Criterio DE Primera Y Segunda Derivada Multivariable PDF

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CRITERIO DE PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA MULTIVARIABLE Criterio de la primera derivada multivariable El requisito de que �(x) sea continua y diferenciable, pues si no fuera continua, un punto solitario de discontinuidad podría ser un máximo local. En general, los máximos y mínimos locales de una función �(x) se estudian al examinar los valores de entrada �1 para los cuales �´(�1 ) = 0. Esto es porque siempre que la función sea continua y diferenciable, la recta tangente en máximos y mínimos se hará horizontal, es decir tendrá pendiente 0. Ahora bien, cuando una función es continua, diferenciable y multivariable, en un máximo o en un mínimo todas las derivadas parciales deber ser 0, es decir: ∂ f (x , y , z …) =0 ∂x ∂ f (x , y , z …) =0 ∂y ∂ f (x , y , z …) =0 ∂z Cuando se dice que todas las derivadas parciales son cero es lo mismo que decir que el gradiente en ese punto es el vector cero, es decir:

⟨

∂ f (x , y , z …) ∂ f ( x , y , z …) ∂ f (x , y , z …) , , ∂x ∂y ∂z ∇f (x , y , z )= ⟨ 0,0,0 ⟩ ∇f (x , y , z )=

⟩

Criterios de la segunda derivada El criterio de la segunda derivada parcial ayuda a verificar si este punto crítico es un máximo o mínimo locales, o un punto de silla, partiendo del cálculo del determinante del Hessiano como se muestra a continuación: Para dos variables.

[

d 2 f (x , y) d x2 Det ( H ( f ( x , y ) ) ) = 2 d f (x , y) dxdy

d 2 f (x , y ) dxdy

](

)(

)(

d 2 f (x , y ) d 2 f (x , y ) d 2 f (x , y ) = ∗ − dxdy d 2 f (x , y ) d x2 d y2 2 dy

)(

d 2 f (x , y) dxdy

Para una función dada:

[

]

f xx (x , y ) f yx (x , y) =f xx ( x , y )∗f yy ( x, y )−f yx ( x, y )∗f xy (x , y ) f xy (x , y ) f yy (x , y) Para emplear este método es necesario tener un punto � que se sustituya en el Hessiano. Entonces, el criterio de la segunda derivada parcial consiste en: Det ( H ( f ( x , y ) ) ) =

)

Si Det � < 0, entonces (�, �) es un punto silla Si Det � > 0, entonces (�, �) es un punto máximo o mínimo y se considera lo siguiente: Si ��� (�, �) < 0. (�, �) es un punto máximo local. Si ��� (�0, �) > 0. (�, �) es un punto mínimo local. Si � = 0, entonces no se tiene información suficiente para determinarlo. Representación gráfica máximos, mínimos y punto silla

Bibliografía. K. Academy, «Criterio de la segunda derivada parcial,» 2020. [En línea]. Disponible: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/applications-ofmultivariablederivatives/optimizing-multivariable-functions/a/second-partialderivative-test. [Último acceso: 06 abril 2020]. Mora Flores,Walter. Cálculo en Varias Variables. 1ra ed, Escuela de Matemática, Instituto Tecnológico de Costa Rica. 2012. Ejercicio. El ejercicio de maximización no lineal f(x,y,z), cuya primera iteración se resolvió mediante sección aurea -terminar el algoritmo del método del gradiente para encontrar el punto máximo de dicha función f(x,y,z) �� �� ����� ������� (2,2,1) � �=1 2 2 2 f ( x , y , z ) =−3 x −2 xy−6 x −3 y −2 y−z

P (2,2,1) y S=1 ∂ f (x , y , z ) ∂ f (x , y, z) ∂ f (x , y , z ) , , ∇f = ∂x ∂y ∂z ∇f =⟨ (−6 x−2 y −6 ) , (−2 x −6 y−2 ) ,−2 z ⟩

⟨

⟩

∇f (P)=⟨ ( −6(2)−2(2 )− 6 ) , ( −2( 2)−6 ( 2)−2) ,−2(1)⟩ ∇f (P)= ⟨−22 ,−18 , −2 ⟩

|∇f |= √ (−22)2 +(−18)2 +(−2 )2

|∇f (P)|=28.49 56

v =¿−0.772049,−0.631676,−0.070186 > ¿

De donde, la función f(x, y, z) restringida a

P+t∗v queda:

g(t)=f ( x , y , z ) x =P x+t∗ v x y=P y+t∗v y z=P z+t∗v z

x=2+t∗−0.772049 y=2+t∗−0.631676 z=1+t∗−0.070186 2

g(x)=−3 (2+t∗−0.772049 ) −2(2+ t∗−0.772049 )(2+t∗−0.631676 )− 6(2+t∗−0.772049 )−3( 2+t∗− 0

g ( x )=−3.96059∗t +28.3552∗t−48.8646 2

T e n i e n d of u n c i ó nd eu n as o l av a r i a b l e , �, e n t o n c e ss el ea p l i c ae l mé t o d od el as e c c i ó nd o r a d a ( s e g u n d oe n f o q u e ) d el as i g u i e n t ema n e r a :

P(x,y,z) Y 2

X 2

Z 1

∇� x -22

y -18

z -2

‖∇ ∇ ∇‖ 28.4956137 Vector unitario -0.77205 -0.631676166 -0.070186241

Primera Iteración Determinación de la dirección de avance

x1

f(x1)

s

x3=x1+s

f(x3)

¿ f(x1) < f(x 3)?

0

-49

1

1

-24.4699

si

Ubicación

x1 0 1

f(x1) s x3=x1+s f(x3) -49 1 1 -24.4699 -24.4699 1.618123 2.618123 -1.57694

s= s/τ 1.618122977 2.61832197

x2=x3+s f(x 2) 2.618122977 -1.57694 5.236444947 -8.52033

f2≤f3 no si

Refinamiento

s 4.23677 2.61832 1.61812 1.00000 0.61800 0.38192 0.23603 0.14587 0.09015 0.05571 0.03443 0.02128 0.01315 0.00813 0.00502 0.00310 0.00192

x1 1.00000 2.61812 4.23625 3.23625 3.85425 3.47232 3.70835 3.56249 3.65263 3.61812 3.58374 3.60499 3.59692 3.58877 3.59186 3.59499 3.59381

f1 -24.46992 -1.57694 0.55002 1.68674 1.92041 2.13354 2.13838 2.18755 2.17708 2.18870 2.19089 2.19064 2.19116 2.19115 2.19122 2.19120 2.19122

x3 2.61812 3.61812 3.61812 3.61812 3.61812 3.61812 3.61812 3.61812 3.61812 3.59692 3.59692 3.59692 3.59186 3.59186 3.59381 3.59381 3.59305

f3 -1.57694 2.18870 2.18870 2.18870 2.18870 2.18870 2.18870 2.18870 2.18870 2.19116 2.19116 2.19116 2.19122 2.19122 2.19122 2.19122 2.19122

x2 5.23644 5.23644 2.61812 4.23625 3.23625 3.85425 3.47232 3.70835 3.56249 3.56249 3.61812 3.58374 3.58374 3.59692 3.59692 3.59186 3.59186

f2 -8.52033 -8.52033 -1.57694 0.55002 1.68674 1.92041 2.13354 2.13838 2.18755 2.18755 2.18870 2.19089 2.19089 2.19116 2.19116 2.19122 2.19122

t optima=3.59260 x nueva=P x+t optima∗v x y nueva=P y +t optima∗v y z nueva=P z+t optima∗v z

x nueva=2+3.59260∗−0.772049 y nueva=2+3.59260∗−0.631676 z nueva=1+3.59260 85∗−0.070186

x y z

Nuevas -0.773663444 -0.269360999 0.747848778

x4 3.61812 4.23625 3.23625 3.85425 3.47232 3.70835 3.56249 3.65263 3.59692 3.58374 3.60499 3.59186 3.58877 3.59381 3.59499 3.59305 3.59260

f4 2.18870 0.55002 1.68674 1.92041 2.13354 2.13838 2.18755 2.17708 2.19116 2.19089 2.19064 2.19122 2.19115 2.19122 2.19120 2.19122 2.19122

f3...