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Propiedades de números racionales Los números racionales son aquellos que pueden representarse como cociente de dos números enteros. Es decir, los podemos representar mediante una fracción a/b, donde a y b son números enteros y además b es distinto de cero. El término «racional» proviene de razón, como parte de un todo (por ejemplo: «Tocamos a razón de tres por persona»). Cada número racional se puede representar con infinitas fracciones equivalentes. Por ejemplo, el número racional 2.5 se puede representar con las siguientes fracciones: 5 10 15 25 , , ,… , 2 4 6 10 Y con todas las fracciones equivalentes a éstas. El conjunto de todos los números racionales se representa con el siguiente símbolo: ℚ Fíjate en que cualquier número entero es también un número racional pues puede representarse como cociente de dos números enteros. Por ejemplo, el número 5 puede representarse con las siguientes fracciones: 5 10 15 20 , , ,… , 1 2 3 4 Esto quiere decir que el conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números racionales, que matemáticamente se escribe:

Para completar los números de la recta numérica, o números reales, existen números que no pueden representarse mediante el cociente de dos números enteros. Estos números se denominan números irracionales, y los más conocidos son estos:

Suma de números racionales Para sumar y restar números racionales existen dos casos diferentes con los cuales podemos tratar, el primero es cuando poseen un denominador distinto entre los sumandos, y el otro es cuando tienen un denominador de igual valor y es por este por el que vamos a empezar. Cuando resolvemos la adición de números racionales y la sustracción de números racionales con igual denominador, simplemente se mantiene el mismo denominador (que es el valor ubicado en la parte inferior de la fracción) y sumamos o restamos los numeradores (en la parte superior de la fracción) según sea el caso: Mariana se dirige a comprar tela, en un almacén como 5 4

6 4

y en otro almacén

¿Qué cantidad de tela compro mariana?

6 5 6+ 5 11 = + = 4 4 4 4 R/ Mariana compro

11 4

de tela

Fernanda fue al supermercado en el cual compro 5 4

6 4

de arroz de los cuales

era para su hermana luisa ¿Cuánto de arroz compro Fernanda para ella?

6 5 6−5 1 − = = 4 4 4 4 R/ Fernanda compro para ella

1 4

de arroz

Cuando tenemos denominadores de distinto valor, lo que tenemos que hacer es buscar una fracción equivalente, y encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores a través de multiplicaciones o divisiones que los igualen y formen fracciones equivalente, tomando en cuenta que cualquier operación realizada debe también realizarse al numerador para no alterar el resultado, por ejemplo si multiplicamos el denominador por 4 para encontrar el mínimo común múltiplo también debemos multiplicar por 4 al numerador, veamos: 1 6 8 24 8+ 24 32 = + = + = 8 8 4 8 8 8 Notamos que el mínimo común múltiplo de 4 y 8 es 8, por lo tanto, multiplicamos al primer sumando por 8 y al segundo por 4 para obtener un mismo denominador

con fracciones equivalentes y luego los sumamos como fue mostrado en la operación anterior. 1 6 1.8 6.4 8 24 8−24 −16 = − = − − = = 32 4 8 4.8 8.4 32 32 32

Propiedades de la suma 1 Interna El resultado de sumar dos números racionales es otro número racional. Si Ejemplo: 2+7 1 7 2 7 9 + = + = = 2 4 4 4 4 4

()()( )()( )()

La suma de los racionales

1 2

y

7 4

me dio como resultado

número racional también. 2 Asociativa El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. ( a+b ) +c=a+ (b+c ) Ejemplo: 1 1 +3 1 1 3 + = + + 2 4 8 2 4 8

( )

2+1 3 1 2+ 3 + = + 8 2 8 4 3 3 1 5 + = + 4 8 2 8 6 +3 4+5 = 8 8 9 9 = 8 8

( )

9 , lo cual es un 4

3 Conmutativa El orden de los sumandos no varía la suma. a+b =b + a Ejemplo: 9 1 1 9 + = + 4 2 2 4 4 Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la suma, porque todo número sumado con él da el mismo número. a+0=a Ejemplo: 3 3 +0= 4 4 5 Elemento opuesto Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero. a+b=0 El opuesto de un número en la suma se denota como Ejemplo: 3 −3 3+(−3 ) 3−3 0 = + = = =0 4 4 4 4 4

−a

( )

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. −(− a )=a −3 3 − = Ejemplo: 4 4

( )

Como consecuencia de estas propiedades, la diferencia de dos números racionales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo. a −a =a+(−a ) Ejemplo:

( )

3 2 3 −2 − = + 5 7 5 7 Multiplicación de números racionales La multiplicación entre fracciones en primer lugar, se multiplican los numeradores de todos los factores y a continuación el producto resultante se lo utiliza como

numerador, luego se multiplican los denominadores y al resultado se lo ubica como denominador sin importar si el valor es igual o distinto, de esta manera: 4 5 1 4 x 5 x 1 20 10 = = =59 x x = 3 6 2 3 x 6 x 2 36 18 En este caso el resultado pudo ser simplificado, dividiendo el numerador y el denominador para el mismo número hasta obtener el mínimo número entero en los dos cocientes. En la multiplicación también existe un elemento inverso que da como resultado una unidad, tomando en cuenta que los números enteros también son números racionales si se los expresa como fracción, para explicarlo mejor, se ofrece algunos ejemplos: 1 3 3 1 x 3= x = =1 3 1 3 3 Aunque entre fraccionarios no enteros, también sucede el mismo fenómeno: 5 7 35 x = =1 7 5 35 División de números racionales Para dividir los números racionales, tomamos el numerador de la primera fracción y se lo multiplica por el denominador de la segunda fracción y este resultado será utilizado como numerador; a continuación se toma el denominador de la primera fracción y se lo multiplica por el numerador de la segunda fracción, y a ese resultado se lo ubica como denominador. Por lo tanto en el caso de la división, el orden de los cocientes si altera el resultado, veamos el siguiente ejemplo: 5 2 5 x 3 15 ÷ = = 4 3 4x2 8 Como se puede notar, para dividir los números racionales, se debe multiplicar en cruz, tomando en cuenta que el numerador y el denominador de la primera fracción no cambia de orden, pero los de la segunda fracción si lo hacen para lograr el resultado final.

Adición y sustracción de números racionales Para suma y resta de números racionales se realiza el mismo procedimiento Para sumar o restar números decimales infinitos periódicos o semiperiódicos debes transformarlos a fracción para poder sumarlos con otro número racional. Adición y sustracción de fracciones con igual denominador Para sumar fracciones con igual denominador, se conserva en denominador y se suman los numeradores. Siendo a, b, c diferentes a 0, lo podemos representar de la siguiente forma; Adición y sustracción de fracciones con distinto denominador Para sumar fracciones con distinto denominador, se igualan los denominadores de las fracciones, buscando el mínimo común múltiplo entre los denominadores y amplificando cada fracción por el número que corresponda. Luego, se realiza la adición o sustracción de la misma forma que en el caso anterior (igual denominador). En el caso que sean 2 fracciones, siendo a, b, c, d diferentes a 0, lo podemos representar de la siguiente forma;

https://www.portaleducativo.net/primero-medio/25/adicion-sustraccion-numeros-racionales https://numerosracionales.com/operaciones-de-numeros-racionales...