Definizioni e teoremi di matematica generale PDF

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Lista definizioni e teoremi1. Definizioni di rapporto incrementale e di derivata per una funzione reale diuna variabile reale e sue prime proprietàIl rapporto incrementale è il rapporto tra l’incremento della funzione ∆푓 = 푓 푥%+ℎ − 푓(푥%) e l’incremento della variabile indipendente 푥 (quando passa da...

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Lista definizioni e teoremi 1. Definizioni di rapporto incrementale e di derivata per una funzione reale di una variabile reale e sue prime proprietà Il rapporto incrementale è il rapporto tra l’incremento della funzione ∆𝑓 = 𝑓 𝑥% + ℎ − 𝑓(𝑥% ) e l’incremento della variabile indipendente 𝑥 (quando passa da 𝑥% +𝑎+𝑥); Chiamiamo invece derivata di 𝑓: 𝐴+Í+Â+®+Â nel punto 𝑥% Î+A, il limite, se esiste finito, del rapporto incrementale: diremo allora che la funzione è derivabile in 𝑥% .

2. Interpretazione geometrica della nozione di derivata Il significato geometrico della derivata di una funzione in un punto mette in relazione il grafico della funzione e la retta tangente ad esso nel punto considerato: la derivata nel punto ha dunque il significato geometrico di coefficiente angolare della retta tangente.

3. Derivata di funzione composta Siano 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) due funzioni derivabili in 𝑥% con 𝑓 𝑥 > 0; usando la derivata composta, si ha: 𝑑

= + 𝑔 𝑥 +×+𝑙𝑜𝑔 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

= + 𝑓(𝑥) 7(8) +×+ 𝑔9 𝑥 ×+𝑙𝑜𝑔+ 𝑓(𝑥):(8)+.𝑔 𝑥

: ; (8)

4. Approssimazione lineare Linearizzare equivale a determinare l’equazione della retta tangente al grafico di 𝑓(𝑥) nel punto 𝑥% , e lo si fa attraverso la seguente espressione 𝑦 = 𝑓 𝑥% + 𝑥+ −+ 𝑥% +×+𝑓 9 𝑥% .

5. Calcolo delle derivate, proprietà delle funzioni derivabili Il calcolo delle derivate è un procedimento che, in base alle regole di derivazione, permette di esprimere il comportamento dell’operazione di derivazione rispetto alle principali operazioni algebriche tra funzioni, che sono: §

somma: +𝑦 9 = 𝑓 9 (x)+ + +𝑔9 (x).

§

differenza:++𝑦 9 = 𝑓 9 (x)+–+𝑔9 (x).

§

prodotto: +𝑦 9 = + 𝑓 9 x +×+𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 +×+𝑔9 (𝑥).

§

rapporto: 𝑦 9 = +

:; 8 +×+7 8 +–+@ A +×+7 ; (8) (7 8 )B

.

1

§

prodotto per una costante: 𝑦 9 = 𝑐+×+𝑓 9 𝑥 .

6. Teorema circa il rapporto tra derivabilità e continuità Siano 𝑓: 𝐴+Í+Â+®+Â, e 𝑥% Î+A un punto del suo campo di esistenza; se in tale punto 𝑓 è derivabile, allora 𝑓 è anche continua.

7. Definizione di derivata seconda e derivate successive Sia 𝑦 = 𝑓(𝑥) una funzione continua e derivabile definita in un intervallo I; l’insieme dei valori derivati costituiscono la funzione derivata 𝑦 = + 𝑓 9 (𝑥). Se la funzione 𝑦 = + 𝑓 9 (𝑥) è ancora derivabile, l’insieme dei valori al variare di x si chiama derivata seconda e si indica 𝑦 = +𝑓 99 (𝑥). Continuando si può arrivare ad avere una derivata di ordine n della funzione 𝑦 = 𝑓(𝑥), e si indica 𝑦 = + 𝑓 D (𝑥). ! !

8. Teorema di Rolle Se la funzione 𝑓 è continua nell’intervallo 𝑎, 𝑏 , derivabile nell’intervallo 𝑎, 𝑏 ed, in corrispondenza degli estremi dell’intervallo, assume gli stessi valori, allora esiste almeno un punto 𝑐 interno all’intervallo 𝑎, 𝑏 in cui la derivata di 𝑓 si annulla.

9. Teorema di Lagrange Se la funzione 𝑓 è continua nell’intervallo 𝑎, 𝑏 e derivabile nell’intervallo 𝑎, 𝑏 , allora esiste almeno un punto 𝑐 interno all’intervallo 𝑎, 𝑏 nel quale è verificata l’uguaglianza 𝑓 9 𝑥% = +

𝑓 𝑏 − +𝑓(𝑎) . (𝑏 − 𝑎)

10. Moltiplicatori di Lagrange 11. Teoremi di De l’Hopital Siano 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) due funzioni derivabili su un intervallo (𝑎, 𝑏), con 𝑎 e 𝑏 valori finiti o infiniti. Se sussistono queste condizioni: a) 𝑔9 𝑥 ≠ 0 per ogni 𝑥+ Î +(𝑎, 𝑏); b) il limite da destra per 𝑥 → 𝑎 I del rapporto della derivata del numeratore e della derivata del denominatore esista, finito o infinito; c) il limite da destra del rapporto tra 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) genera una forma indeterminata

% %

J

o ; J

allora esiste il limite da destra del rapporto delle due funzioni, e vale la relazione 𝑓(𝑥) 𝑓 9 (𝑥) + = lim lim 8→N O 𝑔(𝑥) 8→N O 𝑔9 (𝑥) Nel caso del limite da sinistra per 𝑥 → 𝑏 P +vale un enunciato del tutto analogo. 2

12. Definizione di massimo e minimo Data la funzione 𝑓: 𝐴+Í+Â+®+Â, un punto 𝑥% Î+A si dice punto di massimo (o di minimo) assoluto per la funzione quando, per ogni 𝑥% Î+A, si abbia 𝑓 𝑥% ≥ 𝑓 𝑥 o 𝑓(𝑥% ) ≤ 𝑓(𝑥) . Data la+𝑓: 𝐴+Í+Â+®+Â, un punto 𝑥% Î+A si dice punto di massimo (o di minimo) relativo per la funzione quando, per ogni+𝑥Î+A+ ∩ N(𝑥% ), esiste un suo intorno+N(𝑥% ), tale che 𝑓 𝑥% ≥ 𝑓 𝑥 o 𝑓(𝑥% ≤ 𝑓(𝑥) .

13. Definizione di funzione convessa o concava Una funzione a valori reali definita su un intervallo si dice convessa se il segmento che congiunge due qualsiasi punti del suo grafico si trova al di sopra del grafico stesso; una funzione invece concava è tale se il segmento giace al di sotto del grafico o coincide con una sua parte.

14. Definizione di punto di flesso Data una funzione 𝑓 definita su un intervallo 𝐼, un punto 𝑥% interno ad 𝐼 è detto punto di flesso per il grafico della funzione quando esiste un suo intorno sinistro in cui 𝑓 è convessa, ed un suo intorno destro in cui 𝑓 è concava (o viceversa).

15. Definizione di derivata parziale Siano dati la funzione+𝑓: 𝐴+Í+ÂV +®+Â, ed un punto 𝑥% , 𝑦% Î+ÂV . Chiamiamo derivata parziale di 𝑓 rispetto ad 𝑥 (o rispetto ad 𝑦) calcolata nel punto iniziale 𝑥% , 𝑦% , il limite, se esiste finito, del rapporto incrementale costruito a partire dal punto 𝑥% , 𝑦% incrementando la prima (o la seconda) variabile: 𝑓 𝑥% + ℎ, 𝑦% − 𝑓 𝑥% , 𝑦%

𝑓89 𝑥% , 𝑦% = + lim

ℎ 𝑓 𝑥% , 𝑦% + ℎ − 𝑓 𝑥% , 𝑦% = + lim ℎ→0 ℎ ℎ→0

𝑓89 𝑥% , 𝑦%

16. Funzione reale in due variabili reali Chiamiamo funzione reale in due variabili reali 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) 3

una qualunque corrispondenza univoca 𝑓: 𝐴+Í+ÂV +®+Â che, ad ogni coppia ordinata di numeri reali (𝑥, 𝑦) appartenente ad un sottoinsieme A di Â+x+Â, associa uno ed un solo valore reale 𝑧+Î Â.

17. Grafico di funzione in due variabili Nello spazio cartesiano, il grafico di una funzione 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) è l’insieme dei punti di coordinate (x,+y,+z) per cui sussiste la relazione 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦).

18. Curve di livello Una curva di livello è l’insieme delle proiezioni ortogonali sul piano 𝑂𝑥𝑦 dei punti di una superficie che sono collocati alla stessa quota 𝑧 = 𝑘.

19. Dominio di una funzione reale in due variabili reali Il dominio di una funzione 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 +è l’insieme di tutte le coppie ordinate! (𝑥, 𝑦)! appartenenti a!Â+x+Â!per le quali la funzione risulta definita.

20. Funzioni continue Una funzione 𝑓(𝑥, 𝑦) definita in un insieme 𝐼 è continua in un punto 𝑃0(𝑥% , 𝑦% ) se esiste finito il lim

(8,])→(8^ ,]^ )

𝑓(𝑥, 𝑦)

e questo limite è uguale al valore della funzione nel punto 𝑃0. Se la funzione è continua in tutti i punti di 𝐼, allora diremo che 𝑓 𝑥, 𝑦 è continua in 𝐼.

21. Derivazione delle funzioni composte nel caso di funzioni in due variabili Per il calcolo della derivata di 𝐹 rispetto a 𝑡 si utilizza il teorema di derivazione della funzione composta: +𝑓𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 +×+𝑦 9 (𝑡). 𝑧 9 = +8𝑓9 + 𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡) +×+𝑥 9 𝑡 ]9+

4

22. Teorema di Dini Sia data un’equazione 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0, ed un punto 𝑥% , 𝑦% che lo soddisfa, ovvero che 𝑓 𝑥% , 𝑦% = 0. Se le seguenti ipotesi sono confermate: 1. 𝑓 𝑥, 𝑦 + è continua, insieme alle sue derivate parziali prime 8𝑓 e 𝑓] in un intorno di 𝑥% , 𝑦% . 2. 𝑓]9 + 𝑥% , 𝑦% ≠ 0. allora esiste un’unica funzione 𝑦 = 𝑔(𝑥) definita con continuità, in un intorno del punto 𝑥% , di equazione 𝑓 𝑥% , 𝑦% = 0. Inoltre il suo diagramma passa per il punto 𝑥% , 𝑦% , ovvero 𝑔(𝑥% ) = 𝑦% . Infine la funzione 𝑦 = 𝑔(𝑥) risulta anche derivabile, con derivata continua, ed il valore della sua derivata nel punto 𝑥% è dato da

𝑔9 𝑥% = −

𝑓89 (𝑥% , 𝑦% ) 𝑓]9 (𝑥% , 𝑦% )

23. Teorema di Schwartz Il teorema di Schwartz dice che le derivate parziali seconde miste, se esistono, sono uguali.

24. Definizioni di estremanti per funzioni in due variabili Data la funzione 𝑓: 𝐴+Í+ÂV ++®+Â, un punto (𝑥% , 𝑥% ) si dice punto di massimo (o di minimo) assoluto per la funzione quando, per ogni 𝑥, 𝑦 +Î+A, si ha 𝑓 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥% , 𝑦% o 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 𝑓(𝑥% , 𝑦% ) . Data la funzione 𝑓: 𝐴+Í+ÂV ++®+Â, un punto (𝑥% , 𝑥% ) si dice punto di massimo (o di minimo) relativo per la funzione quando, per ogni 𝑥, 𝑦 +Î+N+ ∩ +A, esiste un suo intorno 𝑁 per cui risulta 𝑓 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑓 𝑥% , 𝑦% o 𝑓 𝑥, 𝑦 ≥ 𝑓(𝑥% , 𝑦% ) .

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