Criterio DE LA Primera Y Segunda Derivada PDF

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ANALISIS MATEMATICO 1

CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA f (x) 

x2  x  2 x2  6 x  9

1) Determinar los máximos y mínimos de la función Solución: (2 x−1 ) ( x 2−6 x + 9 ) −( x 2−x +2 )(2 x−6) Hallando los puntos críticos: f´(x)= =0 2 ( x 2−6 x +9 ) −5 x 2 + 14 x + 3

=0

( x2 −6 x+ 9 )

2

−(5 x+1)( x−3 ) =0 ( x−3 )4 (5 x+1) =0 (x −3)

restricción: x-3 ≠ 0

entonces x ≠ 3

Asíntota x=3 5x+1=0

entonces x=-1/5=-0,2

Para hallar el valor max o min debo aplicar f´´ f ´ ( x )=

−5 x2 +14 x + 3 2 ( x 2−6 x +9)

( −10 x+14 ) ( x2 −6 x+9 ) − (−5 x 2 + 14 x + 3 ) 2 ( x2−6 x+9 ) (2 x−6) 2

f ´ ´ ( x )=

( x 2−6 x +9 )

4

Reemplazamos x=-0.2 en f´´(-0,2)=0,325>0 entonces es ∪ (hay valor mínimo) f (x) 

Ahora reemplazamos x=-0,2 en f(-0,2) =0,219

x2  x  2 x2  6 x  9

(El valor mínimo 0,219 )

El punto mínimo P( -0,2 ; 0,219 )

Puntos de inflexión: para hallar el punto de inflexión debemos igualar a cero la segunda derivada. UNIVERSIDAD CATOLICA SESES SAPIENTIAE

2020-I

ANALISIS MATEMATICO 1 2 2 2 ( −10 x+14 ) ( x −6 x+ 9 ) − ( −5 x + 14 x + 3 ) 2( x −6 x+9 ) (2 x−6) 2

f ´ ´ ( x )=

4

( x 2−6 x +9 )

=0

2 (−5 x+ 7 )(x−3)4 − (−5 x 2+14 x+3 ) 4 (x−3)3 =0 ( x−3 ) 8 2 (−5 x+7 )(x−3)− ( −5 x2 + 14 x + 3 ) 4 =0 5 ( x−3)

(−5 x+7 ) (x−3 )− (−5 x 2 + 14 x + 3 ) 2=0 x ≠ 3 2

5 x −6 x−27= 0

(5x+9)(x-3)=0 x=-9/5

x=3

En x= -9/5 hay punto de inflexión

f (x)  Reemplazamos X=-9/5 en la función

f (

2 x  x2 x2  6 x  9

9 ) 5 0,306

Entonces El punto de inflexión P(-9/5; 0,306)

-9/5

f´´(-2)< 0

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3

f´´(-0,2)>0

f´´(4)>0

2020-I

ANALISIS MATEMATICO 1

f (x) 

x2  x  2 x2  6 x  9

El punto mínimo P( -0,2 ; 0,219 ) El punto de inflexión P(-9/5; 0,306)

(-1,8 ; 0,31) (-0,2 ; 0,219)

3

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