Relación de problemas números racionales PDF

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Profes@r: Mar Liñan, Víctor Barrera y Beatriz Lopez....

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MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS PARA MAESTROS

RELACIÓN DE PROBLEMAS: NÚMEROS RACIONALES RESOLUCIÓN CURSO 2016-17

FUNDACIÓN SAN PABLO ANDALUCIA CEU

Relación de problemas: Fracciones | GP109 MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS PARA MAESTROS

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Problema 1 A un escultor le quedó una cuarta parte de una barra de hierro por utilizar de un trabajo anterior. Quería un trozo pequeño para un segundo trabajo, de modo que cortó una cuarta parte de una cuarta parte del trozo que tenía. ¿Qué porción de la barra inicial ha usado para este segundo trabajo? Si la barra medía inicialmente 2,5m de largo, ¿cuánto mide el trozo que va a usar? (Paola Hermosín / Fermín Hidalgo) Una cuarta parte de una cuarta parte del trozo que tenía (que era una cuarta parte de la barra de hierro inicial) sería: 1/4 · 1/4 · 1/4 = 1/64 1/64 es la porción de la barra inicial que ha usado para el segundo trabajo. Pasamos metros a cm para que sea más fácil la división: 2,5 m = 250 cm El trozo a usar mide 1/64 · 250 = 3,9 cm

Problema 2 Un listón de madera se corta por la mitad. Cada uno de los trozos se vuelve a dividir por la mitad, y los trozos que resultan se dividen de nuevo por la mitad. El proceso se repite seis veces más. ¿Con qué fracción escribirías la relación entre la longitud inicial del listón y la longitud de uno de los trozos finales? (Fermín Hidalgo / Alicia Bustos) Tendríamos al principio la unidad. La dividimos por la mitad  ½ (de la unidad) Esa mitad la volvemos a dividir, sería ¼ (de la unidad) Si volvemos a dividir tendríamos 1/8 (de la unidad El proceso sigue así 6 veces más, llegando a 1/512 que es igual 1 / 29 . Solución: 1/512 (de la unidad)

Problema 3 El primer día después del Diluvio, se escaparon la mitad de los animales del arca; al día siguiente, un tercio de los que quedaban y el tercer día se escaparon un cuarto de los que aún quedaban. ¿Qué fracción de los animales había inicialmente quedaban aún en el arca? (Fermín Hidalgo) X = total de los animales. Primer día: Se escapan 1/2 de X Segundo día: Se escapan 1/3 de un 1/2 de X  1/ 6 de X 1/2 + 1/6 = 4/6  quedan 2/6 de X Tercer día : Se escapan 1/4 de 2/6 de X  2/24 = 1/12 de X Quedan en el arca: X-(1X/2 + X/6 + X/12 ) = X-[ (6X + 2X + X)/12] (12 X – 9X) /12 = 3 X /12 Solución : (3/12 ) = ¼ de los animales totales quedan aún en el arca

Problema 4. ¿Qué variación experimenta una fracción si se multiplica por 5 el numerador y se divide por 5 el denominador? (Paola Hermosín) Si la fracción fuese a/b y multiplicásemos el numerador por 5 y dividiésemos el denominador por 5, tendríamos 5a/(b/5). Esto podría ser despejado de forma que el 5 que tenemos dividiendo en el denominador pasa al numerador multiplicando: 5 · 5a/b = 25a/b FUNDACIÓN SAN PABLO ANDALUCIA CEU

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La variación que experimenta la fracción es que queda multiplicada por 25.

Problema 5. Si k /30 es una fracción que está entre 1/3 y 2/5. ¿Cuál es el valor de k? (Paola Hermosín) Si nos da una fracción cuyo denominador es 30, entonces ponemos 30 como denominador común a las dos fracciones entre las que está, 1/3 y 2/5. Obtenemos 10/30 en lugar de 1/3 (porque 30 dividido entre 3 es 10, y pasa a multiplicar por el numerador que es 1, así que obtenemos 10), y 12/30 en lugar de 2/5 (porque 30 entre 5 es 6, que multiplicado por 2 en el numerador obtenemos 12). Si las fracciones obtenidas son 10/30 y 12/30, el numerador de k/30 estando entre las fracciones anteriores será 11. k/30 = 11/30

Problema 6. Cada mes, cuando Iván cobra su nómina, separa el dinero de la siguiente forma: la mitad es para el alquiler de la casa, la cuarta parte del resto es para la comida, la sexta parte de lo que queda es para el transporte y los tres octavos del resto para otros gastos de la casa. ¿Qué parte de su sueldo le queda para sus propios gastos? Llamamos x al sueldo de Iván, La mitad es para el alquiler (x/2), por lo que le queda (x – x/2 = x/2) La cuarta parte del resto para comida: ¼ de x/2 = x/8 para comida. Como le quedaba x/2 después de apartar lo de la hipoteca, ahora tendría x/2 – x/8 = (4x-x)/8 = 3x/8 La sexta parte de lo que le queda para transporte: 1/6 de 3x/8 = 3x/48, por lo que aún le queda: 3x/8 – 3x/48 = (18x-3x)/48 = 15x/48 Los tres octavos del resto para otros gastos de la casa: 3/8 de 15x/48 = 45x/384, por lo que le queda 15x/48 – 45x/384 = (120x-45x)/384 = 75x/384 = 25x/128 Le queda para sus propios gastos 25/128 del sueldo para sus propios gastos.

Problema 7. Un camión cisterna transporta agua a zonas afectadas por la sequía. En la última entrega no se dieron cuenta de que había un agujero por el que se perdió una doceava parte de la capacidad antes de comenzar el reparto. En la primera aldea dejaron dos quintas partes del agua que llevaban y en la segunda, tres cuartas partes de lo que quedaba, mientras que en las dos últimas repartieron a partes iguales el resto. ¿Qué parte de la capacidad total recibieron estas últimas? Llamamos x a la capacidad del camión. Como se pierde 1/12 parte de la capacidad, queda antes del reparto 11x/12 Reparte en la primera aldea 2/5 del agua que llevaba, es decir, 2/5 de 11x/12 = 22x/60 = 11x/30 Después de este reparto quedará en el camión 11x/12 – 11x/30 = (55x-22x)/60 =33x/60 = 11x/20 FUNDACIÓN SAN PABLO ANDALUCIA CEU

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En la segunda aldea reparte ¾ de lo que queda, es decir ¾ de 11x/20 = 33x/80 Después de este reparto quedará 11x/20 – 33x/80 = (44x-33x)/80 = 11x/80 A cada una de las últimas aldeas les reparte la mitad de lo que queda, por tanto ½ de 11x/80 = 11x/160. A cada aldea le corresponde la 11/160 parte de la capacidad del camión.

Problema 8. ¿Cuándo resulta ser un número entero el producto siguiente? 𝑛

∏ (1 +

1

𝑖=2

a) b) c) d)

1 1 1 1 ) = (1 + ) (1 + ) (1 + ) … (1 + ) 2 3 4 𝑖 𝑛

Siempre Cuando n es impar Cuando n es un múltiplo de 3 Cuando n es par

Se intenta simplificar la expresión: 𝑛

∏ (1 +

1

𝑖=2

= =

3

2

·

𝑛+1

4

3

·

1 1 1 1 2+1 3+1 4+1 𝑛+1 ) = (1 + ) (1 + ) (1 + ) … (1 + ) = ( ) )( )( )… ( 𝑖 𝑛 2 3 4 𝑛 2 3 4 5

4

=

· …·

𝑛+1 𝑛

𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜

2

Este resultado será entero si la división entre numerador y denominador es exacta, en este caso si n + 1 es par, y por tanto n deberá ser impar. ¿Y este otro producto? 𝑛

∏ (1 + 𝑖=1

a) b) c) d)

1

1 1 1 1 1 ) = (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) … (1 + ) 1 2 3 4 𝑖 𝑛

Siempre Cuando n es impar Cuando n es un múltiplo de 2 Cuando n es par 1

1

1

1

1

1

∏𝑛𝑖=1 (1 + ) = (1 + ) (1 + ) (1 + ) (1 + ) … (1 + ) = 𝑖 1 2 3 4 𝑛 𝑛+1 1

2

1

·

3

2

·

4

3

En este caso, al ser el denominador 1, el resultado siempre será entero.

Problema 9. Cada ficha del dominó (distintas de las combinaciones con la “blanca”) se puede pensar como una FUNDACIÓN SAN PABLO ANDALUCIA CEU

· …·

𝑛+1 𝑛

=

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fracción menor o igual a uno. Calcula la suma de todas estas fracciones. (Paola Hermosín)

Colocamos las fichas de dominó como fracciones menores o iguales que 1: 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1/1 2/6 2/5 2/4 2/3 2/2 3/6 3/5 3/4 3/3 4/6 4/5 4/4 5/6 5/5 6/6 Para sumar estas fracciones observamos que sumando por columnas obtendríamos 21/6, 15/5, 10/4, 6/3, 3/2, 1 Así, la suma total es: 21/6 + 15/5 + 10/4 + 6/3 + 3/2 + 1 = 27/2

Problema 10. En una clase hay 30 estudiantes, de los cuales los 3/5 son alumnas. ¿Cuántos alumnos hay en clase? ¿Cuántas alumnas? (Fermín Hidalgo) Para calcular los 3/5 de 30 multiplicamos 30 por el numerador y el resultado lo dividimos por el denominador. 30x3 = 90 90: 5 = 18 En la clase hay 18 alumnas. Para calcular los alumnos de la clase a 30 le restamos las 18 alumnas. 30-18= 12 Solución: En la clase hay 18 alumnas y 12 alumnos.

Problema 11.En un quiosco se han vendido a lo largo de la mañana 2/3 de un lote de periódicos. Por la tarde se han vendido la mitad de los que han quedado. ¿Qué fracción del total de periódicos representan los vendidos? Si no se han vendido 20 periódicos, ¿cuántos había al empezar la venta? (Fermín Hidalgo) Vendidos por la mañana  2/3 del total. Vendidos por la tarde 1/2 de un 1/3  1/6 del total Total vendidos  2/3 +1/6= (4+1)/6= 5/6 No vendidos = 1/6 = 20 periódicos Total periódicos= 20x6= 120 periódicos. Sol: La fracción del total de periódicos vendidos es igual a 5/6. El número total de periódicos antes de empezar la venta = 120

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Problema 12. Se han consumido 7/8 de un bidón de aceite. Reponiendo 38 litros, el bidón queda lleno en sus 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón. (Fermín Hidalgo) Se ha consumido 7/8 de X. Siendo X la capacidad total del bidón. Lo que queda (1/8 de X) más 38 litros es igual a 3/5 del total. 1X/8 + 38 = 3X/5 (X+38·8)/8= 3X/5 5·(X+304)= 3X·8 5X+1520= 24X 1520= 19 X  X = 1520/19  X= 80 litros. Solución: La capacidad del bidón es de 80 litros.

Problema 13. Una máquina teje al día 1/8 de una pieza de 96m. Al día siguiente teje los 2/7 de lo que quedó el día anterior. ¿Cuántos metros ha tejido en los dos días? ¿Qué fracción de la pieza queda por tejer? (Fermín Hidalgo) Primer día 1/8 de 96. 96x1 = 96 96: 8 = 12 metros. Quedan sin tejer 96-12= 84 metros. Segundo día: teje 2/7 de 84 metros. 84x2 =168 . 168: 7 = 24 metros. Metros tejidos entre los dos días: 12+24= 36 metros. Queda sin tejer 96-36= 60 metros. La fracción de tela sin tejer es igual a 60/96 = 5/8 Solución: Ha tejido 36 metros y la fracción de pieza por tejer es igual a 5/8

Problema 14. Un padre murió dejando cuatro hijos. Éstos se repartieron sus bienes de la manera siguiente: El primero cogió la mitad de la fortuna menos 3000 libras El segundo cogió un tercio menos 1000 libras El tercero cogió exactamente un cuarto de los bienes. El cuarto cogió 600 libras más la quinta parte de los bienes. ¿Cuál era la fortuna total y qué cantidad recibió cada uno de los hijos? (Paola Hermosín) El primero coge: 1/2 x - 3000 El segundo coge: 1/3 x - 1000 El tercero coge: 1/4 x El cuarto coge: 600 + 1/5 x La fortuna total sería x x = 1/2 x - 3000 + 1/3 x - 1000 + 1/4 x + 600 + 1/5 x Sacamos denominador común mediante el m.c.m. de los denominadores 2, 3, 4, y 5, que sería 60. 60/60 x = 30/60 x - 180000/60 + 20/60 x - 60000/60 + 15/60 x + 36000/60 + 12/60 x Eliminamos denominadores, ya que son comunes, y efectuamos operaciones para despejar la x. 17x = 204000 x = 204000/17 = 12000 La fortuna total sería 12000 libras. Sustituyo la x en cada ecuación de cada hijo -que pusimos inicialmente. Primer hijo recibe: 1/2 · 12000 - 3000 = 3000 libras.

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Segundo hijo recibe: 1/3 · 12000 - 1000 = 3000 libras. Tercer hijo recibe: 1/4 · 12000 = 3000 libras. Cuarto hijo recibe: 600 + 1/5 · 12000 = 3000 libras. Todos reciben lo mismo.

Problema 15. Un padre murió dejando varios hijos. Éstos se repartieron sus bienes de la manera siguiente: El primero recibió 100 coronas y la décima parte de lo que quedaba. El segundo recibió 200 coronas y la décima parte de lo que quedaba. El tercero recibió 300 coronas y la décima parte de lo que quedaba. El cuarto recibió 400 coronas y la décima parte de lo que quedaba, etc... Al final del reparto descubrieron que la fortuna había sido dividida en partes iguales entre los hijos. ¿A cuánto ascendía la fortuna? ¿Cuántos hijos tenía? ¿Cuánto correspondió a cada uno? (Paola Hermosín) Llamamos x a la fortuna total y n al número de hijos. Como dice que al final se dan cuenta que todos los hijos reciben la misma cantidad, podemos igualar lo que recibe el primero y lo que recibe el segundo (no necesitamos detallar lo que reciben el resto de hijos) 100 + ([x-100]/10) = 200 + (x-300 - [{x-100}/10] /10) x/100 = 81 x = 8100 coronas es la fortuna total. Cada hijo recibe x/n coronas, así que el primero recibe 8100/n = 100 + (8100 - 100/10) n = 9 hijos. 8100/9 = 900 coronas corresponden a cada hijo.

Problema 16. En el sepulcro de Diofanto (S III d.C.) aparece el siguiente epitafio: ¡Caminante! aquí fueron sepultados los restos de Diofanto, y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!, cuan larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además la duodécima parte de su vida cuando de vello cubriese su cuerpo. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, durando la mitad de la de su padre. Y con profunda pena descendió a la sepultura habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo con el único consuelo de las matemáticas. Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto antes de su muerte. (Paola Hermosín) A los años que vivió Diofanto los llamamos x. La sexta parte de su vida será x/6. Una duodécima parte de su vida será x/12 Una séptima parte será x/7 Un quinquenio más: 5 El tiempo que vivió su hijo será x/2 Sobrevivió 4 años a la muerte de su hijo: 4 Todas estas cantidades, sumadas, deben coincidir con el tiempo de vida de Diofanto; por lo tanto, x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x x - x/6 - x/12 - x/7 - x/2 = 9

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(1 - 1/6 - 1/12 - 1/7 -1/2) x = 9 Sumando fracciones con denominador común obtenemos [(84 - 14 - 7 - 12 - 42) / 84] x = 9 [9/84] x = 9 x = 84 es decir, Diofanto vivió 84 años, de los cuales 14 años contituyeron su infancia 7 años después se cubrió de vello y se casó 12 años tuvo de matrimonio estéril 5 años más transcurrieron y nació su hijo 42 años vivió su hijo y 4 años después muere Diofanto sumando los periodos anteriores: 84 años vivió Diofanto.

Problema 17. . Un vendedor de libros a domicilio inició la jornada vendiendo al primer cliente la mitad de los libros que tenía más uno. Al segundo cliente le vendió la mitad de los libros que le quedaban y uno más. Al tercero también le vendió la mitad de los libros que le quedaban y uno más. Y lo mismo hizo con el cuarto cliente. En ese momento, el vendedor había vendido todos los libros que llevaba. ¿Con cuántos libros inició el vendedor la jornada? (Paola Hermosín) Si al último le vendió la mitad de los libros que tenía más uno, y con eso le vendió todos, quiere decir que ese 1 es la otra mitad, por tanto al último le vendió dos libros. Después de venderle al tercero la mitad de los libros que tenía más uno, le quedaron los dos libros que le vendió al cuarto. Es decir, la mitad de los libros que tenía - 1 (que es lo que no le vendió al tercero) es igual a los dos libros que le vendió al cuarto. Por tanto la mitad de los libros es 2 + 1 = 3. Así deducimos que al tercero le vendió 6. Al tercero le vendió la mitad de los libros que había para la venta del segundo - 1, y eso es 6. La mitad de los libros que había para vender al segundo son 7, por tanto los libros que había para venderle al segundo son 14. Los libros que había para venderle al segundo corresponden con la mitad de los libros 1 (que es lo que no le vendió al primero). Así la mitad de los libros será 15. El total de libros por tanto será 30.

Problema 18. Si en un número racional aumentamos el numerador en 4, el número racional queda aumentado en 2. ¿Cuál es el denominador del número racional? (Alicia Bustos) El problema nos plantea la siguiente situación: Si N=a/b entonces (a+4)/b = N + 2

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Para que esto se cumpla b tiene que ser un número que divida a cuatro en dos para que así se añadan dos unidades al número decimal. Por lo tanto el denominador de esta fracción debe de ser 2. DEMOSTRACIÓN: N=a/b-----------------a=N·b 2+N=4+a/b--------b(2+N)=4+a (b·N)+b·2=4+a Sustituyo el valor de a--------a+ (b·2)=4+a Observo que b·2 tiene que ser 4 para que se cumpla la igualdad. Por lo tanto el valor de b=2 Ejemplo.- 2'5=5/2

4'5=9/2

Problema 19. Si dividimos el numerador y el denominador de un número racional por el m.c.d. de ambos, ¿qué racional resulta? (Alicia Bustos) Al dividir el numerador y el denominador de un número racional por el m.c.d de ambos, la fracción que obtengo es la fracción irreducible de dicho número racional, pues se estaría simplificando con el mayor divisor común a numerador y denominador, por lo tanto obtengo el mismo número racional.

Problema 20. Si el numerador de una fracción es el triple del denominador, ¿qué racional tenemos? (Fermín Hidalgo) Si llamamos n al denominador, el numerador como es el triple del denominador será igual a 3n La fracción==> 3n/n

Si reducimos la fracción: 3n/n= 3

Solución: El racional que tenemos es 3 Ejemplos: 9/3=3

15/3=3

18/6=3

Problema 21. En un centro comercial, 5 de cada 7 empleados cobran cada 15 días, 2 de cada 9 lo hacen mensualmente y el resto cobra semanalmente. Si en total hay 6300 empleados, halla el número de empleados de cada clase. (Paola Hermosín) El decir que 5 de cada 7 empleados cobran cada 15 días equivale a decir que 4500 de los 6300 empleados así lo hacen, ya que 5/7 de 6300 se obtendrían multiplicando 5/7 · 6300 (primero 6300 · 5 y el resultado se divide entre el denominador, 7) = 4500. Por otro lado, al decir que 2 de cada 9 cobran mensualmente equivale a decir que 1400 de los 6300 empleados así lo hacen, también calculando 2/9 de 6300 (2/9 · 6300) = 1400

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El resto, o sea 400 (4500 + 1400 = 5900. 6300 - 5900 = 400), cobran semanalmente. Entonces: El número de empleados que cobran cada 15 días es de 4500 El número de empleados que cobran mensualmente es de 1400 El número de empleados que cobran semanalmente es de 400

Problema 22. Calcula cuánto tiempo tardan en llenar juntos tres grifos un estanque si por separado el primer grifo tarda en llenarlo 30 horas, el segundo 24 horas y el tercero 16. (Paola Hermosín) El primer grifo lo llena en 30 horas, así que en una hora llena 1/30 del estanque. Así, el 2º llena en una hora 1/24 de estanque y el 3º 1/16. Si tardan x horas en llenarlo, x(1/30 + 1/24 + 1/16) = 1 Sacamos denominador común mediante el m.c.m. de los 3 denominadores, 30, 24 y 16, que sería 240. Tendríamos sustituyendo x (8/240 + 10/240 + 15/240) = 240/240 33x = 240 x = 240/33 = 7.27 horas tardarán los 3 en llenar el estanque

Problema 23. De un depósito de aceite se extraen ¾ de su contenido más 5 litros. Todo lo extraído se reparte entre tres empresas: a la empresa A se le entrega una cantidad, a la B el doble de la anterior y a la C el doble de lo entregado a B. Si la empresa C recibe 80 litros ¿Cuánto aceite contenía el depósito inicialmente? (Rocío Rodríguez) Llamamos x a los litros del depósito inicial. Se extrae 3/4 de x y se añade 5. (3x/4) +5 = (3x+20)/4 Esto sería lo que se va a repartir de forma proporcional. A=1 B=2 C=4 total = 7 (3x+20/4) : 7 =3x+20/28 A=...