Definición de Matriz - mate PDF

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Definición de Matriz En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dadas una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Suma de matrices Si las matrices A= (aij) y B= (bij) tienen la misma dimensión, la matriz suma es: A+B= (aij+bij). La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Multiplicación de matrices En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas determinadas reglas. Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El algoritmo para la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad de conmutatividad.

Propiedades de las matrices Asociativa: Dadas las matrices \;A, \; B \; y \; C se cumple que A + (B + C) = (A + B) + C. Elemento neutro: Existe una matriz, denotada por 0, tal que, para toda matriz A, si hacemos su suma obtenemos A + 0 = A. Los elementos de la matriz 0 son puros ceros. Inverso aditivo: Para toda matriz A, existe una matriz -A = (-a_{ij}), llamada inverso aditivo de A, la cual cumple que A + (-A) = A - A = 0. Los elementos de la matriz -A son los elementos de A multiplicados por -1. Conmutativa: Dadas las matrices \;A\; y \; B \; se cumple que A + B = B + A.

Determinante de una matriz El determinante de una matriz de dimensión mxn es el resultado de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria. En otras palabras, el determinante de una matriz 2×2 se obtiene dibujando una X sobre sus elementos. Primero dibujamos la diagonal que empieza por arriba en lado izquierdo de la X (diagonal principal). Después dibujamos la diagonal que empieza por arriba en el lado derecho de la X (diagonal secundaria). Para calcular el determinante de una matriz, necesitamos que su dimensión tenga el mismo número de filas (m) y de columnas (n). Por tanto, m=n. La dimensión de una matriz se representa como la multiplicación de la dimensión de la fila con la dimensión de la columna. Existen otras maneras más complejas para calcular el determinante de una matriz de dimensión mayor de 2×2. Estas formas se conocen como la regla de Laplace y la regla de Sarrus.

Propiedades De Los Determinantes El uso de determinantes simplifica de forma muy notable la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, se aplican propiedades generales que permiten acometer la discusión y la resolución de tales sistemas mediante un procedimiento riguroso. Cálculo de determinantes En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades que facilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son: 1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero. 2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo. 3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero. 4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo. 5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número. 6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. 7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su determinante no se altera.

Inversión de matrices por cofactores Para calcular la Matriz Inversa es de la siguiente manera: A^-1 = 1/DA x (Matriz adjunta de A) Determinante de la Matriz A tiene que ser Diferente de 0. Matriz Adjunta de A: Transpuesta de la matriz de cofactores de A. Transpuesta: Cambiar las filas por columnas de la matriz.

Inversión de matrices por condensación pivote Calcular el valor de un determinante de orden superior a 4 lo puedes hacer de distintas formas haciendo uso de las propiedades que se supone las has estudiado. Un modo sencillo de calcular el valor de un determinante es haciendo uso del PIVOTE.

¿Por qué el 1? Porque el producto de un valor por 1 es muy simple de calcular. Y ¿si no tenemos un 1?. Muy sencillo, bastará hacer alguna operación de multiplicar o dividir a una línea (fila o columna) para que sumando con otra línea obtengamos el 1. Lo que tenemos que conseguir es que en la fila del 1 elegido todos los demás valores de los elementos sean ceros. ¿Por qué? Porque sabemos que el resultado de un determinante lo hallamos al sumar los productos que obtenemos de multiplicar cada elemento de una línea por sus respectivos adjuntos y cuando los elementos son ceros el cálculo es muy sencillo.

Resolución de sistema de ecuaciones por matrices Durante los siglos XVIII y XIX se desarrollaron diversos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado basados en la teoría de matrices. A los ya consabidos procedimientos gráficos y algebraicos usados desde antiguo se sumaron los más elaborados que propusieron, con casi un siglo de diferencia, Gabriel Cramer y Eugène Rouché. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales Para resolver sistemas de ecuaciones lineales (de primer grado) se utilizan comúnmente tres tipos de procedimientos: Métodos gráficos, donde cada ecuación del sistema se corresponde con un plano, en el caso de que el sistema sea de tres incógnitas, de forma que las soluciones del sistema coinciden con los puntos de intersección de todos los planos (ver t6). Métodos matriciales, basados en el uso de la teoría de matrices. Métodos matriciales Un sistema de ecuaciones lineales puede expresarse en forma matricial de la manera siguiente: C×X=B Donde C es la matriz de los coeficientes, X la de las incógnitas y B la de los términos independientes (ver t15). En la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por métodos matriciales se emplean normalmente dos procedimientos alternativos: el de la matriz inversa y el método de eliminación gaussiana. El método de la matriz inversa (ver t15) consiste en hallar la matriz inversa de C para obtener la matriz de las incógnitas, efectuando la operación C-1 × B X = C-1 × B Por su parte, el método de eliminación gaussiana (ver t15) consiste en obtener una matriz triangular equivalente a la matriz ampliada del sistema....