Tema 2 Cinematica DE LA Particula PDF

Preview

Summary

FÍSICACINEMÁTICA DE LA PARTÍCULAÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTASÍndice Pág. Tema # 1 Introducción 1 Movimiento rectilíneo 1 Movimiento parabólico 1 Movimiento circular 1 Ejercicios resueltos 1 Recursos complementarios 1 Bibliografía 1 Actividades de aprendizaje autónomo Tema # 2ingeni...

Description

FÍSICA

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA ÁREA DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Índice

Tema # 2

Pág.

1.1 Introducción

2

1.2 Movimiento rectilíneo

5

1.3 Movimiento parabólico

10

1.4 Movimiento circular

13

1.5 Ejercicios resueltos

20

1.6 Recursos complementarios

39

1.7 Bibliografía

40

1.8 Actividades de aprendizaje autónomo

41

1

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

1.1. Introducción La mecánica es una rama de las ciencias físicas que se ocupa del estado de reposo o movimiento de cuerpos sometidos a la acción de una o varias fuerzas. Normalmente se puede dividir el estudio de la mecánica en dos partes: la estática, la cual se ocupa del equilibrio de un cuerpo que está en reposo o que se mueve con velocidad constante y la dinámica, la cual se ocupa del movimiento acelerado de un cuerpo. A su vez la dinámica se puede dividir en 2 partes: la cinemática, que es la rama de la dinámica que estudia solamente los aspectos geométricos del movimiento sin tomar en cuenta las fuerzas que lo provocan, y la cinética, la cual analiza las fuerzas que provocan el movimiento utilizando las leyes de Newton. Históricamente, los principios de la dinámica se desarrollaron cuando fue posible medir el tiempo con precisión. Uno de los principales contribuyentes en este campo fue Galileo Galilei (1564-1642). Su trabajo consistió en experimentos con péndulos y cuerpos en caída libre. Sin embargo, las aportaciones más significativas en la dinámica las realizó Isaac Newton (1642-1727), quien se destacó por su formulación de las tres leyes fundamentales del movimiento y la ley de la atracción gravitatoria universal, las cuales siguen vigentes hasta hoy y son la base de la mecánica clásica o Newtoniana. Poco después de que se postularan estas leyes, Euler, D’Alembert, Lagrange y otros desarrollaron técnicas importantes para su aplicación. En la

2

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

ingeniería hay muchos problemas cuyas soluciones requieren la aplicación de los principios de la dinámica. Por ejemplo, el diseño estructural de cualquier vehículo ya sea un automóvil o un avión, requiere considerar el movimiento al cual se somete. Esto también es cierto para muchos dispositivos mecánicos como motores eléctricos, bombas, herramientas móviles, actuadores industriales y maquinaria. Además, las predicciones de los movimientos de satélites artificiales, proyectiles y naves espaciales consideran las leyes de la dinámica para analizar el movimiento. Conforme se presenten más avances tecnológicos, habrá incluso una mayor necesidad de saber cómo aplicar los principios de esta rama de la mecánica.

Solución de problemas La forma más efectiva de aprender los principios de la cinemática es resolviendo problemas. Si bien es cierto, no existe un único procedimiento para resolver este tipo de problemas, en muchas ocasiones es necesaria la aplicación de cálculo integral para poder resolver los problemas, como se verá en los siguientes niveles de esta materia. Sin embargo, para tener éxito en esta tarea, es necesario presentar el trabajo de una manera lógica y ordenada, por eso se sugieren los siguientes pasos: 1. Lea el problema con cuidado y trate de extraer la mayor cantidad de información posible. 2. Trace todos los diagramas necesarios y tabule los datos del problema.

3

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

3. Establezca

un

sistema

de

Tema # 2

coordenadas y aplique

las

ecuaciones

correspondientes según el caso. 4. Antes de resolver las ecuaciones, verifique que todos los datos estén en las unidades básicas, para que no exista algún problema con estas. 5. Una vez obtenida la respuesta, analícela utilizando el sentido común para determinar si es razonable o no. Para aplicar este procedimiento, usted debe realizar el trabajo lo más ordenada y limpiamente posible. Por lo general, ser pulcro en la resolución estimula una forma de pensar ordenada y clara y, además, ayuda a la visualización y comprensión de la solución.

4

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

1.2. Movimiento rectilíneo Iniciaremos en estudio de la cinemática analizando el movimiento de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea. Llamamos partícula a un cuerpo que tiene masa, pero su tamaño y forma son despreciables. Por lo tanto, limitaremos el análisis a aquellos cuerpos cuyas dimensiones no afecten al movimiento. En la mayoría de los problemas vamos a trabajar con cuerpos de tamaño finito como vehículos, proyectiles o cohetes. Cada uno de estos objetos se puede considerar como una partícula siempre y cuando el movimiento ocurra a lo largo de su centro de masa y no exista rotación. En el movimiento rectilíneo, se debe especificar en cualquier instante la velocidad, posición y aceleración de la partícula.

Posición: la posición de una partícula que se desplaza a lo largo de una trayectoria rectilínea se define con respecto a un punto O (comúnmente llamado origen), y se mide en un solo eje de coordenadas, como se muestra en la figura 1. El origen O es un punto fijo y a partir de ese punto se mide la posición de la partícula en cualquier instante. La magnitud de la posición es la distancia medida desde O, generalmente se expresa en metros o pies, y su signo define el sentido. Aunque la selección de la dirección positiva es arbitraria, normalmente se considera positiva si se encuentra a la derecha del origen y negativa si se encuentra a la izquierda. Es importante recordar

5

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

que la posición es un vector ya que tiene magnitud, dirección y sentido. Sin embargo, en el movimiento rectilíneo se puede trabajar de manera escalar porque el movimiento ocurre solamente en un eje.

FIGURA 1. POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA CON RESPECTO A O.

Desplazamiento: el desplazamiento de una partícula se define como el cambio en su posición. Si la partícula se mueve de un punto a otro, su desplazamiento es: ∆𝑠 = 𝑠′ − 𝑠 Como se muestra en la figura 2, el desplazamiento será positivo si la posición final de la partícula está a la derecha de su posición inicial y negativa si está a la izquierda. El desplazamiento también es una cantidad vectorial y es muy importante distinguir entre desplazamiento y distancia recorrida, la cual hace referencia a la longitud total de la trayectoria a lo largo de la cual viaja la partícula.

6

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

FIGURA 2. DESPLAZAMIENTO DE UNA PARTÍCULA.

Velocidad: si la partícula recorre una distancia ∆𝑠 en un intervalo de tiempo ∆𝑡 , entonces su velocidad promedio será: 𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 =

∆𝑠 ∆𝑡

Como el intervalo de tiempo (∆𝑡) es siempre positivo, el sentido de la velocidad viene dado por el desplazamiento (∆𝑠). La magnitud de la velocidad se conoce como rapidez y generalmente se expresa en m/s o pies/s. La rapidez promedio se define como la distancia total recorrida por la partícula dividida para el tiempo transcurrido.

Aceleración: la aceleración se define como la variación de la velocidad en un intervalo de tiempo: 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑚 =

∆𝑣 ∆𝑡

La aceleración puede ser positiva o negativa. Cuando la aceleración tiene sentido contrario a la velocidad, entonces la velocidad va a disminuir, este movimiento se conoce como desacelerado. Mientras que, si la aceleración y la velocidad tienen en

7

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

mismo sentido, la velocidad aumenta y el movimiento es acelerado. Las unidades que se utilizan para expresar la magnitud de la aceleración son m/s 2 o pies/s2.

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) En el MRU, la velocidad permanece constante, es decir, no existe aceleración, la distancia recorrida por la partícula es igual a su desplazamiento y la rapidez es igual al módulo de la velocidad. La ecuación que relaciona la distancia, la velocidad y el tiempo en este movimiento es: 𝑣=

𝑑 𝑡

Donde: 𝑑 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑣 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒) 𝑡 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) En el MRUV, la aceleración permanece constante, es decir, la velocidad aumenta o disminuye de manera uniforme. Suponiendo que el cuerpo se desplaza a lo largo del eje X, existen 3 ecuaciones que gobiernan este movimiento:

8

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

𝑣𝑓 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 𝑉𝑓2 = 𝑣02 + 2𝑎 ∆𝑥 1 ∆𝑥 = 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡 2 2 Donde: 𝑣0 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑣𝑓 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑎 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑡 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 ∆𝑥 = 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜

9

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

1.3. Movimiento parabólico En el movimiento parabólico, conocido también como tiro parabólico, la partícula tiene desplazamiento tanto vertical como horizontal. Esto produce que el vector velocidad, tenga componentes en el eje X y en el eje Y, las cuales se calculan con el ángulo de elevación como se indica en la figura 3.

FIGURA 3. COMPONENTES DE LA VELOCIDAD EN X Y EN Y.

El movimiento horizontal (a lo largo del eje X) se lo analiza como un MRU, es decir, la velocidad en el eje X permanece constante a lo largo de todo el movimiento. Mientras que en el eje Y, debemos considerar al movimiento como un MRUV, en el cual, la aceleración constante es la aceleración de la gravedad. Los valores comunes de la aceleración de la gravedad son de 9.81 m/s2 o 32.2 pies/s2 y siempre actúa hacia el centro de la tierra. Es decir, si la partícula está subiendo, la aceleración de la gravedad hará que la velocidad en el eje Y disminuya, en el punto más alto de la trayectoria, la velocidad en Y es igual a cero, y cuando la partícula está bajando, la aceleración de la gravedad hará que la velocidad en el eje Y aumente. A lo largo de todo este

10

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

recorrido, la velocidad en X permanece constante. El módulo del vector velocidad, es siempre tangente a la trayectoria en cualquier punto.

FIGURA 4. VELOCIDADES EN EL MOVIMIENTO PARABÓLICO.

Es importante comprender que la componente horizontal y vertical de la velocidad no interfieren entre sí, por eso se pueden analizar por separado a pesar de que se trata del movimiento de la misma partícula. En el eje Y, las ecuaciones que se aplican son: 𝑣𝑓𝑦 = 𝑣0𝑦 + 𝑎𝑡 2 𝑉𝑓𝑦2 = 𝑣0𝑦 + 2𝑎 ∆𝑦

∆𝑦 = 𝑣0𝑦 𝑡 +

1 2 𝑎𝑡 2

Donde: 𝑣0𝑦 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌 𝑣𝑓𝑦 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌 𝑎 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑

11

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

𝑡 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 ∆𝑦 = 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌 Al utilizar estas ecuaciones al mismo tiempo, se pueden obtener otras ecuaciones qua también son de utilidad como por ejemplo la ecuación para calcular la altura máxima: ∆𝑦𝑚𝑎𝑥 =

𝑣02 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 2𝑔

Donde: 𝜃 = á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 O la conocida como ecuación de la trayectoria, la cual no depende del tiempo: ∆𝑦 = 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝜃 −

𝑔 𝑥2 2𝑣20 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃

Donde: 𝑥 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑋 𝜃 = á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 Otra ecuación útil es la que calcula el alcance máximo en el eje X: 𝑥𝑚𝑎𝑥 =

𝑣02 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) 𝑔

12

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

1.4. Movimiento circular Se considera movimiento circular cuando la partícula gira alrededor de un eje fijo describiendo una trayectoria circular de radio r, como se muestra en la figura 5.

FIGURA 5. ESQUEMA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR.

En cualquier instante, las coordenadas X, Y de la partícula son: 𝑋 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑌 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 Estas se conocen como ecuaciones paramétricas y en algunos casos son útiles para encontrar las componentes de la velocidad.

Posición angular: la posición angular de r está definida por el ángulo θ, medido desde una línea de referencia fija, normalmente el eje X positivo, hasta la línea r.

13

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

Desplazamiento angular: el cambio de la posición angular se conoce como desplazamiento angular: ∆𝜃 = 𝜃𝑓 − 𝜃0 Donde: 𝜃𝑓 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝜃0 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 Esta magnitud se mide en grados, radianes o revoluciones (1 rev = 2 π rad).

Velocidad angular El cambio con respecto al tiempo de la posición angular se conoce como velocidad angular ω (omega). La velocidad angular se define como: 𝜔=

∆𝜃 ∆𝑡

Donde: ∆𝜃 = 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 ∆𝑡 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 La magnitud de este vector suele medirse en rad/s. Generalmente, el sentido de rotación contrario al sentido de las manecillas del reloj es considerado positivo.

14

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

Aceleración angular La aceleración angular α (Alpha) mide el cambio de la velocidad con respecto al tiempo, por lo tanto: 𝛼=

∆𝜔 ∆𝑡

La línea de acción de α es la misma que la de ω. Si la aceleración angular actúa en el mismo sentido de la velocidad angular, entonces esta aumenta. De igual forma, si α actúa en sentido contrario a ω, entonces la velocidad disminuye, en este caso hablamos de una desaceleración angular. Como se puede observar, las relaciones del movimiento angular son semejantes a las ecuaciones del movimiento rectilíneo, por lo tanto, se pueden utilizar ecuaciones semejantes.

Período Se define como el tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa. Se representa con la letra T y se mide en segundos (s). doSu expresión viene dada por: 𝑇=

2𝜋 𝜔

Donde:

15

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

𝜔 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟

Frecuencia Se define como el número de vueltas que el cuerpo da en cada segundo. Se representa con la letra f y se mide en uno sobre segundo (s-1), que también se denomina hercio (Hz). Su expresión viene dada por: 𝑓=

𝜔 2𝜋

La frecuencia es la inversa del periodo.

Movimiento circular uniforme (MCU) En el MCU, la velocidad angular es constante, entonces la ecuación que relaciona el desplazamiento y la velocidad angular con el tiempo es: 𝜔=

∆𝜃 ∆𝑡

Donde: ∆𝜃 = 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 ∆𝑡 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

16

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

Movimiento circular uniformemente variado (MCUV) En el MCUV, la aceleración angular es constante, de manera análoga al MRUV, se pueden utilizar las siguientes ecuaciones: 𝜔𝑓 = 𝜔0 + 𝛼𝑡 1 ∆𝜃 = 𝜔0 𝑡 + 𝛼𝑡 2 𝜔𝑓 2 = 𝜔02 + 2𝛼 ∆𝜃 Donde: 𝜔0 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝜔𝑓 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝛼 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑡 = 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 ∆𝜃 = 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟

La velocidad tangencial de la partícula se calcula como: 𝑣=𝜔𝑟 Donde: 𝜔 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑟 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜

17

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

Para encontrar la aceleración de la partícula, primero debemos tomar en cuenta que, al ser un movimiento circular, el vector aceleración tiene 2 componentes, como se muestra en la figura 6.

FIGURA 6. COMPONENTES DE LA ACELERACIÓN EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR

El componente tangencial de la aceleración ( 𝑎𝑡 ) actúa siempre tangente a la trayectoria, igual que la velocidad, y representa el cambio en la magnitud de la velocidad. La aceleración tangencial se puede calcular como: 𝑎𝑡 = 𝛼 𝑟 Donde: 𝛼 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙 𝑟 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜

18

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

El componente normal de la aceleración (𝑎𝑛 ), representa el cambio en la dirección de la velocidad. La dirección de la aceleración normal es siempre hacia el centro de la trayectoria, por esta razón, esta aceleración es también conocida como aceleración centrípeta. La aceleración normal se puede calcular como: 𝑎𝑛 = 𝜔2 𝑟

Donde: 𝜔 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑟 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜

19

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

1.5. Ejercicios resueltos MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME 1. Un estudiante de la ESPE sale de caminata hacia las montañas y cuando se encuentra entre 2 de ellas emite un grito, recibiendo el primer eco después de 4 segundos y el segundo eco después de 6seg. Determine la distancia de separación de las 2 montañas. Tome en cuenta que la velocidad del sonido es 343.2 𝑚/𝑠. Solución: El tiempo que demora en escucharse el eco está determinado por el tiempo de ida y tiempo de regreso, tal como se observa en el siguiente gráfico:

Como la velocidad del sonido es constante, se emplea la ecuación de MRU: 𝑑 =𝑣𝑡 𝑑1 = 𝑣𝑠

𝑡1 2

𝑑1 = 343,2 (2) 𝑑1 = 686,4 m

20

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

𝑑2 = 𝑣𝑠

𝑡2 2

𝑑2 = 343,2 (3) 𝑑2 = 1029,6 m 𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑑1 + 𝑑2 𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1716 𝑚

2. Un coche sale en línea recta desde punto A con una velocidad de 80 km/h. Dos horas más tarde sale del mismo punto y en la misma dirección una moto con una velocidad de 100 km/h ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrase? ¿En qué posición lo harán? Solución: La distancia recorrida por el carro es: 𝑑𝑐 = 80𝑡

La distancia recorrida por la moto es: 𝑑𝑚 = 100(𝑡 − 2)

𝑑𝑚 = 100𝑡 − 200 Si igualamos las distancias podemos encontrar el tiempo: 80 𝑡 = 100 𝑡 − 200 𝑡 = 10ℎ

21

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

La distancia a la que se encuentran entonces es: 𝑑𝑐 = 80𝑡 = 800 𝑘𝑚

3. Un motociclista viaja de una ciudad A hasta una ciudad B con una velocidad uniforme de 55 𝑘𝑚/ℎ. A las 7 de la mañana está en B que dista 220𝑘𝑚 de A. ¿A qué hora partió de A? ¿A qué distancia de B estará al medio día si prosigue el viaje? Solución: Se sabe que la velocidad se mantiene durante todo el recorrido del motociclista, por tanto, la velocidad de 55 𝑘𝑚/ℎ es constante y podemos la fórmula del movimiento rectilíneo uniforme.

t=

𝑣=

d t

t=

d 𝑣

220 = 4ℎ 55

Si llegó a B a las 7am y le tomó 4 horas llegar, entonces partió de A a las 3 am. Desde las 7 am hasta el mediodía hay 5 horas, entonces, la distancia a la que estará de B si prosigue el viaje es: d=vt d = (55)(5) = 275 𝑘𝑚

22

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS

Tema # 2

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 4. Un automóvil que se desplaza con velocidad constante frena durante 25 s y recorre 400 m hasta detenerse. ¿Qué velocidad tenía el automóvil antes de aplicar los frenos? ¿Qué desaceleración produjeron los frenos? Solución: La velocidad final del automóvil es cero, por lo tanto: 𝑣𝑓2 = 𝑣02 + 2𝑎𝑑 0 = 𝑣02 + 2𝑎(400) 𝑣02 = 800𝑎

(1)

𝑣𝑓 = 𝑣0 + 𝑎𝑡 0 = 𝑣0 + 25𝑎

(2)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), tenemos que: 𝑣0 = 25𝑚/𝑠 𝑎 = −1.28𝑚/𝑠 2

5. Un motociclista detenido en una esquina arranca con una aceleración constante de 0.003 m/s2. En ese momento, un automóvil que viaja con una velocidad constante de 70 km/h lo pasa y sigue. ¿Cuánto tarda el motociclista en alcanzar al automóvil? ¿A qué distancia de la esquina ocurre esto? Solución:

23

CURSO ...