Riassunto completo e formulario appunti di analisi matematica 1 con teoremi e dimostrazioni PDF

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Riassunto completo e formulario appunti di analisi matematica 1 con teoremi e dimostrazioni...

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Teoremi Analisi Matematica 1

Numeri Complessi Formula di de Moivre (ρ(cos θ + i sin θ))n = ρn (cos(nθ) + i sin(nθ ))

Radice n-esima numero complesso √ 1 n z = ρn (cos( nθ ) + i sin( θn ))

Forma esponenziale numero complesso z = ρeiθ

Prodotto e quoziente tra numeri complessi z1 = ρ1 (cos θ1 + i sin θ1 ) z2 = ρ2 (cos θ2 + i sin θ2 ) z1 z2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )) z1 ρ1 (cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )) = ρ2 z2

Teorema fondamentale dell’algebra Ogni polinomio a coefficienti reali o complessi, di grado maggiore o uguale ad 1, ammette almeno una radice complessa In altri termini, dato un polinomio: p(x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 con n ≥ 1 Siamo sicuri, in virt` u del teorema fondamentale dell’algebra, che esso avr` a almeno una radice complessa

Successioni Definizione di successione Una successione numerica an : N → R `e una legge che associa ad ogni numero naturale n un numero reale indicato con an Una successione pu`o essere indicata con la seguente scrittura: {an }

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Limiti di successioni Finiti Una successione di numeri reali {an } converge ad un numero reale a ∈ R se e solo se per definizione: comunque si fissi un numero reale ε > 0 riusciremo a determinare un indice n0 ∈ N tale che tutti i termini della successione con indice maggiore di n0 hanno ”distanza” da a minore di ε. ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N con n0 > 0 | ∀n > n0 risulta |an − a| < ε Se vale la definizione diremo che a `e il limite della successione e scriveremo: lim an = a

n→∞

Infiniti Una successione di numeri reali {an } diverge positivamente se comunque si fissi un numero reale positivo M esiste un indice n0 ∈ N dopo del quale i termini della successione sono maggiori di M . In tale caso scriveremo: lim an = +∞

n→∞

lim an = +∞ ⇐⇒ ∀M > 0 ∃n0 > 0 con ∀n > n0 | an > M

n→∞

Teorema sull’esistenza dei limiti di successioni monotone Sia {an } una successione reale monotona e superiormente limitata. Allora esiste il limite lim an n→∞ In particolare: - se {an } `e crescente allora: lim an = sup an

n→+∞

n∈N

- se {an } `e decrescente allora: lim an = inf an

n→+∞

n∈N

Teorema sull’unicit` a del limite Una successione {an } di numeri reali non pu` o avere due limiti distinti. In altre parole, se la successione ha un un limite queste `e unico. Dimostrazione: Supponiamo che lim an = l e che lim an = m. Dobbiamo dimostrare che l = m. Per n→∞

n→∞

2

definizione di limite, si ha simultaneamente: ∀ε > 0 ∃m(ε) ∈ N : |an − l| < ε, ∀n > m(ε) ∀ε > 0 ∃n(ε) ∈ N : |an − m| < ε, ∀n > n(ε) Per la disuguaglianza triangolare: |l − m| = |l − an − (m − an )| < |l − an | + |m − an | < 2ε, ∀n > max {m(ε), n(ε)} Ne segue che: ∀ε > 0, |l − m| < 2ε Ci` o accade solamente quando l = m.

Teorema della permanenza del segno Sia {an } una successione di numeri reali, supponiamo che: lim an = l > 0

n→∞

Dove l `e un numero reale positivo, allora esiste un numero reale n0 ∈ N tale che ogni n > n0 si ha an > 0. In altre parole la successione `e definitivamente positiva.

Teorema del confronto Siano {an }, {bn }, {cn } tre successioni reali, tali che: an ≤ bn ≤ cn , ∀n ∈ N Supponiamo in oltre che lim an = l = lim cn

n→∞

n→∞

allora lim bn = l

n→∞

Algebra dei limiti Algebra dei limiti

lim f (x) ± g(x) = lim f (x) ± lim g(x)

x→x0

x→x0

x→x0

lim f (x) · g(x) = lim f (x) · lim g(x)

x→x0

x→x0

lim

x→x0

x→x0

lim f (x) f (x) x→x0 = g(x) lim g(x) x→x0

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Algebra degli infiniti e infinitesimi (+∞) · (±∞) = ±∞ +c = ±∞ 0± +c = 0± ±∞

(±∞) · (0± ) = forma indeterminata ∞ − ∞ = forma indeterminata

(−∞) · (±∞) = ∓∞ −c = ∓∞ 0± −c = 0∓ ±∞ ±∞ = forma indeterminata ±∞ 0± = forma indeterminata 0±

Gerarchia degli infiniti loga x ≪ xb ≪ cx ≪ x! ≪ xx

Serie numeriche Definizione di serie numerica Sia {an } una successione di numeri reali. Diciamo serie numerica la scrittura +∞ X

an

n=n0

Sia {an } una nuova successione cos`ı definita: s1 = a1 ; s2 = a1 + a2 ; s3 = a1 + a2 + a3 . . . sk = a1 + a2 + . . . + ak ; . . . Tale successione che indichiamo come {sn } prende il nome di successione di somme +∞ X parziali della serie an n=n0

Somma di serie: +∞ X

n=n0

an = lim

n→∞

n X

ak = lim sn = S n→∞

k=k0

Serie geometrica Sia q un numero reale. Si dice serie geometrica di ragione q la serie: +∞ X

qn

n=0

Di tale serie possiamo facilmente calcolarne la somma:  1   |q| < 1  +∞  1−q X n q = irregolare q ≤ −1   n=0   +∞ q≥1 4

Dimostrazione Consideriamo la somma parziale sn : sn = 1 + q + q 2 + q 3 + . . . + q n Moltiplichiamo entrambi i membri per q : qsn = q + q 2 + q 3 + q 4 . . . + q n+1 Sottraiamo dalla prima la seconda: sn − qsn = 1 + q − q + q 2 − q 2 + . . . + q n − q n − q n+1 Semplificando si ottiene: sn − qsn = 1 − q n+1 (1 − q)sn = 1 − q n+1 Se q 6= 1 dividiamo: sn =

1 − q n+1 1−q

q 6= 1

Calcoliamo: n+1

1−q lim sn = lim n→∞ n→∞ 1 − q

=

    

1 1−q

|q| < 1

∄ q ≤ −1     +∞ q ≥ 1

Serie di Mengoli La serie Mengoli e` un tipo di serie telescopica, quest’ultima ha la particolarit` a di avere la somma parziale ennesima scritta come differenza tra il primo e l’ultimo termine. Tale serie `e definita nel seguente modo: +∞ X n=1

1 n(n + 1)

Denotando che `e possibile scrivere il termine generale come 1 1 =1+ k+1 k(k + 1) La somma parziale sn `e definita nel seguente modo:           1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + +... + sn = 1 − − − − − 2 3 n−1 n 2 n n+1 3 4 Che semplificata risulta essere: sn = 1 + Ora infine: lim 1 +

n→∞

1 n+1

1 =1 n+1

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Serie armonica Si dice serie armonica la serie

+∞ X

n=1

1 n

Si dice, invece, serie armonica generalizzata la serie  +∞  converge α > 1 X 1 che  diverge nα α≤1 n=1 Dimostrazione +∞ X

1 diverge attraverso la stima delle somme parziali n n=1 1 . Formalmente chiamando sn la somma con integrali definiti della funzione n parziale della serie, si ha:

Si dimostra che la serie

sn =

N X 1

n n=1

=

N Z X n=1

n+1 1 n

x

dx =

Z

N +1 1

1 dx = ln(N + 1) x

Dunque la serie armonica diverge.

Studio del carattere di una serie Con ”studio del carattere” di una serie si intende stabile se tale serie converge, diverge o `e irregolare. Ci sono pi` u modi per stabilire il carattere di una serie: Condizione necessaria di convergenza, Criterio del confronto, Criterio del confronto asintotico, Criterio del rapporto, Criterio della radice, Criterio di assoluta convergenza, Criterio di Leibniz. Condizione necessaria di convergenza

Sia {an } una successione di numeri reali e

+∞ X

an la serie numerica ad essa as-

n=1

sociata. Se il limite del termine genereale tende a 0 : lim an , allora n→∞

convergere.

+∞ X

an pu` o

n=1

Criterio del confronto Siano

+∞ X

an e

n=1

+∞ X

n=1

bn due serie a termini definitivamente positivi. Se ab ≤ bb vale

definitivamente, possiamo dire che: - se

+∞ X

an diverge (positivamente) allora

+∞ X

n=1

n=1

6

bn diverge (positivamente)

+∞ X

- se

bn converge allora

n=1

+∞ X

an converge.

n=1

Criterio del confronto asintotico Siano

+∞ X

n=1

se

+∞ X

an e

+∞ X

bn due serie a termini definitivamente positivi. Se ab˜bb allora

n=1

bn converge anche

n=1

+∞ X

an e se

n=1

+∞ X

bn diverge anche

n=1

+∞ X

an diverge.

n=1

Criterio del rapporto

Sia

+∞ X

n=1

an una serie numerica a termini positivi tale che an 6= 0. Supponiamo

che esista il limite lim

n→∞



an+1 an

allora: - se L > 1, segue che la serie



=L

+∞ X

an diverge

+∞ X

an converge

n=1

- se L < 1, segue che la serie

n=1

- se L = 1, segue che il criterio del rapporto `e inconcludente Criterio della radice Sia

+∞ X

an una serie numerica a termini positivi. Supponiamo che esista il limite

n=1

√ lim ( n an ) = L

n→∞

allora: - se L > 1, segue che la serie

+∞ X

an diverge

+∞ X

an converge

n=1

- se L < 1, segue che la serie

n=1

- se L = 1, segue che il criterio della radice `e inconcludente Criterio di Leibniz Sia

+∞ X

n=1

(−1)n an una serie a segno variabile, con an ≥ 0 per ogni n ∈ N. Se

valgono le seguenti ipotesi: - {an } `e una successione infinitesima, ovvero lim an = 0 n→∞

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- {an } `e definitivamente una successione non crescente, ossia esiste un indice n0 tale per cui ogni n ≥ n0 risulta che an+1 ≤ an allora il criterio di Leibniz stabilisce che la serie

+∞ X

(−1)n an converge.

n=1

Funzioni Definizione di funzione Una funzione f : X → R `e una legge che associa ad ogni numero reale x un altro numero reale.

Definizione di limite Definizione successionale Sia f : I → R, si dice che: con c, l ∈ R∗

lim f (x) = l

x→c

Se: per ogni successione {xn } di punti di I, xn 6= c, con xn → c, si ha che f (x) → l per n → ∞ Definizione topologica Definizione di Intorno Si dice intorno di un punto x0 ∈ R un intervallo aperto che contiene x0 . Sia f (x) una funzione definita almeno definitivamente per x → c. Si dice che: con c, l ∈ R∗

lim f (x) = l

x→c

Se per ogni intorno del limite l [Ul ] esista un intorno del punto c [Uc ] tale che: ∀x ∈ Uc , x 6= c si ha f (x) ∈ Ul

- Limite finito al finito U (l) ∃U (c) : ∀x ∈ U (c) ⇒ f (x) ∈ U (l) - Limite infinito al finito U (l) ∃U (∞) : ∀x ∈ U (∞) ⇒ f (x) ∈ U (l)

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Definizione metrica La definizione metrica `e adattabile a tutti i casi che si possono presentare. - Limite finito al finito ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x 6= c, |x − c| < δ ⇒ |f (x) − l| < ε - Limite infinito al finito ∀ε > 0 ∃hε : ∀x > hε ⇒ |f (x) − l| < ε - Limite infinito all’infinito ∀K > 0 ∃HK > 0 : ∀x > HK ⇒ f (x) > K Definizione e propriet` a dell’o-piccolo Sia X ⊂ R, sia x0 punto di accumulazione per X, siano f : X → R e g : X → R funzioni. Si dice che g `e un o-piccolo di f per x che tende a x0 e si scrive g(x) = o(f (x)) per x → x0 se esiste una funzione h : X\x0 → R tale che: - f (x) = h(x) · g(x) ∀x ∈ X\x0 - lim h(x) = 0 x→x0

Propriet` a: 1 o(f ) + o(f ) = o(f ) 2 g · o(f ) = o(g · f ) 3 o(o(f )) = o(f ) 4 o(f + o(f )) = o(f ) 5 Se g(x) 6= 0 ∀x 6= x0 e lim

x→x0

f (x) = 1 allora f (x) = g (x) +o(g (x)) per x → x0 g(x)

6 Se lim g (x) = a con 0 6= a ∈ R allora o(g (x) · f (x)) = o(f (x)) per x → x0 x→x0

Teorema di Weierstrass Sia f : [a, b] → R una funzione continua, allora f (x) assume un massimo e un minimo assoluti nell’intervallo [a, b]

Teorema di Darboux Sia f : [a, b] → R una funzione continua. Sia f (a) < f (b) (o viceversa f (b) < f (c)). Allora la funzione assume tutti i valori compresi tra f (a) e f (b), ovvero, per ogni y0 tale che f (a) < y0 < f (b) (o rispettivamente f (b) < y0 < f (a)) esiste un punto x0 in [a, b] tale che f (x) = y0 . Equivalentemente: sia f : [a, b] → R una funzione continua, se f (b) 6= f (a), allora f (x) `e suriettiva su [f (a), f (b)] (o [f (b), f (a)])

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Teorema degli zeri Sia f : [a, b] → R continua. Supponiamo che f (a) e f (b) abbiano segno opposto, ovvero f (a) < 0 < f (b) (oppure f (b) < 0 < f (a)) Allora esiste un punto x0 in (a, b) tale che f (x0 ) = 0 Dimostrazione Senza perdita di generalit` a poniamo f (a) < 0 < f (b). Si suppone che f (x) sia diverso da 0 per ogni x nell’intervallo. Si definisce l’insieme seguente: E = {x ∈ [a, b] : f (x) > 0} L’insieme E non `e vuoto, perch´e contiene a, inoltre E `e superiormente limitato da b dunque esiste x0 = sup(E) ≤ b. L’estremo superiore `e caratterizzato da queste due propriet` a: - x0 `e maggiorante di E - se y0 < x0 allora y0 non `e un maggiorante di E Il valore f (x0 ) `e diverso da zero, ed `e quindi positivo o negativo. In entrambi i casi si giunge ad un assurdo.

Calcolo differenziale Definizione di rapporto incrementale Consideriamo la funzione f : R → R, y = f (x) di variabile reale (x) a valori reali (y). Definiamo il rapporto incrementale di f in x0 nel modo seguente: f (x0 + h) − f (x) ∆x := ∆y h Dove := indica che l’uguaglianza `e una definizione. Il precedente rapporto consiste nella divisione tra la differenza delle ordinate f (x + h), f (x) ossia le coordinate corrispondenti alle ascisse x0 + h e x0 mediante f , e la differenza delle relative ascisse x0 + h e x0 , che `e evidentemente h.

Definizione di derivata in un punto La derivata di f in un punto x0 si indica con f ′ (x) o con

df o con D(f (x))x=x0 dx

ed `e definita da f ′ (x) = lim

h→0

f (x0 + h) − f (x) h

La funzione f `e derivabile in x0 se e solo se `e continua nel punto x0 . Ma non significa che se f `e continua allora `e per forza derivabile. Vale il contrario per`o: se f `e derivabile in x0 allora `e per forza continua in x0 .

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Significato geometrico La derivata prima f ′ (x0 ) nel punto x0 ha il significato geometrico di coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di coordinate (x0 , f (x0 )).

Algebra delle derivate

Somma di derivate Sia A ⊆ R, f, g : A → R, x0 ∈ A ∩ D(A) e f, g funzioni derivabile in x0 . Allora f + g `e derivabile in x0 e si ha: (f + g)′ (x0 ) = f ′ (x0 ) + g ′ (x0 ) Prodotto di derivate Sia A ⊆ R, f, g : A → R, x0 ∈ A ∩ D(A) e f, g funzioni derivabile in x0 . Allora f · g `e derivabile in x0 e si ha: (f · g)′ (x0 ) = f ′ (x0 )g (x0 ) + f (x0 )g ′ (x0 ) Quoziente di derivate Sia A ⊆ R, f, g : A → R, x0 ∈A  ∩ D(A) e f, g funzioni derivabile in x0 sia in f oltre g(x) 6= 0, ∀x ∈ A. Allora `e derivabile in x0 e si ha: g  ′ f ′ (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g ′ (x0 ) f (x0 ) = g 2 (x0 ) g Derivazione di funzioni composte Siano A, B ⊆ R, f : A → R, g : B → R, f (A) ⊆ B. Sia inoltre x0 ∈ A ∩ D(A) e f derivabile in x0 . Infine sia f (x0 ) ∈ D(B) e g derivabile in f (x0 ). Allora g ◦ f `e derivabile in x0 e si ha: (g ◦ f )′ (x0 ) = (g ′ ◦ f )(x0 ) · f ′ (x0 ) Derivata delle funzioni inverse Sia A ⊆ R, A un intervallo, f : A → R strettamente monotona, quindi invertibile, con f −1 la sua inversa. Sia x0 ∈ A ∩ D(A) e f derivabile in x0 , con f ′ (x0 ) 6= 0. Allora f −1 `e derivabile in y0 = f (x0 ), e si ha: (f −1 )′ (y0 ) =

1 f ′ (f −1 (y0 ))

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Teorema di Fermat Sia f : R → R, una funzione con dominio D ⊆ R. Se x0 ∈ D `e un punto estremante per f , e f `e derivabile in quel punto, allora si ha che f ′ (x0 ) = 0 Dimostrazione Prima di tutto osserviamo che per ipotesi f (x0 ) `e derivabile nel punto x0 , dunque vale la condizione lim− f ′ (x) = lim+ f ′ (x) x→x0

x→x0

Dimostriamo il teorema nel caso in cui x0 sia un punto di massimo relativo. Poich´ e x0 `e un punto di massimo relativo, dato un incremento di h vale f (x0 + h) − f (x0 ) ≤ 0 Infatti se x0 `e un punto di massimo spostandoci sull’asse delle ascisse troveremo, localmente, valori della funzione pi` u piccoli di f (x0 ). Dividiamo l’uguaglianza per h. Otteniamo: - se h `e positivo f (x0 + h) − f (x0 ) ≤0 h - se h `e negativo f (x0 + h) − f (x0 ) ≥0 h Ora se passiamo al limite per h che tende a 0 in entrambe le disuguaglianze otteniamo f (x0 + h) − f (x0 ) ≤ 0 (h > 0) h h→0 lim

f (x0 + h) − f (x0 ) ≥ 0 (h < 0) h I due limiti sono rispettivamente limite destro e limite sinistro della derivata prima f+′ (x0 ) = f ′− (x0 ) lim

h→0

Per l’ipotesi di derivabilit` a di f in x0 i due limiti devono coincidere, quindi l’unico caso possibile essendo ′ f+ (x0 ) ≤ 0 e = f ′− (x0 ) ≥ 0

`e ′ f+ (x0 ) = 0 = f ′− (x0 )

Ossia f ′ (x0 ) = 0

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Teorema di Rolle Sia f : [a, b] → R una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Se la funzione assume lo stesso valore agli estremi dell’intervallo, ossia f (a) = f (b) allora esiste almeno un punto x0 ∈ (a, b) tale che f ′ (x0 ) = 0

Teorema di Cauchy Siano f, g : [a, b] → R due funzioni continue in [a, b] e derivabili in (a, b). Allora esiste almeno un punto x0 ∈ (a, b), tale che [f (b) − f (a)]g ′ (x0 ) = f ′ (x0 )[g (b) − g(a)] Dimostrazione Definiamo la funzione h(x) = [f (b) − f (a)]g ′ (x0 ) = f ′ (x0 )[g(b) − g(a)] Ora h(x) `e continua su [a, b] e derivabile su (a, b), poich´e `e differenza di funzioni continue moltiplicate per costanti. Se in oltre valutiamo agli estremi dell’intervallo [a, b], troviamo che h(a) = [f (b) − f (a)]g(a) − [g(b) − g(a)]f (a) = f (b)g(a) − g(b)f (a) h(b) = [f (b) − f (a)]g(b) − [g(b) − g(a)]f (b) = −f (a)g(b) + g(a)f (b) Si vede in oltre che la funzione soddisfa il teorema di Rolle. Applicandolo: h′ (x0 ) = 0 Calcoliamo la derivata h′ (x) = [f (b) − f (a)]g ′ (x) − [g(b) − g(a)]f ′ (x) e valutandola in x0 fornitoci dal teorema di Rolle abbiamo che h′ = 0 ossia [f (b) − f (a)]g ′ (x0 ) = [g (b) − g(a)]f ′ (x0 ) ossia la tesi.

Teorema di Lagrange Sia f : [a, b] → R una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Allora esiste almeno un punto x0 ∈ (a, b), tale che f (b) − f (a) = f ′ (x0 )(b − a)

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Dimostrazione Consideriamo la funzione identit` a g(x) = x, e applichiamo il teorema di Cauchy. Possiamo farlo, perch´e infatti valgono le ipotesi del teorema di Cauchy, e g(x) = x le soddisfa quale che sia l’intervallo [a, b]. Basta infine osservare che g ′ (x) = 1 e abbiamo la tesi.

Criterio di monotonia Sia f una funzione reale continua in un intervallo chiuso [a, b] e derivabile in (a, b) La funzione f `e strettamente crescente nell’intervallo (a, b) se e solo se: f ′ (x) > 0 ∀x ∈ (a, b) La funzione f `e strettamente decrescente nell’intervallo (a, b) se e solo se: f ′ (x) < 0 ∀x ∈ (a, b)

Teorema di de l’Hˆ opital Siano f, g : [a, b] → R due funzioni derivabili in (a, b), con a e b due valori finiti o infiniti. Se: - g ′ (x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) ossia che la derivata di g(x) non sia mai nulla sull’intervallo considerato f ′ (x) - il lim ′ esista, finito o infinito x→a+ g (x)   f (x) f (x) h ∞ i 0 oppure lim = = - il lim ∞ 0 x→a+ g(x) x→a+ g(x) allora - esiste il lim

x→a+

- e vale lim+ x→a

f (x) g(x)

f (x) f ′ (x) = lim ′ g(x) x→a+ g (x)

Teorema della formula di Mc Laurin con il resto di Peano Sia f (x) una funzione derivab...