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ESTATÍSTICA APLICADA

11. Medidas de Tendência Central ou Medidas de Posição - Contínuos

12. Média Aritmética ( x ) 12.2 Dados Agrupados 12.2.2 Com Intervalos de Classe Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de frequência, usaremos a média aritmética dos valores x1 , x 2 , . .. , x n , ponderados pelas respectivas frequências absolutas:

∑x ∑

i

f1 , f 2 , . .. , f n . Assim: x

. fi fi

Agora quando existir uma tabela com dados contínuos, vamos primeiro encontrar o ponto médio x. j dos extremos do intervalo de cada classe e depois multiplica-lo pelas respectivas frequências. Determinando assim a média aritmética ponderada por meio da fórmula:

x

∑

x. j . f i . ∑ fi s

Sendo o ponto médio: x . j

 x. j  Onde:  l s  li

i 2

ponto médio ( ou média aritmética dos extremos ) Limite Superior Limite Inferior

Veja o exemplo a seguir:

Xi

fi

x. j

x j . fi

0

10

8

5

40

10

20

9

15

135

20

30

17

25

425

30

40

13

35

455

40

50

4

45

180

∑

51

1.235

Prof. Mirtênio

ESTATÍSTICA APLICADA

Feito o preenchimento da tabela para encontrarmos a média, deveremos substituir os valores das somatórias de cada coluna na fórmula abaixo: s i 0 10 ⇒ x. j x. j Ponto médio da 1ª classe x. j 5 2 2 s i 10 20 ⇒ x. j x. j Ponto médio da 2ª classe x. j 15 ou a partir 2 2 da 2ª classe soma-se o ponto médio da classe anterior com o intervalo de classe. E assim por diante... x

∑

x. j . f i

∑

fi

⇒ x

1.235 51

⇒

x

24,21

12.3 Emprego da Média A média é utilizada quando: a) desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade; b) houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior.

13. Mediana ( M d )

13.2.2 Com Intervalos de Classe

Está diretamente associada à ordenação e a posição ocupada pelos elementos do conjunto. A mediana é: "o termo central de uma seqüência de números colocados em ordem (crescente ou decrescente)". A mediana é o elemento que divide a distribuição em duas partes iguais (em quantidades). Classe mediana é aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a f 2

i

, que chamaremos de P.

Em seguida, emprega-se a fórmula:

M

d

li

h. P f ac, a fi

Para encontrar a mediana seguiremos os seguintes passos:

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1º Passo: Encontraremos a Posição representada pela letra P, onde representamos pela fórmula: N ∑ fi; P ou P 2 2

2º Passo: Localizamos o valor de P na frequência acumulada para baixo fac

;

3º Passo: E por último, já localizada a classe mediana, substituiremos os dados da tabela na fórmula: h. P f ac , a Veja a nomenclatura utilizada na fórmula: M d li fi Md Mediana Limite inferior da classe que contém o valor P

li h f ac ,a

fi P

Intervalo de classe Frequência acumulada anterior à frequência acumulada determinada pelo cálculo de P Frequência de classe que foi localizada através do valor de P. Localização do valor que está no meio da distribuição

Resumo: Para se encontrar a Mediana, encontramos primeiro a Posição (observando a frequência acumulada para baixo), depois é só substituir os dados na fórmula, já conhecendo a classe onde se encontra a mediana. Exemplo 1: Dadas as tabelas abaixo, calcule a mediana:

Xi

fi

b)

fac

Xi

fi

f ac

0

10

13

13

0

10

9

9

10

20

27

40

10

20

17

26

fac ,a

20

30

41

81

f ac, a

20

30

20

46

30

40

38

119

←P

30

←P

40

13

59

40

50

21

140

40

50

10

69

50

60

27

167

50

60

9

78

60

70

8

86

167

∑

∑

86

No exemplo a) Encontramos a posição P na frequência acumulada para baixo fac P

∑ 2

fi

⇒ P

167 ⇒ P 2

, veja:

83,5 , e logo em seguida substituímos na fórmula da

mediana: Prof. Mirtênio

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M

d

h. P

li

f ac, a fi

⇒ M

d

30

10 . 83,5 38

81

⇒

M

d

30,65

, veja:

Já no exemplo b) Encontramos a posição P na frequência acumulada para baixo fac

∑

P

M

fi

d

86 ⇒ P 2

⇒ P

2

h. P

li

f ac, a fi

43 ; e substituímos na fórmula da mediana:

⇒ M

d

20

10 . 43 26 20

⇒

M

28,5

d

Exemplo 2: Calcule a mediana da seguinte distribuição:

1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª

fi

Xi

CLASSES

100 110 120 130 140 150 160

∑

f ac

1 4 6 8 5 4 2

110 120 130 140 150 160 170

Md

30

Tanto nos casos em que o total observado seja PAR como ÍMPAR, adotaremos sempre a sua fi 30 divisão por dois. No caso acima temos o valor de P: P ⇒ P P 15 . 2 2 A mediana será o 15º elemento da série. Observando a frequência acumulada, 19, concluímos que o 15º valor observado está contido na 4º classe 130 140, pois inclui desde o 12º até o 19º dado coletado. Então:

M

d

li

h. P

f ac, a fi

⇒

M

d

130

10 . 15 8

1

M

d

135

13.3 Emprego da Mediana A mediana é utilizada quando: a) desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais; b) há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média; c) a variável em estudo é salário.

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14. Moda ( M o ) 14.2.2 Com Intervalos de Classe

A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta. s i Temos, então o ponto médio da moda bruta: M o 2

 Mo  Onde:  l s  li

ponto médio da mod a bruta Limite Superior Limite Inferior

Xi

⇒

fi

0

10

6

10

20

10

20

30

11

30

40

8

40

50

5

40

∑

Para determinação da moda bruta, encontramos na 3ª classe, com a frequência máxima 11, s i 30 20 utilizando a seguinte fórmula já apresentada acima: M o 25 ⇒ Mo ⇒ Mo 2 2 OBS.: Há, para o cálculo da MODA, outros métodos mais elaborados, como, por exemplo:

M

a ) Processo de Czuber:

b ) Processo de King: c ) Relação de Pearson:

M M

o

o

h. f m

li

o

li 3. M d

. fm h . fp fa

fp

fa fa

fp

ou

M

o

ls

h .f a fa f p

2.x Prof. Mirtênio

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Veja a nomenclatura utilizada na fórmula: Mo Moda h fm

Limite inferior da classe modal, aquela que contém a maior frequência. Intervalo de classe Frequência máxima ou a maior frequência.

fa fp

Frequência anterior à Frequência máxima. Frequência posterior à Frequência máxima.

Md

Mediana.

x

Média aritmética, utilizada pelo processo longo.

li

No exemplo anterior (Classe Modal 20

Xi

⇒

fi

x. j

x. j . fi

10

6

5

30

6

10

20

10

15

150

16

f ac, a

20

30

11

25

275

27

←P

30

40

8

35

280

35

40

50

5

45

225

40

40

a ) Processo de Czuber:

M

b ) Processo de King:

M

o

c ) Relação de Pearson:

M

o

∑

P

fi

d

h. P

li

∑

fi

x. j . f i

∑ o

f ac , a

3. M d

fi 2. x

24,44

22,5

ou

M

o

30

10 . 10 10 8

24, 4

2. x

20

x

M

10 . 11 10 2.11 10 8

10 . 8 10 8

3. M d

⇒ Md

⇒ ⇒

20

o

20

40 ⇒ P 2

⇒ P

2

x

M

f ac

0

∑ ∑

M

30)

o

20

960 40 3 . 23,64

10 . 20 16 11

⇒

x

2 . 24

⇒

Md

23,64

24 ⇒

M

o

70,91

48

M

o

22,91

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14.2.3 Representação Gráfica da Moda (Dados Contínuos) Esta representação gráfica é para os dados contínuos, a coluna maior representa o valor que surge com maior frequência.

14.3 Emprego da Moda A moda é utilizada quando: a) desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição; b) a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição;

15. Posição Relativa da Média, Mediana e Moda Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas coincidem. Porém a assimetria torna-as diferentes e essa diferença é tanto maior quanto maior é a assimetria. Assim, em uma distribuição em forma de sino, temos:

x

M

Mo x

d

Md M

d

M , no caso da curva simétrica. o x , no caso da curva assimétrica positiva M , no caso da curva assimétrica negativa o

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