7°-Matemática-4 - Taller de números racionales PDF

Preview

Summary

Taller de números racionales...

Description

INSTITUTO NACIONAL JOSÉ MIGUEL CARRERA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SÉPTIMO BÁSICO Coordinador: Jorge Varela Sierra. Primer Semestre 2019 GUÍA N°4 – CONJUNTOS NUMÉRICOS – NÚMEROS RACIONALES. Nombre: ____________________________________________________

Curso: 7°___ Fecha: ___/___/_____

Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como una razón. El conjunto de los números racionales se denota con la letra ℚ. Todo racional expresa una o varias partes iguales de la unidad. Además, en toda fracción existen dos términos: “𝑎” llamado numerador y “𝑏” llamado denominador. Es decir: 𝑎 ℚ = { 𝑏 | 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ − {0}} -

Numerador: indica el número de partes iguales que se consideran del entero. Denominador: indica el número de partes iguales en que se divide el entero.

Ejemplos:

=

3 8

=

9 14

Observaciones: - No olvides que el denominador debe ser distinto de cero. - Todo número entero puede ser escrito como un número racional. - No todo número racional puede ser escrito como un número entero. AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR. Para amplificar una fracción se multiplica, por un número entero distinto de cero, el numerador y el denominador. Ejemplo: 2 2∗4 8 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 4 𝑒𝑠 = 3 3 ∗ 4 12 Para simplificar una fracción se divide, por un número entero distinto de cero, el numerador y el denominador. Ejemplo: 9 9∶3 3 𝑠𝑖𝑚𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 3 𝑒𝑠 = 15 15 ∶ 3 5 FRACCIONES EQUIVALENTES. Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte de un entero.

= 6 8

=

12 16

Observaciones: - Para obtener fracciones equivalentes, se debe amplificar o simplificar una fracción dada. - El conjunto de todas las fracciones equivalentes entre sí, se llama Clase de Equivalencia. - Cada clase de equivalencia tiene un representante (Número Racional), el cual es la fracción irreductible del conjunto. - Todos los elementos de una clase de equivalencia representan el mismo punto en la recta.

1

ACTIVIDAD 1. Amplifica por 4 los siguientes racionales. a) c)

2 5

=

−2 3

b)

=

d)

11 10

=

−5

=

7

Amplifica por –3 los siguientes racionales. e) g)

3 7

=

−4 5

=

f)

1 8

h)

−5 8

= =

ACTIVIDAD 2. Simplifica hasta obtener una fracción irreductible. a)

16 = 28

b)

80 = 30

c)

−12 = 6

d)

−27 = 36

e)

28 = 84

f)

−64 = 132

ACTIVIDAD 3. Escribe 3 fracciones equivalentes a la fracción dada. Recuerda que puedes amplificar o simplificar. a)

1 = 5

c)

20 = 30

=

e)

−8 = 6

=

=

b)

6 = 7

=

d)

−225 = 75

=

f)

−11 = 18

=

=

ACTIVIDAD 4. Escribe en el el número que falta para que las fracciones sean equivalentes. 8 80 1 = a) b) = 10 3 18 c) e) g)

56

36 2

=

−7 8

d)

=

8 −9

f) h)

9 = 54 6

−9 −108 = 10

= =

=

= =

2

ORDEN EN LOS RACIONALES. Los números racionales representan cantidades, por lo tanto unos pueden representar más y otros menos, es decir hay una relación de orden entre ellos. Es por ello, que podemos determinar cuando un número es mayor que otro o si son iguales. 𝑎 𝑐 > ⟺ 𝑎∗𝑑 > 𝑏∗𝑐 𝑑 𝑏

𝑎 𝑐 ⟺ 𝑎∗𝑑 < 𝑏∗𝑐 < 𝑑 𝑏

𝑎 𝑐 ⟺ 𝑎∗𝑑 = 𝑏∗𝑐 = 𝑑 𝑏

Ejemplos: 1 1 > ⟺ 1∗3 > 1∗2 2 3

2 2 < ⟺ 2∗3 < 2∗5 5 3

14 7 = ⟺ 7 ∗ 20 = 14 ∗ 10 10 20

Además, un conjunto de racionales se pueden ordenar, de menor a mayor o viceversa, de la siguiente forma: 1. Calcular el MCM de los denominadores. 2. Amplificar cada fracción para que todas tengan igual denominador. 3. Ordenar de menor a mayor o viceversa. Ejemplo: 1 1 2 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: , , . 5 3 4

1. Calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores. 𝑀𝐶𝑀(3, 4, 5) = 60 2. Amplificar las fracciones para que tengan el mismo denominador. 1 ∗ 20 20 1 ∗ 15 15 2 ∗ 12 24 ; = ; = = 3 ∗ 20 60 4 ∗ 15 60 5 ∗ 12 60 3. Escribir las fracciones ordenadas. 15 20 24 < < 60 60 60

⟹

1 1 2 < < 4 3 5

DENSIDAD EN EL CONJUNTO DE LOS RACIONALES. Un conjunto es denso cuando entre dos números distintos se pueden intercalar infinitos números del mismo conjunto. Se puede intercalar infinitos racionales entre dos racionales distintos, ya que el conjunto ℚ es denso. 1. Calcular el MCM de los denominadores de las dos fracciones. 2. Amplificar las fracciones para que tengan igual denominador. 3. Escribir las fracciones intercaladas. Ejemplo: Intercalar 3 fracciones entre

1 3

4

y . 5

4. Calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores. 𝑀𝐶𝑀(3, 5) = 15 5. Amplificar las fracciones. 5 1 1∗5 = = 3 3 ∗ 5 15 6. Escribir las fracciones intercaladas.

4 4 ∗ 3 12 = = 5 5 ∗ 3 15

5

12 6 7 8 15 , , , 15 15 15 15 ,

3

ACTIVIDAD 5. Coloca en el ( ) el signo > , < o = según corresponda. a) c) e)

1

(

)

3 4

b)

−2 ( 3

)

5 −9 5 1

3

15 ( 3

)

1

8 −9

(

)

d)

−17 ( 20

)

f)

42 ( 60

ACTIVIDAD 6. a) Ordena de menor a mayor los siguientes racionales. 3 −5 −3 1 1 , , , ,1 4 6 5 1 3

b) Ordena de menor a mayor los siguientes racionales. 3 2 −3 −2 −1 , , , , 4 5 4 5 2

c) Ordena de mayor a menor los siguientes racionales. 3 −5 1 1 −3 7 0 , , , , , , 4 6 2 1 8 6 1

d) Ordena de mayor a menor los siguientes racionales. −7 −4 0 6 4 −3 , , , , , 9 5 8 7 9 10

4

)

−32 45 168 240

4

ACTIVIDAD 7. Intercala 5 racionales entre:

a)

−2 , 5

b)

5 , 2

c)

9 , 7

d)

3 , 8

,

,

,

,

4 , 9

e)

1 , 3

,

,

,

,

1 , 2

,

,

,

,

,

,

13 5

,

−17 2 10

1 3

b) 1 , , 2 3

,

17 5

,

3

,

−5 7

−2 5

1

, −3 2 ,

−9 2

,

,

,

ACTIVIDAD 8. Ubica en la misma recta numérica los racionales dados. a)

,

,

5 , 7

5 , 9

11 , 8

,

5

ESTRUCTURA ALGEBRAICA DE LOS RACIONALES. El conjunto de los números racionales, con las operaciones de adición y multiplicación, definen un cuerpo Es decir: (ℚ, +,∗) es un cuerpo: (ℚ, +) es grupo abeliano: i. 1. Clausura. 2. Conmutatividad. 3. Asociatividad. 4. Elemento Neutro Aditivo. 5. Elemento Inverso Aditivo (Opuesto aditivo). (ℚ,∗) es grupo abeliano: ii. 1. Clausura. 2. Conmutatividad. 3. Asociatividad. 4. Elemento Neutro Multiplicativo. 5. Elemento Inverso Multiplicativo. (ℚ, +,∗) cumple la distributividad. iii. ADICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES. Existen distintas formas de sumar dos racionales. 1. Fracciones con igual denominador: Se suman los numeradores y se conserva el denominador en común. 𝑎 𝑏 𝑎+𝑏 + = 𝑐 𝑐 𝑐 2. Fracciones con distinto denominador: Se debe amplificar cada fracción para que tengan un denominador en común y luego sumar los numeradores (amplificados). 𝑎 𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + = 𝑏𝑑 𝑏 𝑑 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES. El conjunto de los racionales con la operación adición forman un grupo abeliano. Es decir cumple con las siguientes propiedades: Clausura Asociatividad Elemento neutro aditivo Elemento inverso aditivo

Grupo

Conmutatividad

ACTIVIDAD 9. Resuelve las siguientes adiciones de racionales. a)

1

7

3 7

2 7

+ + = 1

1

−1

3

b) 3 2 + 5 + c)

4

−3 4

=

+4 = 3

d)

−1 2 +( 8 3

+ )=

e)

7 −8 + 5 15

=

1

4

7

f) (−1 3 + 8) +

2

3

=

Grupo abeliano

6

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES. La sustracción es la operación inversa de la adición. Por lo tanto: 𝑎

𝑏

−

𝑐 𝑎 −𝑐 = + 𝑑 𝑑 𝑏

ACTIVIDAD 10. Resuelve las siguientes sustracciones de racionales. a)

27

31

13 31

−

=

b)

3 −1 − 5 8

c)

−1 −2 − 3 6

d)

e)

f)

3

7

−

−1 7

= =

= 3

−1 − 2

1 =

−5

1 2

8

5

− −

3 4

−5 = 12

−

ECUACIONES ADITIVAS EN Q. 𝑐 𝑎 Dada la ecuación 𝑏 + 𝑥 = 𝑑 donde

𝑎 𝑐 , 𝑏 𝑑

∈ ℚ con 𝑥 variable, se puede calcular el valor de la variable sumando, en 𝑎

ambos lados de la igualdad, el inverso aditivo del racional . Es decir: 𝑏

𝑐 𝑎 +𝑥= 𝑏 𝑑

|+

𝑎 −𝑎 𝑐 −𝑎 + +𝑥= + 𝑏 𝑏 𝑏 𝑑 𝑥=

(𝑏 ∗ 𝑐) + (−𝑎 ∗ 𝑑 ) 𝑏∗𝑑

ACTIVIDAD 11. Resuelve las siguientes ecuaciones aditivas con racionales. 1

2

1

7

2 3

5

1

1

1

3

+𝑥+

2 5

3 8

1

2

1 2

1 4

3 3 −5 10

a) 𝑥 + = 3 5

b) 𝑥 + = − 42 c) 𝑥 − 2 + 6 = 5 − d)

1

4

= −2

e) 𝑥 + + + = 5

4

−𝑎 𝑏

7

ACTIVIDAD 12. Resuelve en tu cuaderno los siguientes ejercicios combinados. 3

1

1

1

1

a) (2 3 − 3 2) − [4 5 − (2 2 + 1 5)] = 1

1 2

b) − (− − ) − 2

1 − 4

d)

1 1 +[ 8 4 3

10

= 1

1

c)

e)

−1 2

1

(2 − ) − (− − + 2) = 3 2 1 8

−( +2− 1 4

1 3

1 2

2

3 )− 50 1 5

2 3

1 ]= 2 3

− [− − ( − ) − ] − =

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES. 𝑎 𝑐 𝑎 ∗𝑐 ∗ = 𝑏 𝑑 𝑏∗𝑑 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES. El conjunto de los racionales, sin el cero, con la operación multiplicación forman un grupo abeliano. Es decir cumple con las siguientes propiedades: Clausura Asociatividad Elemento neutro multiplicativo Elemento inverso multiplicativo

Grupo

Grupo abeliano

Conmutatividad

ACTIVIDAD 13. Resuelve las siguientes multiplicaciones de racionales. a)

b)

c)

d)

3

8

∗

−2 9

=

−4 1 ∗ 2 5 −12

1

∗ = 3

30 40

∗

−3 4

∗

1 −1 ∗ 2 4

∗

−2

15

1

e) 2 2 ∗

−1 4

3

2 3

=

=

∗ ∗

−5

12

=

DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES. La división es la operación inversa de la multiplicación. Por lo tanto:

𝑎

𝑐

𝑎

𝑑 𝑐

𝑏

∶

𝑑

8

=

𝑏

∗ 𝑐...