Máximos y mínimos (Criterio 1ra y 2da derivada). PDF

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En este ensayo podrás ver una introducción de conceptos básicos para el criterio de la 1era y 2da derivada así como ejemplos de como hacerlo paso por paso y como determinar cuando es un máximo o un mínimo....

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Universidad Estatal de Sonora. Ing. Geociencias. Calculo diferencial e integral. Docente: Julio Grupo: 04 Tercer elemento de competencia. Proyecto: Máximos y mínimos (Criterio 1ra y 2da derivada).

Juan Francisco San Martin Carreón. 17020070045. Javier Velásquez Hernández. 17020070043

11/09/2020. 1

ÍNDICE.

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Portada.

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Índice.

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Introducción.

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Desarrollo teórico.

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Ejercicios de máximos y mínimos con el criterio de 1ra y 2da derivada.

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Conclusión.

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Bibliografías.

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INTRODUCCIÓN. Mediante el siguiente proyecto sobre máximos y mínimos elaborado para la materia de Cálculo diferencial e integral, se busca dar una explicación detallada sin dejar de lado que el tema sea fácilmente comprendido ante cualquier persona con conocimientos básicos de matemáticas. Dentro de este proyecto llevamos a cabo un pequeño glosario que nos servirá de manera introductoria al tema de máximos y mínimos y a tener una mejor percepción de lo que estamos tratando de comprender adjunto a esto nos dimos a la tarea de agregar una serie de ejercicios contestados donde se explica paso a paso el cómo elaborar de manera correcta los problemas de máximos y mínimos con el criterio de 1ra y 2da derivada.

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MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1.- ¿Qué es un máximo y un mínimo? Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), es el punto situado dentro de una curva o una región. Máximos: son los puntos más altos de una curva Mínimos: son los puntos más bajos de una curva

(+)  (-) (-)  (+)

Máximo relativo Mínimo relativo El Máximo relativo es aquel que va de Creciente a decreciente.

El Mínimo relativo es aquel que va de Decreciente a creciente.

2.- ¿Qué es un valor crítico? Es un término empleado en derivadas, y es aquel donde la derivada de una función es cero (por lo que la función no es diferenciable).

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CRITERIO DE LA 1ra Y 2da DERIVADA.

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1.- Criterio de la primera derivada: Este es aquel que sirve para determinar los máximos y mínimos relativos de una función Y´= F(x) donde tenemos a la variable ¨X¨ como la independiente y a la variable Y´ como la variable dependiente. Para esto tendremos que seguir una serie de pasos como: Encontrar la derivada de nuestra función Y´= F(x). Proceder a hallar el valor crítico de X. Determinar el cambio de signo de la derivada al pasar por los calores críticos de x.

2.- Criterio de la segunda derivada: Este criterio es otra forma de analizar en una función la existencia de máximos o mínimos relativos. Este criterio se caracteriza por usar la segunda derivada de la función Y´=F(X)´ y para ello tendremos que seguir la siguiente serie de pasos: Encontrar la primera y segunda derivada de nuestra función Y´=F(X)´. Encontrar los valores críticos de X que anúlenla primera derivada. Calcular el valor de la segunda derivada para cada valor crítico.

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Ejercicios y explicaciones. Ejemplo: f(x)= x3 - 3x + 2

Solución PASO 1 Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada: f(x)= x3 - 3x + 2 f´(x)= 3x2 – 3 f´´(x)= 6x Ahora encontremos los puntos críticos X a través de la solución de la ecuación f´(x)= 0 (primera derivada), es decir f´(x)= 3x2 – 3 = 0. PASO 2.1 Despejamos X X2 = 3/3 PASO 2.2 Igualamos a 1 X2 = 1 PASO 2.3 Cancelamos el cuadrado de la X colocando una raíz y resolvemos X= ±1 Las soluciones de esta ecuación son x1 = 1, x2 = -1.

PASO 3 Criterio de la segunda derivada Finalmente se evalúa f´´(x) (segunda derivada) en los puntos críticos X y determinar si f´´(x) ≥ 0 o f´´(x) ≤ 0. Tenemos entonces que, f´´(x1)= 6x1 = 6(1) = 6 ≥ 0 f´´(x2)= 6x2 = 6(-1) = 6 ≤ 0 6

PASÓ 4 Entonces por el criterio de la segunda derivada, la función f(x) tiene un mínimo local en x = 1 y un máximo local en x = -1. Los valores correspondientes de la función son: f(1)= (1)3 - 3(1) + 2 = 0 f(-1)= (-1)3 - 3(-1) + 2 = 4

Ejemplo 2 f(x)= 3x – x3 Solución PASO 1 Comenzamos por encontrar la primera y la segunda derivada de la función dada: f(x)= 3x – x3 f´(x)= 3 – 3x2 f´´(x)= -6x PASÓ 2 Ahora encontremos los puntos críticos x a través de la solución (o soluciones) de la ecuación f´(x)= 0, es decir 3 – 3x2 = 0. PASO 2.1 Despejamos X X2 = 3/3 PASO 2.2 Igualamos a 1. X2 = 1 PASO 2.3 Cancelamos el cuadrado de la X colocando una raíz y resolvemos X= ±1

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Las soluciones de esta ecuación son x1 = 1, x2 = -1 PASO 3 Criterio de la segunda derivada Finalmente se evalúa f(x) de la segunda derivada en los puntos críticos x y determinar si f´´(x) ≥ 0 o f´´(x) ≤ 0. Tenemos entonces que f´´(x1)= -6x1 = -6(1) = -6 ≥ 0 f´´(x2)= -6x2 = -6(-1) = 6 ≤ 0 PASO 4 Sustituimos los valores de X con los valores anteriormente obtenidos X=1 y X=-1, Solucionamos nuestro problema y dichos resultados serán nuestros máximos y mínimos f(1) = 3(1) - (1)3 = 3 f(-1) = 3(-1) - (-1)3 = -3

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Conclusión. Mediante la elavorada explicación del anterior trabajo podemos concluir con la conclusión de que el contenido es apto para una introducción al tema de máximos y mínimos utilizando el criterio de la primera y segunda deriva para cálculo diferencial e integral ya que este cuenta con una pequeña introducción resumida y específicamente seleccionada para de una manera resumida mostrar al lector una descripción de los conceptos más importantes vistos en este mismo y una elaboración detallada de la imagen que utilizamos como recurso de apoyo para que las personas refuercen su entendimiento y añadido a todo esto una serie de ejercicios explicados detalladamente para que las personas puedan orientarse más dentro del tema al estar elaborando sus propios ejercicios sin necesidad de olvidar un paso o no entender como realizarlo.

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Bibliografías.

Rivera Figueroa, A., 2017. Cálculo Diferencial. Fundamentos, Aplicaciones Y Notas Históricas. 1st ed. se: Grupo Editorial Patria S.A. de C.V., p.523.

canlss, i., 2018. Calculo Diferencia. 1st ed. fa: Reverté, p.458.

johana martinez. (2010). Máximos y mínimos. 02/12/2010, de facultad de ingenieria MOV Sitio web: https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/maximos-minimos

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