Problemas relacion III - dinamica de la particula PDF

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UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

Departamento de Física Tema 3. Dinámica de la partícula

1. Sobre un bloque de 20 kg, inicialmente en reposo, se aplica de forma continua y en dirección horizontal una fuerza de 40 N. Si suponemos que no hay rozamiento: a) ¿Cuál es la aceleración del bloque? b) Una vez obtenida la aceleración obtener la velocidad y posición del bloque en función del tiempo c) ¿Cuánto vale la fuerza normal?. Si el bloque llega a una rampa hacia abajo, de una inclinación de 50º, y se sigue manteniendo la fuerza de 40 N en la misma dirección que antes: d) ¿Cuánto vale ahora la fuerza normal? e) ¿Cuál será la aceleración del bloque? Sol: a) a = 2 m/s2 en dirección horizontal, b) v(t) = 2 t m/s; r(t)=t2 m, c) N = 196 N hacia arriba, d) N = 95.3 N perpendicular a la rampa, e) a = 8.8 m/s2 en la dirección de la rampa. a)

Aplicando la ley de Newton se tiene que F=ma. Dado que conocemos la fuerza y la masa

del bloque, es fácil calcular la aceleración a=F/m=2 (m/s2) b)

Ahora se trata de cinemática ya que conocemos del móvil que inicialmente estaba parado y

que sufre desde el instante t=0 s una aceleración de 2 m/s2. Por lo tanto: v(t)=at=2t (m/s) y x(t)=(1/2)at2 =t2 (m) . Aquí hemos tomado como origen de posiciones el punto en el que se encontraba el bloque al comienzo (t=0). Obsérvese como x es la integral de v. c) La normal es la fuerza que realiza el suelo sobre el bloque y es igual aunque de sentido contrario a la que realiza el bloque sobre el suelo, es decir, el peso. Por lo tanto la normal es N=mg=196 (N). d)

En este caso no todo el peso se ejerce sobre el suelo sino sólo mg· cos50-40· sen50=95’3 (N).

Esta expresión se calcula viendo que al descomponer el peso, que es vertical, según sus componentes paralela y perpendicular a la rampa, la perpendicular es mg· cos50. En sentido contrario a esta componente está la componente perpendicular hacia arriba de la fuerza de 40 N

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que se sigue aplicando y es horizontal. Esta componente es 40· sen50 y se resta a la normal porque tiene sentido contrario. e) Ahora la aceleración será fruto de la suma de la fuerza aplicada más la componente paralela al suelo del peso. Por lo tanto será mayor que antes: mg sen50+40=ma de donde se puede despejar a=8’8 (m/s2).

2. Se tienen dos masas m1=12 kg y m2=20 kg situadas a ambos lados de un doble plano inclinado de ángulos α = 40º y β = 25º y unidas por una cuerda inextensible. Si inicialmente ambas masas se encuentran en reposo y no existe rozamiento: a) Dibujar el diagrama de fuerzas que actúa sobre cada una de m2 m1 las masas. b) Calcular la aceleración de cada masa indicando

α

β

módulo, dirección y sentido. c) Determinar la tensión de la cuerda. Sol: b) a=0.226 m/s2 ; c) T=78.3 N . a)

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b) Al estar unidas las dos masas, estas se moverán con la misma aceleración, bien hacia un lado o hacia el otro. Tomaremos uno como el bueno y si al final la aceleración sale negativa significa que el sentido es el contrario. Consideramos que el movimiento final será hacia la izquierda. m1 gsenα − T = m1a  2  → a = 0 '173 m / s β − m2 gsen + T = m2a 

En las anteriores ecuaciones hemos tomado fuerzas positivas las que apuntan a la izquierda y negativas a las otras. Obsérvese que se aplica la ley de Newton a cada bloque por separado, es por ello que hay dos ecuaciones. Esto debe ser así porque la ley de Newton es aplicable a cada cuerpo. c) De lo visto en el apartado anterior y despejando T de cualquiera de las dos ecuaciones se tiene T=73’59 N.

3. Un cuerpo de 50 g cuelga de un hilo de 1.2 m de longitud. Si describe una circunferencia de 0.5 m de radio con velocidad constante, en un plano paralelo al suelo. Calcular: a) La tensión del hilo. b) La velocidad con la que gira c) El tiempo que tarda en dar una vuelta Sol: a) T=0.54 N, b) v= 1.49 m/s, c) t = 2.1 s

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a) Dado que la cuerda no varía su longitud ni se arruga, sobre ella debe haber un equilibrio de fuerzas. De un lado la componente del peso que es paralela a ella y de otro la tensión T que es igual pero de sentido contrario. Por lo tanto tenemos T=mg cos α=0’05·9’81·0’908=0’44 N. b) La velocidad con la que girará será tal que tengamos una aceleración centrípeta apropiada. La aceleración centrípeta será igual a la componente paralela al suelo de la tensión T calculada antes, es decir:

mv2 = Tsenα → v = 1'35 m / s . R

c) El tiempo que tarda en recorrer 2πR metros, conocida la velocidad es t=e/v=2’35 s. 4. Un bloque de 50 kg es arrastrado por una superficie horizontal a velocidad constante por una fuerza de 200 N que forma un ángulo de 30º con la horizontal. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie? Sol: µ=0.44 Si el bloque se mueve a velocidad constante entonces la suma de fuerzas que actúan sobre el debe ser cero. Las fuerzas que actúan sobre él son, por un lado la fuerza indicada por el enunciado, por otro la fuerza de rozamiento y por último el peso. Como el peso es compensado por el suelo que sujeta el bloque, queda descartado. Por otro lado, la fuerza que actúa con 30º se descompone en una componente vertical y otra horizontal. La vertical reduce la normal que siente el suelo y la horizontal es neutralizada por la fuerza de rozamiento. Recordemos que de acuerdo a Newton, si la suma de fuerzas sobre un objeto se anula, mantendrá sus estado de movimiento (es de cir su velocidad). Pasando estos razonamientos a números tenemos:

N = mg − 200 sen30º = 390 '5 N Fr = µ N = 200 cos 30º → µ = 0 ' 44 5. Un bloque de peso 20 N está apoyado en una superficie horizontal. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre la superficie y el bloque son respectivamente µe = 0.8 y µc = 0.6. Se ata una cuerda al bloque y se tira en dirección paralela al suelo con tensión T. ¿Cuál es la fuerza de rozamiento que actúa sobre el bloque si: a) T = 15 N ó b) T = 20 N?, ¿se mueve el bloque en algún caso? Ampliación de Física. Curso 2009‐2010

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Sol: a) 15 N; b) 12 N. Se mueve el bloque si T = 20 N. Cuando un objeto está parado apoyado sobre una superficie con rozamiento, ofrece más resistencia al movimiento que cuando ya se está moviendo. Es por eso que hay dos coeficientes, el estático y el dinámico. Supongamos ahora que no hay ninguna fuerza sobre la cuerda, es decir T=0. En ese caso no hay ninguna fuerza de rozamiento. A medida que T va aumentando, como el objeto no se mueve, significa que hay una fuerza de rozamiento igual pero de sentido contrario. Esta situación se mantiene hasta que T alcanza la fuerza de rozamiento estática, que tiene por valor: Fr=µeN=0’8·20=16 N En el primer caso como la fuerza no alcanza este valor, no se moverá el bloque. 6. Un bloque de masa m está apoyado sobre una superficie horizontal. El coeficiente de rozamiento estático es 0.6. El bloque está sometido a la fuerza F que forma un ángulo θ con la horizontal mediante una cuerda de masa despreciable. a) Determinar la fuerza mínima para mover el bloque. b) Calcular esta fuerza para los ángulos θ = 0º, 10º, 20º, 30º, 40º, 50º y 60º y hacer un gráfico de F en función de θ para mg = 400 N. Según este gráfico: c) ¿cuál es el ángulo más eficaz que debe formar la dirección de la fuerza para mover el bloque? Sol: a) F = µmg/(cosθ θ + µsenθ θ); c) θ = 30º

a) El siguiente dibujo representa la situación:

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Las fuerzas que actúan en este problema son la componente horizontal de F y la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento depende de un lado del peso del bloque y de la componente vertical de la fuerza F. Cuando se empieza a tirar de la cuerda comienza a actuar la componente horizontal de F, pero es neutralizada por la fuerza de rozamiento. Esta situación se mantiene hasta que la fuerza de rozamiento alcanza su máximo, dado por el coeficiente de rozamiento. En estas condiciones se cumple:

µ( mg − Fsenθ ) = F cos θ µ mg F= (cos θ + µ sen θ ) b) Se puede realizar mediante una hoja de cálculo: Ángulo (grados) Ángulo (rad) 0

Seno

0

Coseno 0

F 1

240

10 0,174532925 0,17364818 0,984807753 220,386351 20

0,34906585 0,34202014 0,939692621 209,624433

30 0,523598776

0,5 0,866025404

205,82742

40 0,698131701 0,64278761 0,766044443 208,384523 50 0,872664626 0,76604444 60 1,047197551

Ang

0,64278761 217,704002

0,8660254

ang*PI()/180 =seno(ang) =cos(ang)

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0,5 235,382907

=240/(D11+0,6*C11)

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Fuerza (N)

Fuerza F en función del ángulo 250 240 230 220 210 200 190 180 0

10

20

30

40

50

60

ángulo (grados)

c) De acuerdo al gráfico, cuando la fuerza se aplica con 30º esta fuerza es más efectiva ya que se minimiza respecto a la requerida con otros ángulos.

7. Las masas de A y B en la figura son 10 kg y 5 kg, respectivamente. El coeficiente de fricción de A con la mesa es de 0.2. a) Calcular la aceleración del sistema. Si ahora colocamos una masa C encima del bloque A, calcular: b) la masa mínima de C que evitará que A se mueva. Sol: a) g/5; b) 15 kg.

a) Tenemos que aplicar la ley de Newton a ambas masas, teniendo en cuenta que la aceleración con la que se moverán ambas será igual, la llamaremos a, y que la tensión de la cuerda será igual en todos los puntos de esta. Consideramos como positivo el movimiento hacia la derecha (vence la masa B), si nos saliera la aceleración a negativa, significaría que el movimiento sería al

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revés (esto es una norma general, esta claro en este problema que el sistema no se va a mover hacia la izquierda).

Escribimos las dos ecuaciones de Newton para cada masa: A : T − µ· mA · g = mA · a 1 → a= g 5 B : m B ·g −T = m Ba 

Puede comprobarse como en las anteriores ecuaciones el signo de las fuerzas es positivo o negativo atendiendo al criterio establecido anteriormente. b) Ahora hay que incrementar la masa A hasta que la fuerza de rozamiento y el empuje de la masa B se compensen. Al aumentar la masa A aumenta la normal de esta y por lo tanto el rozamiento. En la ecuación A anterior se producirá el equilibrio si a=0 y esto sucede si

T = µ m Ag . Sustituyendo este valor en B se tiene: mB ·g − µ ·mA ·g = 0 (a = 0) mA =

1

µ

mB = 25 k

Por lo tanto hay que incrementar 15 k la masa de A para que no se produzca el desplazamiento.

8. En t = 0 s, una partícula de masa 3 kg está localizada en r = 5 i m y tiene una velocidad constante de 10 j (m/s). No existen fuerzas que actúen sobre la masa. Determinar el momento angular de la masa con respecto al origen en: a) t = 0 s y b) t = 12 s. Sol: a) 150 k (kg.m2/s); b) 150 k (kg.m2/s). Ampliación de Física. Curso 2009‐2010

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a) Del enunciado sabemos que los vectores posición y velocidad son respectivamente:

G r (0) = (5, 0,0) G v (0) = (0,10,0) Todo en unidades del sistema internacional. Por lo tanto, aplicando la definición de momento cinético se tiene: G G G L(0) = m r (0) ∧ v (0) G G G i j k G G L(0) = m 5 0 0 = 150 k 0 10 0

b)

G G Para calcular el momento en todo instante, debemos conocer primero r (t ) y v (t ). Como no hay ninguna fuerza aplicada al objeto, la velocidad no cambia y es igual a la inicial en todo momento. Por su parte, la posición si cambia de acuerdo a la velocidad del móvil, es fácil ver que: G v (t ) = (0,10, 0) G r (t ) = (5,10t , 0) G G G i j k G G L(t ) = 3 5 10t 0 =150 k 0 10 0

Esta expresión es válida para todo momento (todo t). Esto no es sorprendente ya que sabemos que no hay ninguna fuerza y lo único que puede hacer cambiar L es el efecto de una fuerza. Todas las unidades de este problema son del sistema internacional. 9. Un proyectil de masa m es disparado desde el punto O con una velocidad inicial v0 y un ángulo β sobre la horizontal. a) Calcular el momento angular del proyectil con respecto al punto O como función del tiempo. b) Determinar la tasa de cambio con respecto al tiempo del

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momento angular del proyectil. c) Calcular el momento del peso del proyectil y comparar el resultado con el del apartado b). Sol: a) Lo = -(m/2) v0gt2 cos β k; b) dLo/dt = -mv0gt cos β k; c) Mo = -mv0gt cos β k. a)

G G La velocidad inicial es v (0) = (v0 cos β , v0 sen β , 0) y la posición inicial r (0) = (0, 0,0) . Por lo que

sabemos de movimiento parabólico, la velocidad y posición en todo momento será: G v (t ) = (v0 cos β , v 0senβ − gt , 0) 1 G r (t ) = (v 0t cos β ,v 0tsen β − gt 2 , 0) 2 G G i j G 1 L (t ) = m v0t cos β v 0tsen β − gt 2 2 v0 cos β v0 sen β − gt

G k G 1 0 = − mv 0gt 2 cos β k 2 0

b) Como aquí hay una fuerza actuando en todo momento (la gravedad) entonces L no se conserva, de hecho en la anterior expresión vemos que depende de t, disminuyendo con el paso del tiempo. Calculamos ahora como varia L con t: G G dL (t ) = −mv 0 cos β gt k dt c) Por último calculamos el momento de la fuerza (no confundir con el momento cinético), para ello atendemos a su definición: G G G M (t ) = r (t ) ∧ F (t ) G G F (t ) = −mg j G G i j G 1 2 M (t ) = v0t cosβ v0tsen β − gt 2 0 −mg

G k G o = −mgv 0t cos β k

0

G G dL Resultado de nuevo nada sorprendente puesto que por teoría sabemos que M = . dt

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10. El vector de posición de un cuerpo de 6 kg de masa está dado por r = (3t2 – 6t) i – 4t3 j (m). Hallar: a) la fuerza que actúa sobre la partícula; b) el momento de la fuerza con respecto al origen que actúa sobre la partícula y c) el momento angular de la partícula con respecto al origen. Sol: a) F = (36 i – 144t j); b) Mo = (-288t3 + 864t2) k; c) Lo = (-72t4 + 288t3) k. a) G G G r (t ) = (3t 2 − 6t , − 4t 3 , 0) → v (t ) = (6t − 6,− 12t 2 , 0) → a (t ) = (6,− 24t ,0) G G F (t ) = ma (t ) = (36, − 144t , 0)

c) Hacemos lo mismo que en anteriores problemas: G i

G G G M ( t) = r ( t) ∧ F( t) = 3 t2 − 6 t 36

G k G 0 = (−288t 3 + 864 t 2 ) k −144 t 0 G j −4 t 3

d) Hacemos el cálculo de L a partir de su definición: G i

G j − 4t 3

G L (t ) = m 3t 2 − 6t 6t − 6 − 12t 2

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G k G 0 = (− 72t 4 + 288t 3 )k 0

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