Márquez I Trabajo DE Campo 6 PDF

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FACULTAD DEINGENIERÍAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVILTRABAJO DE CAMPO N° 06“Similitud y Semejanza Dinámica”Curso: MECÁNICA DE FLUIDOS Autores: Cabellos Abanto Pedro Luis (N00018024) Márquez Machuca Iván Andrée (N00239559) Medina Abanto José Ever (N00213789) Núñez Cubas Oswer (N00029275) Docen...

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1

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

TRABAJO DE CAMPO N° 06 “Similitud y Semejanza Dinámica” Curso: MECÁNICA DE FLUIDOS Autores: Cabellos Abanto Pedro Luis

(N00018024)

Márquez Machuca Iván Andrée

(N00239559)

Medina Abanto José Ever

(N00213789)

Núñez Cubas Oswer

(N00029275)

Docente: MPM. Ing. Julio A. Paima Arroyo Cajamarca, 24 de septiembre del 2021

2 Índice 1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Objetivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 3. Marco Teórico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 3.1. Dimensiones y unidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.2. Análisis Dimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 3.3. Similitud y Semejanza Dinámica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4. Desarrollo de Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5. Referencias Bibliográficas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

3 SIMILITUD Y SEMEJANZA DINÁMICA 1. INTRODUCCIÓN Debido a que son pocos los flujos reales que pueden ser resueltos con exactitud sólo mediante métodos analíticos, el desarrollo de la mecánica de fluidos ha dependido de manera importante de los resultados experimentales. Las soluciones de los problemas reales generalmente involucran una combinación del análisis y la información experimental. De esta forma, es común inicialmente desarrollar un modelo matemático del problema a estudiar y resolverlo. Paralelamente, se prepara el experimento del problema a analizar y se comparan los resultados analíticos con aquellos experimentales. Por ellos, la mecánica de fluidos emplea los principios de análisis dimensional cuya técnica se apoya en el empleo de parámetros adimensionales, formados con los diferentes variables del problema y obtenidos de las ecuaciones de movimiento de los fluido, que permite la transposición de los resultados de un modelo físico a la estructura real. En general la similitud va más allá de los aspectos superficiales de similitud geométrica con lo cual erróneamente se confunde; aquella debe entenderse como la correspondencia conocida y usualmente limitada entre el comportamiento del flujo estudiado en el modelo y el flujo real, con similitud geométrica o sin ella. Si la semejanza se desea establecer utilizando el análisis dimensional, a cerca de ello se puede decir los siguiente, para que las condiciones de flujo en las pruebas del modelo sean completamente similares se debe cumplir que todos los parámetros adimensionales importantes tengan el mismo valor en prototipo y modelo. Por tal motivo, a continuación estudiaremos la similitud y semejanza dinámica, ya que es de suma importancia en área experimental de la ingenieria civil, ayudando así a la solución y desarrollo de experimentos o modelos sistemáticos.

4 2. OBJETIVOS 

Desarrollo de las dimensiones y unidades dimensionales de las ecuaciones.



Estudio y comprensión de la similitud y semejanza dinámica.



Planteamientos y desarrollo de problemas enfocados al tema tratado.

3. MARCO TEÓRICO 3.1. DIMENSIONES Y UNIDADES Para Çengel y Cimbala (2006). Una dimensión es una medida de una cantidad física (sin valores numéricos), mientras que una unidad es una manera de asignar un número a dicha dimensión. Por ejemplo, la longitud es una dimensión que se mide en unidades como micrones (𝜇m), pie (ft), centímetros (cm), metros (m), kilómetros (km), etcétera (Fig. 7-1). Existen siete dimensiones primarias (también llamadas dimensiones fundamentales o básicas): masa, longitud, tiempo, temperatura, corriente eléctrica, cantidad de luz y cantidad de materia. Todas las dimensiones no-primarias se pueden formar por cierta combinación de las siete dimensiones primarias.

Una dimensión es una medida física sin valores numéricos, mientras que una unidad es una manera de asignar un número a la dimensión. Por ejemplo, la longitud es una dimensión, pero el centímetro a una unidad.

5 Por ejemplo, la fuerza tiene las mismas dimensiones que masa por aceleración (por la segunda Ley de Newton). En consecuencia, en términos de dimensiones primarias: 𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎:

{Fuerza} = {Masa

Longitud } = {mL/t2 } Tiempo2

donde los corchetes indican “las dimensiones de” y las abreviaturas se toman de la Tabla 7-1.

Debe considerarse que algunos autores prefieren fuerza en vez de masa como dimensión primaria (p. 270).

3.2. ANÁLISIS DIMENSIONAL El análisis dimensional es un método para verificar ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos. A partir del análisis dimensional se obtienen una serie de grupos adimensionales, que van a permitir utilizar los resultados experimentales obtenidos en condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces en casos en que las propiedades del fluido y del flujo son distintas de las que se tuvieron durante los experimentos. La importancia del análisis dimensional viene dada por la

6 dificultad del establecimiento de ecuaciones en determinados flujos, además de la dificultad de su resolución, siendo imposible obtener relaciones empíricas y teniendo que recurrir al método experimental. Es importante considerar que si en un experimento en un modelo (a escala geométrica del prototipo), se pueden obtener las escalas cinemáticas (relaciones de velocidades) y las escalas dinámicas (relaciones de fuerzas), los resultados adimensionales que se obtienen para el modelo son también válidos para el prototipo. Homogeneidad Dimensional En toda ecuación física, cada término deberá tener las mismas dimensiones: la ecuación debe ser dimensionalmente homogénea; además la división de todos los términos por uno cualquiera de ellos, haría la ecuación adimensional, y cada cociente sería un grupo adimensional. Las dimensiones de las magnitudes empleadas normalmente en Mecánica de Fluidos, incluyen sólo una o más de las siguientes 4 dimensiones: M (masa), L (longitud), T (tiempo) y θ (temperatura):

longitud área volumen momento de inercia velocidad aceleración velocidad angular aceleración angular densidad volumen específico fuerza par presión, tensión

[l] = L [A] = L2 [V] = L3 [I] = L4

entropía calor específico conductividad térmica

[v] = LT [a] = LT−2 [ω] = T−1 [α] = T−2

−1

[ρ] = ML−3 [v] = L3 M −1

[F] = MLT−2 [T] = ML2 T−2

[p], [τ] = ML−1 T−2

caudal volumétrico caudal másico energía, entalpía viscosidad absoluta viscosidad cinemática tensión superficial compresibilidad potencia

[s] = ML2 T−2θ−1 [c] = L2 T−2θ−1 [k] = MLT−3θ−1 [Q] = L3 T−1 [m󰇗] = MT−1 [E] = ML2 T−2

[μ] = ML−1 T−1 [v] = L2 T−1 [σ] = MT−2 [K] = ML−1T2

[W󰇗] = ML2 T−3

(Martínez de la Calle, 2004, pág. 4).

7 3.3. SIMILITUD Y SEMEJANZA DINÁMICA Los tres propósitos del análisis dimensional son: 1. Generar parámetros adimensionales que ayuden en el diseño de experimentos y en el análisis de los resultados obtenidos. 2. Determinar leyes de escalamiento para observar el comportamiento del prototipo que se pueda predecir del modelo a escala. 3. Predecir la tendencia del comportamiento de los parámetros adimensionales obtenidos. Entonces, en la mayoría de los experimentos para ahorrar tiempo y dinero, es necesario desarrollar modelos de laboratorio que deben cumplir con las tres condiciones que se establecen en la similitud para analizar fenómenos que se tiene bajo condiciones reales y que se comparar con los modelos de laboratorio, éstas son: similitud geométrica, similitud cinemática y similitud dinámica.

Similitud geométrica La forma geométrica debe ser igual a la del prototipo, pero a un factor de escala.

8 Similitud cinemática. Establece que la velocidad en cualquier punto del campo de flujo en el modelo debe ser proporcional (de acuerdo al factor de escala) a la velocidad del punto correspondiente en el campo de flujo de prototipo. La similitud geométrica es un prerrequisito para la similitud cinemática.

Similitud dinámica Esta similitud se alcanza cuando todas las fuerzas aplicadas en el modelo a escala corresponden a las fuerzas (de acuerdo al facto de escala) desarrolladas en el prototipo.

9 La similitud completa se logra cuando se

cumplen las tres similitudes descritas

anteriormente. Las fuerzas que actúan sobre un campo de flujo se definen como: Fuerzas de presión: Fuerzas de inercia:

Fp = (∆p)A

FI = ρ u2 L2

Las fuerzas de inercia aparecen en cualquier situación ingenieril. Esta fuerza es igual en magnitud pero opuesta en dirección al vector resultante de sumar el resto de fuerzas que actúan en una partícula. Las fuerzas de inercia son las fuerzas de referencia con las que se compara el resto de fuerzas a la hora de determinar qué criterios se utilizarán para garantizar la semejanza dinámica. Fuerzas de gravedad:

Fg = ρ L3 g

Las fuerzas de gravedad están presentes en la mayoría de sistemas de fluidos estudiados utilizando modelos a escala. Los flujos a través y por encima de muchas estructuras hidráulicas están afectados por la gravedad. Los flujos en ríos y canales son fenómenos gravitacionales. Fuerzas de viscosidad:

Fμ = μ u L

Estas fuerzas son importantes para flujos que no son plenamente turbulentos, o para flujos con cuerpos sumergidos. (Gallegos Muñoz, 2015, págs. 57-59)

PRUEBAS CON MODELOS, EXTRAPOLACIÓN DE RESULTADOS Podría parecer que los grupos adimensionales se utilizan únicamente para realizar gráficas adimensionales. De hecho, su utilización en la extrapolación de resultados entre los ensayos realizados con un modelo y el comportamiento del prototipo es muy amplia.

10 Según Bergadà (2012) sostiene que: a la hora de extrapolar resultados entre modelo y prototipo, es necesario que se cumplan los principios de semejanza. Existen tres tipos de semejanza: geométrica, cinemática y dinámica. La semejanza geométrica. Requiere que las formas del modelo y del prototipo sean exactamente las mismas; el modelo cumple todas las relaciones de escala con referencia al prototipo. En la semejanza geométrica:

𝛽1𝑎 = 𝛽1𝑏 = 𝛽1

𝛽2𝑎 = 𝛽2𝑏 = 𝛽2 Son los ángulos de las máquinas

De donde:

𝛽𝑖𝑎 = 𝛽𝑖𝑏 = 𝛽𝑖

𝑙𝑖𝑏 𝑏1𝑏 𝐷1𝑏 𝐷2𝑏 …= = = = 𝛿1 = 𝑐𝑡𝑒 𝑏1𝑎 𝐷1𝑎 𝐷2𝑎 𝑙𝑖𝑎

𝛿1 ∶ 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑧𝑎 𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎

Semejanza cinemática. Implica que los triángulos de velocidades entre modelo y prototipo sean homotéticos. Las relaciones de la velocidad del fluido y otras velocidades relevantes deben ser iguales para el modelo y el prototipo. La orientación del flujo con respecto al objeto debe ser la misma. Dos flujos que son geométrica y cinemáticamente similares tienen patrones de líneas de corriente geométricamente similares. Si los efectos de viscosidad, de tensión superficial o de compresibilidad son importantes, la semejanza cinemática está condicionada a que exista semejanza dinámica. En la semejanza cinemática:

𝛼1𝑎 = 𝛼1𝑏

𝛼2𝑎 = 𝛼2𝑏 𝛼𝑖𝑎 = 𝛼𝑖𝑏

11 Ángulos de los triángulos de velocidad 𝑈1𝑏

𝐶𝑖𝑏 = 𝛿𝑐 = 𝑐𝑡𝑒 𝐶1𝑏 𝑈2𝑏 𝑊1𝑏 … = 𝐶𝑖𝑎 = = 𝐶1𝑎 𝑈2𝑎 𝑊1𝑎 𝑈1𝑎 𝛿𝑐 ∶ 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑧𝑎 𝐶𝑖𝑛𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 =

Semejanza dinámica. Implica que los triángulos de fuerzas entre modelo y prototipo

sean homotéticos. La relación de fuerzas entre modelo y prototipo ha de ser la misma en puntos correspondientes, y esta relación ha de ser la misma para todos los tipos de fuerzas existentes. En la semejanza dinámica:

𝐹1𝑏 𝐶𝑖𝑏 𝐹2𝑏 = 𝛿𝑓 = 𝑐𝑡𝑒 …= = 𝐶𝑖𝑎 𝐹2𝑎 𝐹1𝑎

𝛿𝑓 ∶ 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑆𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎

Obsérvese que muchos de los grupos adimensionales relacionan fuerzas, otros,

velocidades, y otros, longitudes. se ha de entender que, detrás de cada una de las leyes de semejanza, aparecen unos grupos adimensionales que han de cumplirse. El principio de semejanza se puede enunciar del modo siguiente: Si los flujos en el modelo y en el prototipo cumplen con la semejanza geométrica y cinemática de todos los parámetros relevantes, y si existe semejanza dinámica en todos los parámetros de variables independientes relevantes, se tiene entonces semejanza dinámica completa, esto es, todos los parámetros de variables dependientes son iguales. De hecho, la existencia de semejanza geométrica, cinemática y dinámica entre modelo y prototipo, únicamente implica que la teoría de modelos es aplicable en el caso objeto de estudio, pero esto no quiere decir que el resultado de igualar los grupos adimensionales entre modelo y prototipo dé lugar a un resultado que pueda considerarse satisfactorio, puesto que en la aplicación de la teoría

12 de modelos aparecen muchos problemas asociados. Un ejemplo de ello se define en el caso siguiente. p. 405. Para Borges y Monteagudo (2018), el uso de los modelos y la confianza en los estudios sobre los mismos, han aumentado constantemente a través de la era de la ingeniería moderna; el ingeniero aeronáutico obtiene información a partir de pruebas de modelos en el túnel de viento; el ingeniero mecánico prueba modelos de turbinas y bombas. El uso de modelos tiene una justificación económica, un modelo cuesta poco, por ser pequeño en comparación con el prototipo para el cual se construye, y sus resultados pueden reflejarse en ahorros en muchas ocasiones.

El número de Reynolds: el número de Reynolds 𝑉𝐷𝜌/𝜇 es la relación entre las fuerzas

inerciales y las fuerzas viscosas. Un número de Reynolds crítico distingue entre los diferentes

regímenes de flujo, tales como laminar o turbulento en tuberías, en la capa límite, o alrededor de objetos sumergidos. El valor particular depende de la situación. En flujo compresible, el número de Mach generalmente es más importante que el número de Reynolds. El número de Froude: el número de Froude 𝑉𝐿 √𝑔𝑙, cuando se eleva al cuadrado y se

multiplica y se divide por ρA, es una relación de las fuerzas dinámicas (o inerciales) con respecto a las fuerzas gravitacionales. Con un flujo a superficie líquida libre (donde l se reemplaza por y, la profundidad) la naturaleza del flujo depende de si el número de Froude es mayor o menor que la unidad. Este número es útil en cálculos de resalto hidráulico, en el diseño de estructuras hidráulicas y de barcos.

El número de Weber: el número de Weber 𝑉 2 |𝜌/𝜎 es la relación de las fuerzas inerciales

con respecto a las fuerzas de tensión superficial. Este es importante en interfaces gas-líquido o líquido-líquido y también donde estas interfaces se encuentran en contacto con una frontera.

13 El número de Mach: la velocidad del sonido en un líquido se escribe como √𝑘/𝑙 si k es

el módulo de elasticidad volumétrica o 𝑐 = √𝑘𝑅𝑇 donde k es la relación de calor específico y T 𝑉

la temperatura absoluta para un gas perfecto. 𝑜 𝑉𝐿√𝑘/𝜌 es el número de Mach. Es una medida 𝑐 de la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas elásticas. p. 39.

4. DESARROLLO DE PROBLEMAS PROBLEMA 1 Un equipo de estudiantes diseña un submarino accionado por humanos para una competencia de diseño. La longitud global del submarino prototipo es 2.24 m y sus estudiantes diseñadores esperan que pueda viajar totalmente sumergido a través del agua a 0.560 m/s. El agua es dulce (un lago) a T = 15°C. El equipo de diseño construye un modelo a un octavo de escala para probarlo en el túnel de viento de su universidad (como se muestra en la figura). Un escudo rodea el puntal de la balanza de arrastre de modo que la fuerza de arrastre del puntal mismo no influya la fuerza de arrastre de modelo medida. El aire en el túnel de viento está a 25°C y a una presión atmosférica estándar. ¿A qué velocidad de aire necesitan correr el túnel de viento con la finalidad de lograr similitud? (Çengel y Cimbala, 2006, p. 310).

14 Solución Supuestos. 1 Se supone que la compresibilidad del aire es insignificante. 2 Las paredes del túnel de viento están lo suficientemente lejos como para no interferir con la resistencia aerodinámica del submarino modelo. 3 El modelo es geométricamente similar al prototipo. Propiedades.

Para el agua a T = 15°C y presión atmosférica, tenemos que la ρ = 999.1 kg/m³ y μ =

1.138 x 10−3 kg⁄ m. s.

Para el aire a 𝑇 = 25°𝐶 y presión atmosférica, tenemos que la ρ = 1.184 kg/m³ y μ =

1.849 x 10−5 kg⁄ m. s.

Análisis. La similitud se logra cuando el número de Reynolds del modelo es igual al del

prototipo, entonces la similitud sería: Rem =

ρp Vp Lp ρm Vm Lm = Rep = μm μp

(1)

Resolvemos la ecuación. 1 para la velocidad desconocida del túnel de viento, y obtenemos: Vm = Vp (

ρp Lp μm )( )( ) μp ρm Lm

Vm = (0.560 m⁄s) (

𝐕𝐦 = 𝟔𝟏. 𝟒𝟐 𝐦⁄𝐬

1.849 x 10−5 kg ⁄m. s 999.1 kg/m³ )( ) (8) 1.138 x 10−3 kg⁄ m. s 1.184 kg/m³

Importante. A esta temperatura del aire, la velocidad del sonido es de alrededor de

346 m/s. Por tanto, el número de Mach en el túnel de viento es igual a 61.42⁄ 346= 0,177. Esto

es lo suficientemente bajo como para que la aproximación del flujo incompresible sea razonable.

15 PROBLEMA 2 Repita el problema anterior con las mismas condiciones excepto que la única instalación disponible para los estudiantes es un túnel de viento mucho más pequeño. Su modelo submarino es un modelo a un veinticuatroavo de escala en lugar de un modelo a un octavo. ¿A qué velocidad de aire necesitan correr el túnel de viento con la finalidad de lograr similitud? ¿Nota algo perturbador o sospechoso en el resultado? Coméntelo. (Çengel y Cimbala, 2006, p. 310). Solución Asumiendo. 1 Se supone que la compresibilidad del aire es insignificante. 2 Las paredes del túnel de viento están lo suficientemente lejos como para para no interferir con la resistencia aerodinámica del modelo submarino. 3 El modelo es geométricamente similar al prototipo. Propiedades.

Para el agua a Tagua = 15°C y presión atmosférica, tenemos que la ρ = 999.1 kg/m³ y

μ = 1.138 x 10−3 kg⁄m. s.

Para el aire a Taire = 25°𝐶 y presión atmosférica, tenemos que la ρ = 1.184 kg/m³ y

μ = 1.849 x 10−5 kg⁄m. s.

Análisis. La similitud se logra cuando el número de Reynolds del modelo es igual al del

prototipo, entonces la similitud sería: Rem =

ρp Vp Lp ρm Vm Lm = Rep = μp μm

(1)

Resolvemos la ecuación. 1 para la velocidad desconocida del túnel de viento, y obtenemos: Vm = Vp (

Lp μm ρp )( )( ) μp ρm Lm

16 ⁄ m3 kg m. s ⁄ Vm = (0.560 m s 1.849 x 10−5 ⁄ ) ( 1.138 x 10−3 kg m. s 999.1 kg kg ) (24) = 𝟏𝟖𝟒 𝐦 𝐬 1.184 )( ⁄ m3 A esta temperatura del aire, la velocidad del sonido es de alrededor de 346 m/s. Por tanto, el número de Mach en el túnel de viento es igual a 184/346 = 0,532. El número de Mach es lo suficientemente alto como para que la aproximación de flujo incompresible no sea razonable. El túnel de viento debe funcionar a una velocidad de flujo a la que el número de Mach sea inferior a un tercio de la velocidad del sonido. A esta velocidad más baja, el número de Reynolds del modelo será demasiado pequeño, pero los resultados aún pueden ser utilizable, ya sea por extrapolación a Re superior, o si tenemos la suerte de tener la independencia del número de Reynolds. Importante. Tambi...