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UADER – FHAyCS - Profesorado de Educación Primaria Didáctica de la Matemática I EL CAMPO MULTIPLICATIVO

EL CAMPO MULTIPLICATIVO

LA MULTIPLICACIÓN

El campo multiplicativo comprende problemas en cuya resolución intervienen la multiplicación y/o la división. Tal como sucede con la suma y la resta, la enseñanza y el aprendizaje de la multiplicación es un proceso largo y complejo que implica varios años de la escolaridad. Sin embargo, raras veces los docentes mencionan a la multiplicación dentro de las dificultades de aprendizaje. Nos preguntamos: ¿qué es saber multiplicar? ¿Todos entendemos lo mismo? En una investigación realizada se le pide a un alumno de 4to grado que resuelva la cuenta 2 x 200. Veamos lo que sucedió: 2 x 200 0 0 4 400 Todo este proceso lo realizó con muchas dudas hasta que, cuando finalizó preguntó: ¿está bien? Luego el docente investigador le pregunta: __ ¿Sabés que es la multiplicación? __ Sí, una suma abreviada. __ ¿Y sabés cómo se multiplica por la unidad seguida de ceros? __ Sí. Se escribe el número y se agregan tantos ceros. __ ¿Y sabés qué es la propiedad conmutativa? __ Sí, que 3x4 da lo mismo que 4x3. Podemos ver que este niño conoce el algoritmo de la multiplicación (aún cuando evidencia muchas dudas) y que conoce algunas propiedades de la misma. Sin embargo no puede poner en juego esos conocimientos ni puede recurrir a ellos para controlar el resultado. Decimos, en estos casos, que se trata de conocimientos declarativos, que no están disponibles si el docente no interviene. Por otra parte, se espera que un alumno de 4to grado pueda realizar esta cuenta mentalmente. Entonces, aunque el aprendizaje de la multiplicación no aparezca como un problema en la escuela primaria (aunque sí se considera un problema la no memorización de Lic. Ana Schamle - 2015

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las tablas), las dificultades se hacen evidentes en los grados superiores. Algunas de esas dificultades las veremos más adelante. Por esta razón es conveniente ir planteando variadas situaciones problemáticas, que impliquen siempre la reflexión sobre las mismas, para que los niños tengan la oportunidad de ir construyendo y reorganizando sus conocimientos... Que, de a poco, vayan reconociendo cuáles son los problemas que se pueden resolver con esta operación o con otras. Insistimos en algo que sostenemos a lo largo de este Seminario: no alcanza con saber hacer las cuentas para que los niños puedan construir el sentido. Muchas veces los niños saben hacer las cuentas pero no pueden distinguir qué problemas se resuelven con una u otra operación. Y esto no sucede sólo en los niños, también nos encontramos con adultos que manifiestan esta dificultad. En este sentido es conveniente comenzar a resolver problemas del campo multiplicativo, sin necesidad de acudir a los algoritmos sino a través de diversas estrategias. En la enseñanza de las operaciones hay que tener cuidado de no caer en la falsa dicotomía “cuentas o problemas”. ¿Qué queremos decir con falsa dicotomía? Que muchas veces se cree que no hay que enseñar las cuentas porque lo importante son los problemas. Sí, es verdad que los problemas son importantes y que es a partir de ellos que las operaciones adquieren sentido para los niños pero no se debe descuidar el cálculo, las estimaciones, las propiedades, etc. Tampoco se trata de enseñar cuentas o problemas en un orden determinado (primero uno y después otro) sino que se deben abordar ambos aspectos simultáneamente.

Distintos sentidos de los problemas de multiplicación Actividad 1 Encontrar diferencias y similitudes entre los siguientes problemas: a) Si en un paquete hay 4 figuritas, ¿cuántas habrá en 3 paquetes iguales? b) En un tablero rectangular se pueden contar 4 filas de cuadraditos; y en cada una de ellas, 3 cuadraditos. ¿Cuántos cuadraditos hay en el tablero? c) Si un nene tiene 3 pantalones diferentes y 4 remeras, también diferentes, ¿de cuántas maneras distintas se puede vestir?

Para los niños algunos problemas son más fáciles de resolver que otros. En la enseñanza de la multiplicación se suele comenzar con problemas como el primero,

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que requiere de una suma sucesiva del mismo número. El análisis de los problemas de multiplicación incluye situaciones de: a) proporcionalidad (simple, doble, ...) b) producto de medidas (organización rectangular y combinatoria)

1. Problemas de proporcionalidad Generalmente, los problemas que se resuelven por sumas sucesivas implican una situación de proporcionalidad, sin que ello signifique que a los niños se les deba enseñar este concepto en el primer ciclo. Actividad 2 En un paquete hay 12 caramelos. Averiguar cuántos caramelos hay en 30 paquetes. a) ¿Qué magnitudes se relacionan en este problema? ¿Cuántas magnitudes se relacionan en los problemas de proporcionalidad? b) ¿Cómo se puede presentar/organizar la información? c) ¿Cómo se reconocen los problemas de PD? d) ¿Qué estrategias podrían usar los niños para resolver este problema? → ver campo multiplicativo e) ¿Observan alguna particularidad que tengan en común estas estrategias? ¿Cuál? f)

Formular dos problemas de PD distintos del ejemplo.

Las magnitudes son caramelos y paquetes y aparecen cuatro cantidades vinculadas entre sí, por eso Vergnaud va a decir que mantienen una relación cuaternaria. 1 paq. 30 paq.

12 caramelos x caramelos

Organizar los datos en una tabla facilita el análisis de las propiedades de la proporcionalidad. Este es un típico problema de proporcionalidad directa. ¿A qué le llamamos proporcionalidad directa? Observemos que al doble de paquetes corresponde el doble de caramelos; al triple de paquetes, corresponde el triple de caramelos; a la mitad de un paquete, corresponde la mitad de caramelos. Cuando un problema nos permite hacer este tipo de análisis, estamos ante un caso de proporcionalidad directa. Además, si se suman los caramelos de 2 y 3 bolsitas, se obtiene la cantidad de caramelos de 5 bolsitas.

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La proporcionalidad incluye un complejo campo de problemas cuyo aprendizaje abarca desde los primeros grados hasta los años medios de la escuela secundaria. Es decir, aparece “oficialmente” en 4to o 5to grado y se extiende hasta el Ciclo Básico de la Escuela Secundaria. ¿Por qué decimos que aparece oficialmente en el segundo ciclo? Porque los nenes resuelven problemas de proporcionalidad ya desde primer grado, y lo hacen con variadas estrategias.

Algunas estrategias de los niños Al problema anterior nosotros lo resolvemos con una multiplicación (12 x 30), pero los chicos podrán resolverlo de distintas maneras que dependen del dominio que tengan de las operaciones, de cómo se sienten más seguros, etc. a) 30x10=300 30x2=60 → 300+60=360 Los niños “desarman” el 12 en 10 + 2 y aplican (sin saberlo aun) la propiedad distributiva de la multiplicación. b) 30x6=180 180x2=360 Sabiendo que 12 = 6 x 2, multiplican 30 x 6 y luego calculan el doble. c) 10 paq. = 120 caramelos 20 paq. = 240 caramelos 30 paq. = 360 caramelos Averiguan la cantidad de caramelos en 10 paquetes, luego en 20 y, finalmente, en 30 paquetes. d) 30 = 10+10+10 12 x 30 = 12 x (10+10+10) = 120+120+120 Descomponen el 30 en 10 + 10 + 10 y multiplican 12 x (10+10+10), aplicando propiedad distributiva como en el primer caso. En todas las estrategias se ve un fuerte trabajo previo de multiplicación por diez y por decenas completas. Este trabajo es fundamental y es previo a la enseñanza del algoritmo de la multiplicación. Los niños terminan aprendiendo los resultados de estas cuentas porque lo han ido incorporando a través de múltiples situaciones en las que tienen que resolver problemas. El cálculo mental se transforma en una herramienta poderosa para avanzar en el camino hacia los algoritmos y como elemento de control. Tres problemas relacionados Lic. Ana Schamle - 2015

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UADER – FHAyCS - Profesorado de Educación Primaria Didáctica de la Matemática I EL CAMPO MULTIPLICATIVO  En tres bolsas de caramelos hay 12 en total. ¿Cuántos caramelos

hay en cada bolsa si en todas hay la misma cantidad de caramelos?  En una bolsa hay 4 caramelos. ¿Cuántos caramelos habrá en 3 bolsas iguales?  En 2 bolsas hay 8 caramelos ¿Cuántos caramelos habrá en 3 bolsas iguales? Nótese que los tres problemas son de proporcionalidad: el primero se resuelve con una división, el segundo con una multiplicación y al tercero, nosotros lo resolveríamos con una regla de tres.

Para tener en cuenta Aunque nosotros nos manejemos cómodos dentro del campo multiplicativo, éste es un campo complejo y hay aspectos que siempre hay que tener en cuenta: los problemas de proporcionalidad no son todos iguales. El dominio numérico. Es decir, la clase de números que usamos: números naturales (pequeños o grandes) o números racionales (decimales, fraccionarios, mayores que 1, menores que 1) Las magnitudes involucradas en el problema: sin son cantidades discretas o continuas. Las magnitudes discretas son más fáciles de representar que las magnitudes continuas. A la vez, los tipos de magnitudes permiten interpretaciones diferentes de los resultados. Por ejemplo, si queremos repartir, en partes iguales, 15 globos entre 4 niños quedarán globos sin repartir. En cambio si lo que repartimos son alfajores podremos hacer un reparto equitativo sin que sobren alfajores. El análisis de estas cuestiones permitirá elegir los problemas más adecuados al grupo de niños con el que estamos trabajando.

2. Problemas de producto de medidas (organización rectangular) Actividad 3 Calcular la cantidad de baldosas que se necesitan para cubrir este patio rectangular. a) ¿Cuántas magnitudes se relacionan en un problema de producto de medidas? b) ¿Qué otras situaciones podrían incluirse en el tipo “producto de medidas” u “organización rectangular”?

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Los problemas de baldosas son considerados como producto de medidas de cantidades discretas o de organización rectangular (baldosas en cada fila x baldosas en cada columna = total de baldosas): una medida es la cantidad de filas, la otra medida es la cantidad de columnas y al multiplicarlas dan como resultado la tercera magnitud que es la cantidad de baldosas. Por eso se dice que estos problemas se dan relaciones ternarias. Se puede ver que son problemas muy diferentes de los de proporcionalidad y para resolverlos estamos apelando a otro sentido de la multiplicación que es necesario que los niños trabajen intensamente.

3. Problemas de producto de medidas (combinatoria) Actividad 4 Marina tiene 3 blusitas y 4 polleritas para vestir a su muñeca. ¿Cuántas combinaciones diferentes de ropa puede armar? ¿Cómo podrían resolverlo los niños?

Para resolver el problema los niños pueden dibujar todas las combinaciones de ropa, sumar 4 + 4 + 4 pensando en las cuatro combinaciones diferentes que se pueden armar con cada una de las blusitas o multiplicar 3 x 4 (esta estrategia es la última en aparecer). De todos modos, es frecuente que les cueste interpretarlo y que realicen, por ejemplo, la combinación de sólo una blusa con las cuatro polleritas. Será necesario explicar que deben combinar todas las blusas con todas las polleras. Para que los niños puedan estar seguros de que registraron todas las formas posibles se les puede proponer que realicen un diagrama de árbol o una tabla para registrar la información. Pollera blanca

Pollera roja

Pollera azul

Pollera verde

Blusita blanca Blusita amarilla Blusita marrón

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Para introducir el signo “x” Si es recomendable no introducir la cuenta de multiplicar antes que los problemas que implican multiplicaciones, uno puede preguntarse ¿cómo es que se dan cuenta que están aprendiendo algo nuevo? Lo que debería hacerse es plantear distintos problemas de sumas y de multiplicación, que los niños resolverán con sumas, seguramente. Luego analizar los elementos de esos problemas, las cuentas que realizaron, los números que han usado, etc. Actividad 5 a) Eduardo está pegando las nuevas figuritas de animales que tiene. Ya pegó 8 figuritas de perros, 4 de pájaros, 1 de iguana, 2 de peces y 3 de gatos. ¿Cuántas figuritas pegó? b) En su álbum de figuritas, Tamara pegó 8 estampillas en cada una de sus páginas y completó 4 páginas. ¿Cuántas estampillas pegó? c) La mamá de Juli arma centros de mesa poniendo 4 flores y muchas hojas. Tiene que completar 7 centros de mesa. ¿Cuántas flores necesita? d) La bibliotecaria pidió a los alumnos que no se olviden de devolver los libros que ya leyeron. Los chicos de primer grado devolvieron 6 libros, los de segundo devolvieron 3, los de tercero devolvieron 6 y los de cuarto devolvieron 5. ¿Cuántos libros devolvieron en total? e) Los tomates de la huerta del abuelo Enrique ya maduraron. A la mañana recogió 7 y a la tarde 8. ¿Cuántos tomates recogió hoy el abuelo Enrique? En algunos de los problemas anteriores se suma siempre el mismo número. ¿Cuáles son esos problemas?

En el problema a): 8+8+8+8 figuritas En el problema b): 4+4+4+4+4+4+4 flores Después que los niños resuelven estos problemas y los discuten entre todos, el maestro propone analizarlos y luego les plantea una nueva forma de escritura: “Las sumas en las cuales se suma siempre el mismo número, por ejemplo 8+8+8+8, se pueden escribir '4x8' y se lee: Cuatro por ocho.” Después puede pedir que escriban de esa forma los otros problemas que corresponda. A esto le debe seguir un trabajo de identificación de problemas que se pueden resolver sólo con sumas o también con multiplicación. Al finalizar, se podría registrar la clasificación en una tabla de doble entrada. Se puede resolver sólo con suma Se puede resolver con una multiplicación 1° 2°

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3° 4° En síntesis plantear distintos problemas de sumas y de multiplicación analizar en cuáles se suma siempre el mismo número plantear una nueva forma de escritura y cómo se lee pedir que escriban de esta forma todos los otros problemas de este tipo (ver problemas planteados al inicio) identificar los problemas que se resuelven sólo con sumas y los que no organizar esa información en una tabla.

Cálculos memorizados Es importante resolver actividades que promuevan la memorización de ciertos cálculos, pero siempre realizando un intenso trabajo de reflexión y análisis de los problemas y de las relaciones entre los números involucrados. La tabla pitagórica es un buen recurso, que los niños pueden tener “a mano” y que los ayuda a memorizar algunos cálculos. Es conveniente que la realicen en forma individual ya que cada uno podrá desplegar distintas estrategias que luego se socializan. Actividad 6 Completar la tabla. X

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¿Por qué algunos números se repiten? ¿Por qué algunos resultados no se repiten? Observar las columnas, compararlas y encontrar relaciones entre ellas. Inventar tres afirmaciones que sean verdaderas y justificarlas. ¿Es posible conocer el resultado de una columna sumando o restando los resultados de otras dos columnas? ¿Cuáles? ¿Por qué? Encontrar al menos seis maneras de hallar el resultado de 6 x 8 usando resultados de la tabla pitagórica.

La tabla pitagórica permite ver ciertas regularidades.

“La cuenta” de la multiplicación Luego de muchas y variadas situaciones que los niños resuelven, podemos hacer evolucionar sus estrategias hasta llegar al algoritmo. Por ejemplo, para resolver 30x12, una de las estrategias de los niños es descomponer el 12 (10 + 2) y hacen: 30 x 10 = 300 30 x 2 = 60 300 + 60 = 360 → 30 x 12 = 360 Podemos reorganizar las cuentas que han hecho y presentarlas así: 30 30 x 12 x 12 10 x 30 300 2 x 30 60 2 x 30 60 10 x 30 300 360 360

Lo interesante de este algoritmo es que se trabaja con la totalidad del número, no con las unidades y decenas. Los niños no pierden de vista el número y pueden ir controlando los resultados que van obteniendo. En cambio cuando hacemos la cuenta convencional perdemos de vista el sentido de lo que estamos multiplicando. Mucho más se complica cuando “me llevo”. Con este algoritmo intermedio se pretende que los niños comprendan lo que están haciendo, de ninguna manera estamos garantizando que no van a cometer errores, pero es más fácil para nosotros interpretar los errores que ellos puedan cometer y Lic. Ana Schamle - 2015

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trabajar sobre ellos. Por último, después de haber resuelto muchos problemas e intentado hacer otros procedimientos, comparando si con todos obtienen el mismo resultado, se presenta el algoritmo convencional como un procedimiento más económico que los anteriores. Es importante tener en cuenta que la aparición de la cuenta tradicional no implica que ha de desaparecer el cálculo mental, sino que servirá para anticipar y estimar resultados.

LA DIVISIÓN

La división es motivo de preocupación y consulta permanente de maestros... y padres...! Es difícil de enseñar... ¡y de aprender! En el siguiente ejemplo se lee un diálogo entre una maestra y sus alumnos. Veamos qué pasó con un problema que esta maestra dio a los niños de 3er grado1...

El domingo, en el asado, se repartieron 34 empanadas de carne y 52 de jamón y queso. ¿Cuántas empanadas se repartieron? Alumnos__ No sabemos hacerla... Maestra__ ¿Hacer qué? A__ Las divisiones, no sabemos dividir 34 dividido 52 ni 52 dividido 34, ¿cómo se hacen? M__ ¿No lo pueden resolver de otra manera? ¿Tienen que dividir? A__ Sí, si hay que repartir...

Esta es una situación real. El problema generó desconcierto entre los chicos; estaban desorientados y molestos... ¿Por qué? ¿Qué había sucedido? Sucedía que estos niños venían de una experiencia escolar en la que sólo tenían que mirar los números, la pregunta y alguna palabra que les daba una pista de lo que tenían que hacer. En este caso, los niños asociaban el término “repartir” con la operación de dividir; además, la pregunta no decía “¿cuántas empanadas se repartieron en total?” que habría sido un indicador de que debían hacer una suma. Está claro que los niños estaban guiándose por palabras-clave pero no comprendían el problema. 1 Extraido de Parra, C. y Saiz, I. (comp) (2007). Enseñar aritmética a los más chicos. De la exploración al dominio. Rosario: Homo Sapiens. Lic. Ana Schamle - 2015

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Generalmente, ante situaciones como esta los docentes les pedimos a los niños que “lean bien”, que “se fijen”, que “lean con atención”, que “piensen”, … (¡como si ellos no pensaran...!) Saiz y Parra (2007: 20) dicen que este tipo de recomendaciones no da buen resultado porque los nenes están acostumbrados a mirar sólo los nú...