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Aplicaciones de EDO de primer ordenEjercicios :Elguera Loyola jerzy kennedyUna solución de ácido nítrico entra a una razón constante de 6 l/min en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 200 litros de una solución de ácido nítrico al 0,5 %. La solución dentro del tanque se mantiene bie...

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Aplicaciones de EDO de primer orden Ejercicios : Elguera Loyola jerzy kennedy Una solución de ácido nítrico entra a una razón constante de 6 l/min en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 200 litros de una solución de ácido nítrico al 0,5 %. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque a razón de 8 l/min. Si la solución que entra en el tanque tiene ácido nítrico al 20 %, determinar el volumen de ácido nítrico en el tanque después de t minutos. Solución: . Sea V (t) el volumen de ácido nítrico en el tanque en cada instante de tiempo t. En problemas de esta clase la rapidez neta con que V (t) cambia está dada por 𝑑𝑉 𝑑𝑡

= 𝑅1 + 𝑅2 …… .(1)

Donde 𝑅1 es la rapidez de entrada y 𝑅2 la rapidez de salida. Primero debemos determinar la rapidez con que el ácido nítrico entra al tanque; sabemos que la solución entra a una razón constante de 6 l/min. La solución que entra en el tanque tiene ácido nítrico al 20 % y la concentración es 20/ 100, con lo que concluimos que la rapidez de entrada en el tanque es 𝑅1 = 6

1 20 6 1 . = . 𝑚𝑖𝑛 100 5 𝑚𝑖𝑛

Ahora debemos determinar la rapidez de salida. La diferencia entre la razón de flujo de entrada y la razón de flujo de salida es 6 − 8 = −2 litros/minuto, de modo que el volumen de fluido en el tanque después de t minutos es (200 − 2t) litros. Por lo tanto, la rapidez con que el ácido nítrico sale del tanque es 𝑅2 = 8

1 𝑉(𝑡) 4𝑉 1 .[ ]= . 𝑚𝑖𝑛 200 − 2𝑡 100 − 𝑡 𝑚𝑖𝑛

En un principio el tanque contenía 200 litros de una solución de ácido nítrico al 0,5 %, 0,5

de modo que V (0) = 200 litros, es decir 𝑥200 = 1 litros. Al sustituir R1 y R2 en (1) 100 tenemos: 4𝑉 𝑑𝑉 6 = + , 𝑑𝑡 5 100 − 𝑡

𝑑𝑉 4𝑉 6 + = , 𝑑𝑡 100 − 𝑡 5

𝑉(0) = 11 … … … … … … . (2)

La ecuación (2) es lineal, con P(t) = 4 /100−t y Q(t) = 6 /5 , entonces podemos hallar el factor integrante sustituyendo en la fórmula (2.13):

𝜇(𝑡) = 𝑒 ∫ 4/(100−𝑡)𝑑𝑡 = 𝑒 −4ln(100−𝑡) = (100 − 𝑡)−4 Reemplazamos la fórmula (2.14):

𝑉(𝑡) =

1 6 [∫(100 − 𝑡)−4 𝑑𝑡 + 𝑐] −4 5 (100 − 𝑡)

𝑉(𝑡) =

1 2(100 − 𝑡)−3 [ + 𝑐] (100 − 𝑡)−4 5

= 0,4(100 − 𝑡) + 𝑐(100 − 𝑡)−4

Usamos la condición inicial V (0) = 1 para hallar la constante c: 𝑉(0) = 0.4(100 − 0) + 𝑐(100 − 0)4 = 1 y obtenemos: 40 + 108 𝑐 = 1

𝑐 = −3.9𝑥10−7

Luego, V (t) = 0,4(100 − t) −(3.9𝑥10−7)(100 − 𝑡)4...