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Creación de problemas campo aditivo y multiplicativo con números racionales

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Creación de problemas campo aditivo y multiplicativo con números racionales

Alumna: Katerine Araya Profesores: José Hernán Parra María José Seckel. Fecha de entrega: 25 de julio, 2019 1

Índice Introducción .................................................................................................... 3 Descripción ..................................................................................................... 4 Continuidad..................................................................................................... 6 Objetivos, problemas y soluciones ................................................................ 10 Parte del todo: ........................................................................................... 10 Cociente: .................................................................................................... 11 Medida: ...................................................................................................... 12 Operador:................................................................................................... 13 Razón: ........................................................................................................ 14 Relación con otros objetivos matemáticos y con otras asignaturas............... 15 Posibles obstáculos y posibles soluciones ..................................................... 16 Conclusión..................................................................................................... 18 Referencias bibliográficas.............................................................................. 19

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Introducción En la actualidad se ha hecho presente la importancia de la enseñanza de los números racionales en los colegios, es por esto que los programas de estudios declaran ciertos objetivos relacionados con este contenido, en los cuales además, los estudiantes deben demostrar algunas habilidades para resolver los ejercicios que le son planteados. Para entender un poco más sobre el concepto de fracción podemos hacer referencia a ciertos hitos importantes de la historia o entender la forma en que se utiliza. La fracción tiene como trasfondo el concepto de “romper”, y las partes obtenidas de este “rompimiento” deben ser “iguales”. ¿Pero qué rompemos?, ¿Cuáles son esas partes? Pues bien la fracción se expresa como: (el cual tiene un origen incierto) siendo “m” el numerador y “n” el denominador (estas palabras también tienen un origen incierto pero se afirmaron en el transcurso del siglo XV en Europa). La fracción parte de un entero, que pueden ser varios objetos o entidades, o también puede ser solo un objeto y una entidad, en donde el denominador representa las partes en que se “rompió” el entero y el numerador, las partes que tengo de ese entero. Hasta el momento para representar enteros solo utilizábamos números naturales (1, 2, 3, 4, 5…) pero, ¿Qué pasa si quiero representar en números la mitad de un entero? Para esto existen las fracciones (números racionales), las cuales representan un fragmento del todo (entero). Los docentes hoy en día tienen una importante tarea en la enseñanza de la fracción, sin embargo es crucial manejar algunos conceptos o “tipos” de fracciones que existen y como aplicaríamos ejercicios para cada uno de ellos. Siendo este el objetivo del presente trabajo, el cual pretende definir, ejemplificar y dar solución a la fracción, enfocados en los programas de tercero a sexto básico, visualizando además las posibles dificultades que podrían causar el aprendizaje de las fracciones y como el docente puede solucionarlos. 3

Descripción Parte del todo: En esta descripción cabe destacar que la fracción se encuentra divida en dos tipos de unidades, la cual puede ser: Unidad continua; hallar una n-ésima parte de un todo el cual siempre puede calcularse teóricamente, como dividir una pizza, una torta, la hora, entre otros. Unidad discreta; en este caso el todo son varios objetos o entidades, por ejemplo personas, juguetes, muebles, entre otros, cuya fracción no puede ser dividida siempre, ya que las personas no pueden ser divididas a la mitad, ni decir de persona. Carrillo, Flores y Rojas (2015) aseguran que: “para el caso de la fracción como parte-todo las tareas comprenden dividir figuras en partes de igual tamaño y de distinta forma, donde se debe identificar cada parte con su representación simbólica” (p.155). Cociente: Perera y Valdemoros (2015) aseguran que la fracción como cociente es: “el resultado de la división de uno o varios objetos entre un número determinado de personas o partes” (p.212). En otras palabras esta descripción es la fracción vista como una división, es decir, el numerador es dividido como una unidad por el denominador en partes iguales y congruentes, por ejemplo tener una cantidad de 6 juguetes y esos dividirlos en una x cantidad de personas. Medida: En este caso la fracción es tomada como una cantidad de medida que es posible expresarse como decimal o fracción y, en ambos casos, será correcto. Un ejemplo sería cuando 0,75L de aceite, indicaría que trae de litros. 4

Kieren (como se citó en Perera y Valdemoros, 2015) afirma que: “la fracción como medida es reconocida como la asignación de un número a una región o una magnitud (de una, dos o tres dimensiones), producto de la participación equitativa de una unidad” (p.212). Operador: Esta fracción es considerada como un operador multiplicativo, es decir, el numerador multiplicaría un x valor y el denominador lo dividiría, por ejemplo para encontrar de 9 frutillas hay que dividir el 9 en 3 y luego multiplicarlo por 2 (9:3=3x2=6). Para Carrillo et al. (2015) afirma que: Se trabaja a partir de situaciones como la siguiente: identificar los tres cuartos de sesenta fichas (material concreto), esto lleva a expresar una operación multiplicativa ( ∙ 60) sobre una cantidad (60), obteniéndose una división en tantas partes como indica el denominador (4) y una multiplicación por el número de partes que indica el numerador (3). (p.155) Razón: Kieren (como se citó en Perera y Valdemoros, 2015) dice que: “la fracción como razón es considerada como la comparación numérica entre dos magnitudes” (p.212). Es decir, la relación entre dos magnitudes puede ser tiempo, capacidad, volumen, masa, etc., por ejemplo que en un mismo tiempo un auto avanza 2 metros, mientras que otro avanza 5 metro, es decir, su relación de recorrido es 5:2 (5 es a 2).

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Continuidad 3° básico Demostrar comprenden fracciones de común: , , ,

4° básico que las uso ,

Demostrar que comprende las fracciones con denominadores 100, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2:

-Explicando que una fracción representa la parte de un todo, de manera concreta, pictórica, simbólica, de forma manual y/o con software educativo.

-Explicando que una fracción representa la parte de un todo o de un grupo de elementos y un lugar en la recta numérica.

:

-Describiendo situaciones en las cuales se puede usar fracciones.

5° básico

6° básico

Demostrar que Demostrar que comprenden las comprenden el fracciones propias: concepto de razón de manera concreta, -Representándolas de pictórica y simbólica, manera concreta, de forma manual y/o pictórica y simbólica. usando software -Creando grupos de educativo. fracciones Demostrar que equivalentescomprenden el simplificando y concepto de amplificando-de porcentaje de manera manera concreta, pictórica y simbólica, concreta, pictórica y simbólica, de forma de forma manual y/o con software manual y/o usando software educativo. educativo.

-Describiendo situaciones en las -Mostrando que una cuales se puede fracción puede tener -Comparando usar fracciones. fracciones propias con representaciones igual y distinto diferentes. -Comparando denominador de fracciones de un -Comprando y concreta, mismo todo, de ordenando fracciones, manera igual denominador. (por ejemplo: 1 100, 1 pictórica y simbólica. 8, 1 5, 1 4, 1 2) con material concreto y pictórico.

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Identificar, escribir y representar fracciones propias y los números mixtos hasta el número 5, de manera concreta, pictórica, simbólica, en el contexto de la resolución de problemas.

Demostrar que comprenden las fracciones impropias de uso común de denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 y los números mixtos asociados: -Usando material concreto y pictórico para representarlas, de manera manual y/o con software educativo.

Demostrar comprenden fracciones y números mixtos:

que las los

-Identificando y determinando equivalencias entre fracciones impropias y números mixtos, usando material concreto y representaciones pictóricas de manera manual y/o con software educativo.

-Identificando y -Representando estos determinando equivalencias entre números en la recta fracciones impropias y numérica. números mixtos. -Representando estas fracciones y estos números mixtos en la recta numérica. Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador (denominadores 100, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2) de manera concreta y pictórica en el contexto de la resolución de problemas.

Resolver adiciones y sustracciones con fracciones propias con denominadores menores o iguales a 12:

Resolver adiciones y sustracciones de fracciones propias e impropias y números mixtos con numeradores y -De manera pictórica y denominadores de simbólica. hasta dos dígitos. -Amplificando o simplificando 7

Describir y representar Comparar y ordenar decimales (décimos y decimales hasta la centésimos): milésima. -Representándolos en forma concreta, pictórica y simbólica, de manera manual y/o con software educativo.

Determinar el decimal que corresponde a fracciones con denominador 2, 4, 5 y 10.

-Comparándolos y ordenándolos hasta la centésima. Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la centésima en el contexto de la resolución de problemas.

Resolver adiciones y sustracciones de decimales, empleando el valor posicional hasta la milésima.

Demostrar que comprenden la multiplicación y la división de decimales por números naturales de un dígito, múltiplos de 10 y decimales hasta la milésima de manera concreta, pictórica y simbólica.

Resolver problemas rutinarios y no rutinarios, aplicando adiciones y sustracciones de fracciones propias o decimales hasta la milésima.

Resolver problemas rutinarios y no rutinarios que involucren adiciones y sustracciones de fracciones propias, impropias, números mixtos o decimales hasta la milésima.

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El primer objetivo de fracciones aparece en tercero básico, dejando en claro que no existe este contenido ni en primero, ni en segundo básico, los alumnos empiezan a ver números racionales desde el OA_11, que es el único objetivo declarado en el nivel de tercero. A su vez podemos ir viendo como la complejidad va avanzando a medida que el nivel va subiendo, se visualiza tanto en el contenido propuesto en los planes y programas, como en la dificultad que va progresando en las habilidades que tiene que declarar el estudiante. Se puede ver también que a veces el objetivo de fracciones desaparece en algunos cursos para luego volver aparecer. Sin embargo el currículo se centra en un concepto aún más amplio que es el de “número racional”. El cual se expresa de la forma de tal manera que “m” y “n” son números enteros, siendo “n” el denominador el cual tiene que ser distinto de 0. Para expresar el conjunto de estos números los matemáticos emplean una Q mayúscula (Navarro, 2016). Un número racional es una fracción, que también se puede representar como decimal. Es por esto que en algunos objetivos se incluyen contenidos con números decimales relacionados a las fracciones.

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Objetivos, problemas y soluciones Parte del todo: Curso: Tercer año básico. Objetivo: Demostrar que comprenden las fracciones de uso común: ,

, ,

,

:

Explicando que una fracción representa la parte de un todo, de manera concreta, pictórica, simbólica, de forma manual y/o con software educativo. Problema: Renata tiene en una caja 8 bolitas de colores azul y rojo,

son de color azul.

¿Cuántas bolitas tiene de color rojo? Solución 1: Respuesta: tiene 6 bolitas de color rojo.

4

4

4

4

Solución 2:

− = Respuesta: tiene

4

4

4

de bolitas rojas.

4

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Cociente: Curso: Quinto año básico. Objetivo: Demostrar que comprenden las fracciones impropias de uso común de denominadores 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 y los números mixtos asociados: Usando material concreto y pictórico para representarlas, de manera manual y/o con software educativo. Problema: Ana compró 9 lápices para regalar a sus tres hermanas en partes iguales, ¿Cuántos lápices recibirá cada hermana? Solución 1:

9 3 3 : = 9 9 9 Respuesta: cada hermana recibirá

9

de lápices.

Solución 2: 9:3=3 Respuesta: cada hermana recibirá 3 lápices. 11

Medida: Curso: Sexto año básico. Objetivo: Demostrar que comprenden el concepto de medida de manera concreta, pictórica y simbólica, utilizando magnitudes como tiempo, capacidad, volumen, masa, entre otros. (Objetivo modificado) Problema: Carlos tomará el bus que sale desde el terminal a las 10:15 horas rumbo a Villarrica, se levanta a las 7:30 horas, se demora una hora en ducharse y arreglarse, media hora en tomar desayuno y una hora en arreglar su maleta. ¿Cuánto tiempo le queda a Carlos para tomar el bus en el terminal? Ten en cuenta que una hora dura 60 minutos. Solución 1: Desde las 7:30 a las 10:15 hay 2 horas con 45 minutos 60+60+45=165 minutos 60 minutos en ducharse, 30 minutos en tomar desayuno, 60 minutos para arreglar su maleta 60+60+30=150 minutos 165 minutos -150 minutos 015 minutos

Respuesta: a Carlos le quedan 15 minutos.

Solución 2: Carlos realiza sus actividades de 7:30 a 10:00 sobrándole 15 minutos para llegar al terminal, Si divido los 60 minutos que tiene una hora en partes iguales, me da de hora. 60:4= 15 = de hora Respuesta: a Carlos le queda de hora para llegar a tomar el bus. 12

Operador: Curso: Quinto año básico. Objetivo: Demostrar que comprenden las fracciones propias: Representándolas de manera concreta, pictórica y simbólica. Problema: Matías vende frutas, tiene 40 manzanas, les vendió

a María y

a Pedro.

¿Cuántas manzanas le quedan por vender a Matías? Solución 1: 4

+

2 3 = 4 4 Respuesta: a Matías le queda

que vender de manzanas.

4 3 − = 4 4 4 Solución 2: 10

Le vendió a María.

10 Le vendió Pedro. 10

10

Le quedan por vender.

Respuesta: a Matías le quedan 10 manzanas por vender. 13

Razón: Curso: Sexto año básico. Objetivo: Demostrar que comprenden el concepto de razón de manera concreta, pictórica y simbólica, de forma manual y/o usando software educativo. Problema: En la escuela Esperanza por cada mujer que juega futbol hay dos varones que también lo hacen. En un curso de 42 alumnos. ¿Cuántos hombres juegan fútbol? Solución 1: 1:2 1:2 1:2 1:2 1:2 1:2 1:2 1:2 1:2 1:2

1:2 1:2 1:2 1:2 1=mujeres 2=hombres

Si por cada mujer que juega fútbol hay dos hombres que también lo hacen, la razón sería 1:2, lo que quiere decir que en un curso de 42 estudiantes las mujeres serían 14 (1x14=14) y el doble seria 28 (2x14=28) (14+28=42). Respuesta: en un curso de 42 alumnos los hombres que juegan futbol son 28.

Solución 2: De mujeres

42:3=14

De hombres

14+14=28

Respuesta: en un curso de 42 alumnos los hombres que juegan fútbol son 28 que es lo mismo que decir .

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Relación con otros objetivos matemáticos y con otras asignaturas Estos problemas están creados en base a objetivos de números racionales propuestos en los planes y programas, sin embargo se intentó dar un contexto familiar para que el estudiante entienda de mejor forma como resolver estos ejercicios. Se puede visualizar que en los problemas existen elementos como frutas, que se relacionan con los aprendizajes adquiridos en cursos anteriores en la asignatura de Ciencias Naturales. También se puede ver en un ejercicio que está relacionado con los deportes, específicamente el fútbol, que sin las clases de educación física sería difícil para los niños saber que significa. La relación más directa que podemos ver con otro objetivo de la asignatura de matemática es con el eje de Medición, específicamente en el OA_20 que dice: “Leer y registrar el tiempo en horas, medias horas, cuartos de hora y minutos en relojes análogos y digitales” (MINEDUC, 2012, p.43). Cuando estudiante da su respuesta en la magnitud de tiempo, es porque maneja los contenidos ya vistos en tercer año básico. En el ejercicio de medida, la primera solución se saca por medio de los minutos, sumando y restando estos, y la segunda solución se da a través de la fracción, de esta forma se hace una relación para decir que 15 minutos es lo mismo que

de hora.

Finalmente es necesario aclarar que no solo es importante hacer una relación con contenidos que el niño ya haya estudiado en la sala de clases, sino que también con su contexto, no es lo mismo usar elementos extraídos del sector urbano para implementarlos en el sector rural. De la misma manera los problemas fueron creados haciendo protagonistas de ellos, hombres y mujeres, para que los estudiantes tengan claro que no existe una preferencia de género.

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Posibles obstáculos y posibles soluciones Obstáculo

Solución

Solo se dan respuestas con números Como solución a este problema es enteros, sin utilizar el número racional en necesario hacer una activación de los ejercicios planteados. conocimientos previos para establecer la diferencia entre números naturales y Sánchez (1997) nos dice que: números racionales, si bien no está del En relación a la influencia de los todo mal que el estudiante de respuesta símbolos en la comprensión de los con un número natural a cierto ejercicio, racionales, el significado asociado a es importante señalar que lo que se quiere los símbolos matemáticos por los evaluar es el conocimiento de números estudiantes para los profesores racionales y su habilidad para representar procede en muchas ocasiones del y modelar estos números. propio nivel de formalización matemática, y está vinculado particularmente al aspecto simbólico y el manejo sintáctico. Esto se puso de manifiesto en las tareas en la que intervenía la idea de unidad y tuvo como consecuencia la dificultad en modelar concreta y gráficamente procesos de números racionales. (p.18) Es decir, el estudiante puede representar dificultad en la habilidad matemática de modelar por solo el hecho de no entender correctamente el uso del número racional.

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Los ejercicios planteados presentan Volver a crear ejercicios en base a las ambigüedad y le dificulta al estudiante correctas descripciones de los tipos de darle una respuesta. fracciones, desapareciendo la ambigüedad, además de redactar el problema utilizando la morfosintaxis adecuada y por ultimo darle contexto, generando una familiaridad al estudiante, haciendo que el ejercicio sea fácil de resolver. El concepto de número racional impuesto La solución sería enseñar de correcta por el docente solo nace de la fracción forma el uso de fracciones, el cual también como parte de todo, generando una puede ser utilizado como medida y razón. confusión en el trabajo del estudiante. Gairín (2004) afirma que: Gairín (2004) afirma que: Además, puesto que la génesis Una parte importante de las histórica del número racional hay dificultades y errores de los que situarla en el contexto de la estudiantes hay que situarla en un medida y de la razón de ...