arbitrario, calculamos f ( x 0 ), f (x 0 − h ) y f (x 0 + h ) y los comparamos:

Si

  

[ f (x 0 ) > f (x 0 + h )] ∧ [ f (x 0 ) > f (x 0 − h )]  f (x 0 ) = Mr Si [ f ( x 0 ) < f ( x 0 + h) ]∧ [ f ( x 0) < f ( x 0 − h) ]  f ( x 0) = mr Si

Si no se cumple ninguna de las anteriores, en x 0 la función es creciente o decreciente.

* " 1. 2.

Derivo la función. Hallo los puntos críticos.

3.

Si

x0 ∈ Domf es punto crítico y h un número pequeño arbitrario, calculamos f ′ ( x0 − h) , f ′(x 0 + h ) y concluimos:  Si [ f ′ (x0 − h ) > 0]∧ [ f ′ (x0 + h ) < 0]  ∃Mr = f ( x0 ) 

Si

[ f ′ (x 0 − h ) < 0] ∧ [ f ′ (x 0 + h ) > 0]  ∃mr =

f (x 0)

* " 1. 2. 3.

Derivo la función. Hallo los puntos críticos. Hallo la derivada segunda de la función en el punto.  Si f ′′(x 0 ) > 0  ∃mr = f (x 0 )  

f ′′( x0 ) < 0  ∃ Mr = f ( x0 ) Si f ′′(x0 ) = 0 , aplico método de la derivada primera o definición.

Si

+

Pi ( x0 ; f ( x0 ) ) es un Punto de Inflexión de f (x) , si y sólo si en dicho punto cambia el sentido de la concavidad de la curva, o bien es el punto donde la recta tangente la corta. Condición necesaria pero no suficiente: Si Pi ( x 0 ; f (x 0 )) es un Punto de Inflexión de f (x) y ∃f ′′ (x 0 ) 





f ′′ ( x0 ) = 0



m .a r s.c o no UT Ni a



 



Para hallar los Puntos de Inflexión: 1. Hallamos la derivada segunda de la función. 2. La igualamos a cero para hallar los puntos críticos, posibles Pi . 3.

Analizamos el signo de

f ′ (x) a ambos lados del punto. Si éste cambia, hay inflexión.

Existe otro criterio: Si f ′′(x 0 ) =

0 , hallo la primera derivada sucesiva no nula en el punto. Si el número de derivada es impar, el punto es de inflexión. Si el número es par, no existe punto de inflexión en x0 .

+& Surgen de comparar los valores de los extremos relativos de una función en un intervalo (a; b) , con los valores de la función en los extremos del mismo:  Si el valor de la función en algún extremo es mayor que el valor del mayor máximo relativo dentro del intervalo, ese valor es el máximo absoluto. Sino, el mayor máximo relativo es el máximo absoluto (M).  Si el valor de la función en algún extremo es menor que el valor del menor mínimo relativo dentro del intervalo, ese valor es el mínimo absoluto. Sino, el menor mínimo relativo es el mínimo absoluto (m).

 Definición: Diremos que una recta R es asíntota de una curva de la curva que se aleja infinitamente sobre la cuando al menos una coordenada tiende a ∞ .

f (x) , si la distancia “d” desde un punto P

f (x) , tiende a cero. Un punto se aleja infinitamente sobre la curva

,' La recta Si

y = b es una Asíntota Horizontal de f ( x ) ⇔ lím f ( x) = b x→ ∞

f (x) es una función racional, el valor de b se puede calcular mediante la siguiente regla: coef . ppal .P (x ) 1. gr. P(x) = gr. Q(x)  b = coef . ppal .Q ( x ) 2. gr. P(x) < gr. Q(x)  b = 0 3. gr. P(x) > gr. Q(x)  ∃/ b

-

±∞ La recta x = a es una Asíntota Vertical de f ( x) ⇔ lím f ( x) = + ∞ x→ a −∞ Para calcular el valor de a en funciones racionales, obtenemos las raíces que anulan al polinomio denominador en las cuales el límite tiende a valores infinitos.

.& La recta

y = mx + n es Asíntota Oblicua de f ( x ) ⇔ lím [y c − y r ] o que x→ ∞

lím [ f (x ) − (mx + n ) ] = 0 . x →∞

Para hallar el valor de

m calculamos: m = lím x→ ∞

Para hallar el valor de

f ( x) x

n calculamos: n = lím [ f (x ) − mx] x→ ∞







m .a r s.c o no UT Ni a



 



/-*

[ ]

Las funciones continuas en a; b y derivables en (a; b) cumplen con un conjunto de teoremas en puntos interiores del intervalo. Los tres más importantes son:

/ Si

f (x) es continua en [a; b ] y derivable en (a; b) y además f (b) = f ( a) , entonces: ∃c ∈ (a ;b ) / f ′(c ) = 0

/$ Si

f (x) es continua en [a; b ] y derivable en (a; b), entonces: f (b ) − f (a ) ∃c ∈ (a; b) / = f ′( c) b− a

/# Si

f (x) y g (x) son continuas en [ a; b ] y derivables en (a; b) , y g ′( x) ≠ 0 en el (a; b) , entonces: f (b) − f ( a) f ′(c ) ∃c ∈ ( a; b) / = g (b ) − g (a ) g ′(c )

$0,1

f ′ (x ) f ′( x) f (x ) f ( x) 0 = lím  lím = y ∃ lím x →a g ( x) x →a g ′( x) x →a g ( x) x →a g ′( x) 0

Si

lím

Si

lím x →a

x →∞

f ( x) f ′(x ) f ( x) ∞ f ′ (x ) = = lím  lím y ∃ lím → → x a x a x→ a g (x ) g ′(x ) g ( x) ∞ g ′( x) x→ ∞

x →∞

x→ ∞

2(+)

f ( x) = 0 una ecuación cuyo primer miembro admite una derivada segunda; si a es un valor aproximado de la raíz de esta ecuación, es decir, si existe una raízα y sólo una en (a, b), y ponemos α = a + x ′ , aplicando el desarrollo de Taylor al intervalo (a ; α ) , la ecuación puede escribirse así: 1 f (α ) = f (a ) + x ′. f ′(a ) + . x ′2 . f ′′(ξ ) = 0 2 donde la nueva incógnita x′ es el incremento que debe asignarse al valor a para tener exactamente la raíz α = a + x′ . 2 Naturalmente no podemos resolver la ecuación por tener x′ en el segundo término, pero podemos

Sea

prescindir de él y tomamos como expresión aproximada de la función el polinomio de primer grado.

f (a ) + x ′. f ′ (a ) = 0 da: x ′ = −

f ( a) f ′( a)

UNIDAD V: INTEGRALES "

F (x) es una primitiva de f (x) ∀ x∈ C (conjunto común a los dominios de las dos funciones) ⇔ F ′( x ) = f ( x) # Conocida

f (x) , para hallar F (x) usamos el operador integral



y será tal que antepuesto al producto

f ( x).dx nos dé como resultado F (x)



 



m .a r s.c o no UT Ni a



 



 f (x ).dx = F ( x)  F ′( x) =

f ( x)

 Si F ( x) es una primitiva de f ( x) en un conjunto C, llamaremos integral indefinida de la f ( x) a la expresión F ( x ) + c , donde c ∈ IR .

 f ( x).dx = F ( x) + c /& Función

Primitiva

 0.dx  dx  k .dx / k ∈ IR  x .dx / n ≠ (−1)

k / k ∈ IR

n

sin x.dx  cos x.dx  e .dx  a .dx

x kx x n+ 1 +c n +1 − cos x + c sin x + c

x

e x +c

x

ax +c ln a ln x + c

1

 x .dx 1

ln x − a + c

1

log a x + c

 x − a.dx  x. ln a .dx  sec x.dx  − csc x.dx  sec x. tan x.dx  − csc x. tan x.dx 2

2

 −

1 1− x 1

2

.dx

2

.dx

1 −x 1  1+ x 2 .dx 1  −1 + x 2 .dx 1  x. x 2 − 1 .dx



tan x + c cot x + c sec x + c csc x + c arcsin x + c arccos x + c arctanx + c arc cot x + c arc sec x + c

!



m .a r s.c o no UT Ni a



 



1

 − x.

x 2 −1

arc csc x + c

.dx

cosh x + c

sinh x.dx cosh x.dx  sec h x.dx  − csc h x.dx  − sec hx. tanh x.dx  − csc hx. coth x.dx

sinh x + c tanh x + c

2

coth x + c

2

 

1 1+ x 1 2

sec hx+ c csc hx+ c arg sinh x + c

. dx 2

arg cosh x + c

.dx

x −1 1  1− x 2 . dx 1  − x 2 −1.dx 1  − x 1 − x 2 .dx 1  x x 2 + 1 .dx

arg tanh x + c arg coth x + c arg sec hx + c arg csc hx + c

 1. 2...