CUADERNO DE TRABAJO 2016 (1) PDF

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CUADERN0 DE TRABAJO DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS EMPRESAS II ACADEMIA DE ESTADÍSTICA PRESENTACIÓN Considerando la activa participación en la estadístico, empero, dadas las limitaciones Academia de Estadística, así como la de los estudiantes para adquirir el software, oportunidad de atender a un gr...

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CUADERN0 DE TRABAJO DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS EMPRESAS II ACADEMIA DE ESTADÍSTICA

PRESENTACIÓN

Considerando la activa participación en la Academia de Estadística, así como la oportunidad de atender a un grupo diversificado de estudiantes, pues el curso de Estadística Aplicada a las Empresas II está considerado dentro de los básicos de la facultad, se pretende incidir más allá de los contenidos del programa, contribuyendo a que el estudiante logre las competencias necesarias y deseables para una práctica profesional y que se vean reflejadas en el EGEL; así, en la academia se ha considerado realizar algunos cambios en los materiales de trabajo, entre ellos este cuaderno de trabajo, para lo cual se ha considerado que: a) Cada tema estadístico detarse en un contexto aplicado relacionado por lo menos con una de estas áreas funcionales: contabilidad, economía, finanzas, sistemas de información, administración, etc.

estadístico, empero, dadas las limitaciones de los estudiantes para adquirir el software, sin caer en las copias sin licencia (estaríamos fomentando un acto ilícito), se tiene que recurrir al uso de las hojas de cálculo de Excel que representan una alternativa bastante didáctica para la comprensión de los temas, sin dejar de lado la posibilidad de mostrarle el empleo del SPSS. d) Dadas las condiciones anteriores, los estudiantes requieren de suficiente guía para usar el software, por lo que debe de existir una complementariedad entre los contenidos del cuaderno de trabajo y el Manual de prácticas para Estadística Aplicada a las Empresas II.

b) Es necesario que encada tema el enfoque de la enseñanza debe partir de su aplicación a la administración y la interpretación de sus resultados. c) Los estudiantes deben familiarizarse con el software que se usa en el mundo de los negocios. De suyo, los ejercicios a realizar deben de integrar su posible solución en el software estadístico para tal fin. Es cierto que lo ideal sería trabajar en un software

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CUADERN0 DE TRABAJO DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS EMPRESAS II ACADEMIA DE ESTADÍSTICA e) Finalmente, los estudiantes requieren de suficiente práctica y variedad, en clase y los ejercicios, para comprender como la estadística es una herramienta para la solución de problemas en la administración. Para ello es recomendable que los ejemplos y ejercicios incluyan datos actualizados o reales tanto como sea posible; así como deben trabajar con conjuntos de datos, tanto pequeños como grandes, y ser animados a ver más allá del análisis estadístico de los datos para interpretar los resultados en un contexto administrativo. Con respecto a lo anterior, también se ha considerado que la cantidad, la mayoría de las veces sobrepasa la calidad, por lo cual se ha disminuido el número de ejercicios; esto ha obligado a realizar una selección de aquellos que implican un proceso integral y cuya solución implique una respuesta o toma de decisión. Por lo que se han renovado todos los ejercicios, considerando la actualización de la bibliografía en la cual se han sustentado, que aparecen al final del documento, y el trabajo de estos a partir de bases de datos reales. Esta nueva edición de cuaderno de trabajo, al igual que la versión anterior, ha sido alineado con la Antología de Casos Estadísticos y el Manual de Prácticas, ya mencionado anteriormente.

manteniendo el carácter secuencial y complementario con el curso de Estadística Aplicada a las Empresas I que contempla los temas de estadística descriptiva, mientras que en Estadística Aplicada a las Empresas II se encuentra integrados los contenidos propios de la estadística inferencial. Por último, la estructura original también se mantuvo: lectura, ejercicios resueltos y concluye con los ejercicios de autoaprendizaje, que los estudiantes realizarán de manera independiente en cada una de las tres unidades que integran el programa del curso: I) Distribuciones Muestrales y Estimaciones por Intervalo; 2) Prueba de Hipótesis y el Análisis de Varianza, ANOVA; finalmente,3) Análisis de Regresión y Correlación; En una primera sección tenemos el material. Cada ejercicio está compuesto, dependiendo de la complejidad del tema, de varios sub-ejercicios resueltos y de autoaprendizaje. Es prudente señalar que el material que aquí se presenta, y que incluye los resultados correctos de cada uno de los ejercicios, se encuentra también disponible para el estudiante en la Plataforma Moodle: www.zalthen.com/moodle25/ LOS AUTORES

Hay que señalar que en este documento se conservó aquel material del cuaderno de trabajo predecesor, que se consideró pertinente mantener dados los aciertos en su elección, aunque se ha eliminado una gran cantidad de material con el objeto de hacerlo más manejable. También se sigue

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OBJETIVOS Con este documento se pretende que el estudiante tenga un material de apoyo acorde con el programa de Estadística Aplicada a las Empresas II, último de dos cursos que llevarán todos los estudiantes de la Facultad de Ciencias Económicas Administrativas de la Universidad Autónoma del Carmen.

Este texto le brinda definiciones, conceptualizaciones y la explicación de un conjunto de problemas aplicados, afines a su área de estudio.

El desarrollo del documento fue diseñado para proporcionar no sólo una revisión de la base teórica, sino su aplicación a través de un conjunto de ejercicios que le permitan alcanzar los siguientes objetivos:

• El manejo de conceptos estadísticos y la utilización de las medidas estadísticas, que permiten realizar inferencias de una población por medio de análisis estadísticos.

• Probar hipótesis estadísticas, en base a estadísticos obtenidos de muestras probabilísticas comunes a problemas del área económica-administrativa.

• Plantear, resolver e interpretar situaciones que necesiten métodos estadísticosprobabilísticas para la solución de problemas reales, logrando con ello un aprendizaje significativo a través de su resolución. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS ADMINISTRATIVAS

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TEMA I CUADERN0 DE TRABAJO DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS EMPRESAS II

ESTIMACIÓN DE INTERVALO

Y

DISTRIBUCIONES MUESTRALES

ACADEMIA DE ESTADÍSTICA

TEMA I

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DISTRIBUCIÓN MUESTRAL Y ESTIMACIÓN POR INTERVALO DE CONFIANZA DISTRIBUCIÓN NORMAL O CAMPANA DE GAUSS-LAPLACE Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana. En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en "forma de campana". En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal       

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, p.ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,... Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma cantidad de abono. Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen. Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio. Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media. Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales.

Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN 

  





Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal. Esta distribución de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución: Puede tomar cualquier valor (- , + ). Esta distribución viene definida por dos parámetros:

 es

X: N ( 2) el valor medio de la distribución y es precisamente donde se sitúa el centro de la curva (de la campana de Gauss).

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    

 2 : es la varianza. Indica si los valores están más o menos alejados del valor central: si la varianza es baja los valores están próximos a la media; si es alta, entonces los valores están muy dispersos. Son más probables los valores cercanos a media µ. Conforme nos separamos de µ, la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simétrica). Un 50% de los valores están a la derecha de este valor central y otro 50% a la izquierda Conforme nos separamos de ese valor µ, la probabilidad va decreciendo de forma más o menos rápida dependiendo de σ, que es la desviación típica.

TIPIFICACIÓN O ESTANDARIZACIÓN Cuando la media de la distribución es 0 y la varianza es 1se denomina "normal tipificada", y su ventaja reside en que hay tablas donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribución. Además, toda distribución normal se puede transformar en una normal tipificada: A la variable Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad curva normal tipificada. Con la curva normal tipificada se pueden ubicar las áreas bajo la curva usando la tabla de la distribución Z (Antología de Tablas estadísticas, pág. 25). REFERENCIA BIBLIOGRAFICA: BLACK, KEN (2005). ESTADÍSTICA EN LOS NEGOCIOS. E DIT . CECSA. MÉXICO. P ÁGS. 55-60

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TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL El Teorema del Límite Central dice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribución (cualquiera que éste sea), la suma de ellas se distribuye según una distribución normal.



Si los parámetros de la distribución normal son:  

Media: n * (media de la variable individual multiplicada por el número de variables independientes)

Varianza: n *  (varianza de la variable individual multiplicada por el número de variables individuales) 2

Este teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables continuas. Si se seleccionan muestras aleatorias de n observaciones de una población con media � y desviación estándar � , entonces, cuando n es grande, la distribución muestral de medias tendrá aproximadamente una distribución normal con una media igual a

� y una desviación estándar de √� . La

aproximación será cada vez más exacta a medida de que n sea cada vez mayor.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL Ejemplo. Se quiere determinar la distribución muestral de los ingresos de 4 estudiantes que trabajaron en el periodo de vacaciones. Los ingresos que percibieron fueron de $1,000.00, $2,000.00, $3,000.00 y $4,000.00 respectivamente. Entonces tenemos que: Población: N= 4 ingresos para estudiantes universitarios X1= 1,000 X2 = 2,000 X3 = 3,000

Para disminuir esfuerzo se selecciona una muestra de n=2 para estimar  (parámetro desconocido).

X4 = 4,000

Ingreso promedio   2,500.00

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Muestra

Elementos muestrales Xi

Medias muestrales X

(X1,X2)

1

1000,2000

1500

(X1,X3)

2

1000,3000

2000

(X1,X4)

3

1000,4000

2500

(X2,X3)

4

2000,3000

2500

(X2,X4)

5

2000,4000

3000

(X3,X4)

6

3000,4000

3500

La probabilidad de seleccionar una muestra que de igual a   2,500.00 es de: 2/6 = 33.33% Cuatro de las 6 muestras resultaron con algún error en el proceso de estimación: Error de muestreo=  = (   X )

Error de muestreo: la diferencia entre el parámetro poblacional y el estadístico de la muestra utilizado para estimar el parámetro.

Seleccionando la muestra 2

(1000, 3000) 

X = 2,000

Ya que N=4, tenemos que la distribución muestral es: TABLA PARA EL CALCULO DE LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL INGRESO PROMEDIO Media muestral

X 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500

Frecuencia de

X 1 1 2 1 1

Probabilidad de P(

X

)

1/6 1/6 2/6 1/6 1/6 6/6 = 1

X

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL Es el listado de todos los valores posibles para un estadístico y la probabilidad relacionada con cada valor.

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CUADERN0 DE TRABAJO DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS EMPRESAS II ACADEMIA DE ESTADÍSTICA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DEL INGRESO PROMEDIO

HISTOGRAMA DE INGRESO PROMEDIO

PROBABILIDAD

1/3

Media muestral

Probabilidad de

X 1/6

1/6

1500

2000

2500

1/6

1/6

3000

3500

P(

1,500 2,000 2,500 3,000 3,500

X

X

)

1/6 1/6 2/6 1/6 1/6 6/6 = 1

MEDIA MUESTRAL

LA MEDIA DE LAS MEDIAS MUESTRALES Media de las medias muestrales: GRAN MEDIA = ̿ (doble barra)

̿=

X K

K= Número de muestras en la distribución muestral

̿=

1500+2000+ 2500∗2 +3000+3500 6 ̿=

=2,500

 =2,500.00

La media de la distribución muestral es igual a la media poblacional.

LA VARIANZA Y EL ERROR ESTÁNDAR DE LAS MEDIAS MUESTRALES

� =

−

+

−

+[

−

∗ ]+

 X2  416, 666.67 pesos 2

Error estándar de la distribución muestral =  x =

 x = 416,666.67 = 645.50 pesos

Error estándar

+

−

−

=

 X2

 x mide la tendencia a sufrir del error de muestreo en el esfuerzo por estimar  .

 ADMINISTRATIVAS  FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS  X2   x  n n 2

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CUADERN0 DE TRABAJO DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS EMPRESAS II ACADEMIA DE ESTADÍSTICA Para lo cual se tiene que comprobar que: n > 0.05 N

Si el muestreo es sin reemplazo y si el tamaño de la muestra es más del 5% de la población, se tendrá que aplicar el “factor de corrección poblacional” (fcp). = √

DIAGRAMA DE FLUJO

− −

El diagrama de flujo resume las decisiones que deben tomarse cuando se calcula el valor del error estándar: DIAGRAMA DE FLUJO PARA EL TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

¿Es N20n?

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS La distribución normal, es una distribución continua, en forma de campana en donde la media, la mediana y la moda tienen un mismo valor y es simétrica. Con esta distribución podíamos calcular la probabilidad de algún evento relacionado con la variable aleatoria, mediante la siguiente fórmula:

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=

− � �

En donde Z es una variable estandarizada con media igual a cero y varianza igual a uno. Con esta fórmula se pueden a hacer los cálculos de probabilidad para cualquier ejercicio, utilizando la tabla de la distribución Z (Antología de Tablas estadísticas). Sabemos que cuando se extraen muestras de tamaño mayor a 30 (grandes) o bien de cualquier tamaño de una población normal, la distribución muestral de medias tiene un comportamiento aproximadamente normal, por lo que se puede utilizar la fórmula de la distribución normal con

X = µ y � = � , entonces la fórmula para calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico, en este caso la media de la muestra, quedaría de la siguiente manera:

̅− � = � √

Y para poblaciones finitas y muestro con reemplazo:

=

̅− �

� √ − − √

Ejercicio Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.

=800 hrs = 40 hrs ̅ <

=

−

√

= − .

Si Z= -2.5 0.4938

= .

0.0062

̅ =775

=800

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CUADERN0 DE TRABAJO DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS EMPRESAS II ACADEMIA DE ESTADÍSTICA Ejercicio. Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine:  

El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros. El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

Solución: Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección. Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso.

=174.5cms

√

= 6.9cms

.

− −

√

= .

a.

=

̅ −�

� �−� √ √� �−

. −

=

.

�

.

= − .

. < ̅ <

.

=

. − .

.

=

.

= .

Respuesta: (0.7607)(200)=152 medias muestrales

b.

Si Z= -1.83 el área es 0.00336

Respuesta: (0.0336)(200)= 7 medias muestrales

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DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES Existen ocasiones en las cuales no estamos interesados en la media de la muestra, sino que queremos investigar la proporción de artículos defectuosos o la proporción de alumnos reprobados en la muestra. La distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a estas situaciones. Esta distribución ...