(Pochi semplici passi per laurearsi in fisica (Unipd)) Alessio Miscioscia - Teoria, teoremi e dimostrazioni di Analisi matematica due (2019 ) PDF

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Analisi matematica 2 Alessio Miscioscia 7 giugno 2019

Ragazze, fate le serie! (J. B. J. Fourier) 1

Indice 1 Serie numeriche 1.1 Operazioni con le serie . . . . . . . . . 1.1.1 Serie armonica . . . . . . . . . 1.1.2 La serie geometrica . . . . . . . 1.1.3 Le serie telescopiche . . . . . . 1.2 Serie a termini positivi . . . . . . . . . 1.2.1 Serie armonica generalizzata . . 1.3 Serie a segni alterni . . . . . . . . . . . 1.4 Serie complesse e convergenza assoluta 1.5 Riordinamento delle serie . . . . . . . .

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4 5 5 5 5 6 8 9 10 11

2 Successioni e serie di funzioni 2.1 Serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Serie di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 14 15 16

3 Elementi di analisi complessa 3.1 Esponenziale, funzioni circolari e iperboliche . . . . . . . . . . . . . .

16 17

4 Integrali impropri 4.1 Integrali generalizzati per funzioni 4.2 Integrabilit`a assoluta . . . . . . . 4.3 Integrali impropri e serie . . . . . 4.4 Integrali oscillanti . . . . . . . . . 4.5 La Gamma di Eulero . . . . . . .

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non negative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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19 . . . . 19 . . . . 21 . . . . 21 . . . . 22 . . . . 22

5 Topologia 5.1 Limiti in pi`u varibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Spazi metrici e contrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Norme infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23 27 28 29

6 Curve 6.1 Integrale di una funzione a 6.2 Lunghezza di una curva . 6.3 Parametro d’arco . . . . . 6.4 Integrali curvilinei . . . . 6.5 Vettori notevoli e versori .

30 31 32 33 33 34

valori vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

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7 Funzioni di n variabili a valori scalari 7.1 Differenziabilit`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Funzioni convesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 35 39 40

8 Funzioni di n variabili a valori vettoriali 8.1 Funzioni implicite e invertibilit`a locale . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 42

9 Campi di vettori 9.1 Intergrali curvilinei di seconda specie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Campi conservativi e forme esatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 44 45

3

1

Serie numeriche

  Definizione. Una serie `e una coppia di successioni {an }n∈N , {sn }n∈N , dove an `e la successione dei termini generali e sn `e la successione delle somme parziali: PN an sN = i=0 Spesso si indica la serie come:

P∞

i=0

an

Osservazione. Risulta semplice notare che : P∞ i=0 an = limn→∞ sn Definizione. Si dice che una serie si dice: • convergente se ∃ limn→∞ sn ∈ ℜ; • divergente se limn→∞ sn = +∞ (diverge positivamente) o limn→∞ sn = −∞ (diverge negativamente); • indefinita se limn→∞ sn `e indefinito. Osservazione. Una serie converge solo se il limite delle somme parziali e` finito che `e vero se e solo se la successione delle somme parziali e` di Couchy, quindi se e solo se ∀ǫ > 0∃n ∈ Nt.c. |sn+p − sn | < ǫ

∀n > N (n ∈ N), p ∈ N  Teorema (Criterio di Cauchy). Sia {an }n∈N , {sn }n∈N una serie allora la serie converge se e solo se 

limn→∞ supp∈N |rn,p | = 0 dove : rn := sn+p − sn Dimostrazione. ∀ǫ > 0∃N ∈ N t.c. sn+p−sn < ǫ∀n, p ∈ N per osservazione 2. Quindi: supp∈N |rn,p | < ǫ

∀n ∈ N

Che `e la definizione di limite. Quindi limn→∞ supp∈N |rn,p | = 0 P Lemma. Condizione necessaria affiche an coverga `e che limn→∞ an = 0 Dimostrazione. an = sn − sn−1 → 0

4

1.1

Operazioni con le serie

P P Lemma. Siano an , bn due serie, λ ∈ N, λ 6= 0, si ha che: P P P • (an + bn ) = an + bn se le serie convergono entrambe. P P • per λan = λ an P P P • Se an diverge e bn `e limitata allora (an + bn ) diverge. Dimostrazione. Si scrivano le somme parziali Pn Pn Pn i=1 ai + bi = i=1 ai + i=1 bi Pn Pn i=1 λai = λ i=1 ai

Passando al limite si conclude. 1.1.1

Serie armonica

Si vuole studiare : 1 1 1 1 1 1 P1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 ··· ≥ = 1 + + + + + + + · · · = 1 + + 3 n 2 3 4 5 6 7 8 P 2 1 = +∞ 1+ 2

1.1.2

La serie geometrica

Si vuole studiare: P

qn

Se q = 1 `e evidente che diverge positivamente. se q 6= 1 allora: Pn k (1 − q) k=0 q = 1 − q n+1 E si osservi quindi che converge per q ∈ (−1, 1) a P qk i Similmete ∞ i=k q = 1−q .

1.1.3

1 . 1−q

Le serie telescopiche

Data una successione bn si vuole studiare il carattere di : P P an := (bn − bn−1 ) Si noti che:

sn = (b0 − b1 ) + (b1 − b2 ) + (b2 − b3 ) + · · · + (bn − bn+1 ) = b0 − bn+1 → b0 5

1.2

Serie a termini positivi

Definizione. Una serie `e a termini positivi se an > 0∀n ∈ N Lemma. Una serie a termini positivi pu`o convergere o divergere positivamente. Dimostrazione. Si tratta di una somma di termini positivi, quindi non pu`o essere indeterminata. Se diverge deve divergere positivamente perch`e somma di termini positivi. P P Teorema (Criterio del confronto). Siano an , bn serie a termini positivi e an ≤ bn definitivamente. Allora P P • Se converge bn allora converge anche an P P • Se an `e divergente allora lo `e anche bn

Dimostrazione. Basta scrivere le somme parziali e mandare al limite. P P Corollario (Criterio del confronto asintotico). Siano an , bn . Se esiste: limn→∞

an bn

¯ l≥0 = l ∈ ℜ,

Allora: • Se l ∈ (0, +∞) le due serie hanno lo stesso carattere; P P P • Se l = P 0 se bn `e convergente lo `e anche an , se an diverge allora diverge anche bn ; P P P • Se l = +∞ seP an `e convergente lo `e anche bn , se bn diverge allora diverge anche an .

Dimostrazione. Per ipotesi ∃ν ∈ Nt.c.         an ∀n > ν ⇒ 21 l bn < an < 23 l bn  bn − l < 2l

∀n > ν

e quindi per confronto hanno lo stesso carattere. Sempre per il criterio del confronto si dimostrano gli altri due punti. P Teorema (Criterio della radice). Sia an una serie a termini positivi, se ∃h ∈ (0, 1)t.c. P √ n an ≤ h definitivamente allora an converge. 6

Se ∃h ≥ 1t.c.

√ n

an ≥ h definitivamente allora

P

an diverge. P P n Dimostrazione. Se ci mettiamo nella prima ipotesi si ha che an ≤ h che `e una serie geometrica di ragione in (0, 1) quindi converge e per confronto converge P anche an . Diversamente, nella seconda ipotesi an ≥ hn ≥ 1 per cui la serie diverge (positivamente). √ Osservazione. Si osservi che il caso n an < 1 non garantisca nulla. P Teorema (Criterio del rapporto di D’Alembert). Sia an una serie a termini positivi. Allora se ∃h ∈ (0, 1)t.c. an+1 an

≤ h definitivamente

allora la serie converge. Se ∃h ≥ 1t.c. an+1 an

≥ h definitivamente

la serie diverge. Dimostrazione. Nel primo caso an+1 ≤ han ≤ h2 an−1 ≤ · · · ≤ hn+1 a0 e quindi per confronto si conclude. Il secondo caso `e analogo al primo. P √ Corollario (Criterio della media). Sia l := lim supn→∞ n an ( an a termini positivi). Allora: P (0 ≤)l < 1 ⇒ an converge l>1⇒

P

an diverge

√ Dimostrazione. Per ipotesi ∀ǫ > 0∃ν ∈ Nt.c. n an < l + ǫ∀n ≥ ν Allora sia ǫ := l−1 . Per confronto si conclude. 2 Simile per il secondo caso. P a ( an a termini posiCorollario (Criterio del rapporto). Sia l := lim supn→∞ an+1 n tivi). Allora: P (0 ≤)l < 1 ⇒ an converge Se ∃L := limn→∞

an+1 an

allora

7

L>1⇒

P

an diverge

Dimostrazione. Simile al corollario precedente. Lemma. Sia an una successione allora: √ √ ≤ lim inf n→∞ n an ≤ lim supn→∞ n an ≤ lim supn→∞ lim inf n→∞ aan+1 n

an+1 an

= α allora sia β > α. Si ha che Dimostrazione. Sia lim sup an+1 an an+1 ≤ βan

Quindi

an+k+1 ≤ βan+k

Quindi moltiplicando membro a membro si ottiene aN +p ≤ β p aN ovvero Da cui lim sup aan+1 ≥ lim sup n da cui la tesi.

√ n

an ≤ an β −N β n an e similmente si ottiene lim inf

N.B.. Una conseguenza notevole `e che se ∃ limn→∞ √ = limn→∞ n an . limn→∞ aan+1 n

an+1 an

an+1 an

⇒ ∃ limn→∞

≤ lim inf √ n

√ n

an

an . Inoltre

Teorema (Criterio di condensazione di Couchy). Sia an una successione decresciente P P n e a termini positivi. Allora la serie an e 2 a2n hanno lo stesso carattere. P2n+1 n n Dimostrazione. 12 2n+1a2n+1 = 2n a2n+1 ≤ k=2 n +1 ak ≤ 2 a2n +1 ≤ 2 a2n P∞ P2n+1 P∞ Si noti che : n=0 k=2n +1 ak = n=2 an . Quindi: P∞ n P∞ P∞ n 1 n n n=1 2 a2 ≤ k=2 ak ≤ n=1 2 a2 2 Si conclude per confronto. 1.2.1

Serie armonica generalizzata

Si vuole studiare: P

1 np

con p parametro fissato

Si utilizza il criterio di condensazione: 2n (2n )p

=

1 (2p−1 )n

Quindi la serie si comporta come una serie geometria di ragione 8

1 2p−1

1.3

Serie a segni alterni

Definizione. Una serie si dice a segni alterni se `e della forma: P (−1)n an P (o eventualmente (−1)n+1an ).

Teorema (Criterio di Leibniz). Sia an una successione che soddisfa: • an a termini positivi; • an decresciente (definitivamente); • an → 0

Allora la serie

P (−1)n an converge e vale la stima: P∞  n   n=k+1 (−1) an ≤ ak+1

Dimostrazione. Bisogna considerare le successioni delle somme parziali di indice pari e di indice dispari: s2(n+1) = s2n − a2n+1 + a2n+2 ≤ s2n s2(n+1)+1 = s2n+1 − a2n+2 + a2n+3 ≥ s2n+1 Da cui si deduce che s2n e` decresiente mentre s2n+1 `e cresciente, in entrambi i casi ammettono limite. Inoltre: s2n − s2n + 1 = a2n+1 ≥ 0

Da cui i limiti devono essere finiti (si noti che le due successioni sono limitate). siano: limn→∞ s2n = s limn→∞ s2n+1 = σ. Si noti che : s−σ = limn→∞ (s2n − s2n+1) = 0. Quindi i due limiti sono uguali. La seri converge perch`e le due sottosuccessioni sommate sono la successione totale.

9

1.4

Serie complesse e convergenza assoluta

Definizione. Data esiste finito.

P

zn con zn ∈ C diremo che essa converge (in C) se limn→∞

Pn

i=0

P P P Osservazione. Sia zn = an + ibn allora zn converge solo se convergono an e bn e si ha che: P P P zn = a n + i bn P Definizione. P Data zn con zn ∈ C diremo che essa converge assolutamente (in C) se coverge |zn |. P Teorema. Se una serie zn converge assolutamente allora converge anche semplicemente; inoltre: P P | zn | ≤ | zn |

Dimostrazione. Si ricorda la disuguaglianza |z +w| ≤ |z|+|w| ∀z, w ∈ C. Allora si ha: Pn+p  Pn+p   i=1 |zk | i=0 zk ≤ P Portando al limite si ha che la serie zn converge e la disuguaglianza in tesi. Pn Lemma (Formula di Abel, sommmazione per parti). Sia A := n i=1 ai e Bn := Pn i=1 bi , an , bn successioni, allora vale: Pn Pn k=0 ak bk = an Bn − i=0 Bi (ai+1 − ai ) Pn Pn Pn Dimostrazione. ak Bk − a b = a b + a (B − B ) = a b + k k 0 0 k k k−1 0 0 k=1 k=0 k=1 P Pn−1 P Pn n−1 n−1 k=0 (ak − k=0 ak Bk−1 = a0 b0 + k=1 ak Bk + an bn − k=0 ak Bk−1 − a1 b0 = an Bn + ak+1)Bk Teorema (Criterio di Dirichlet). Date due successioni an , bn ,la prima a termini reali se ∃M t.c.: • an a termini positivi; • an decresciente; • an → 0 ; Pn • i=0 bn ≤ M definitivamente 10

zk

Allora la serie

P

an bn converge.

Dimostrazione. Per stima diretta   Pn+p Pn+p Pn     k=0 akbk | = k=n+1 ak bk = Pk=0 ak bk − |  an+p Bn+p − an Bn − n+p Bk (ak+1 − ak ) ≤ Man i=n+1

Essendo an infinitesima per il criterio di Couchy converge.

Osservazione. Il criterio di Leibniz e` un caso particolare del criterio di Dirichlet. P P Teorema. Siano an = A ∈Pℜ una serie assolutamente convergente e bn = B n una serie convergente e cn := k=1 ak bn−k P cn = AB Pn Pn Pn P Dimostrazione. Sia An := |an |, i=1 ai , Bn := i=1 bi , Cn := i=1 ci , α := βn := Bn − B allora

Cn = a0 b0 + a0 b1 + a1 b0 +· · ·+ a0 bn + a1 bn−1 +· · ·+ an b0 = a0 Bn + a1 Bn−1 +· · ·+an B0 = a0 (B + βn ) + a1 (B −βn−1 )+ · · ·+ an (B + β0 ) = An B + a0 βn + a1 βn−1 + · · ·+ an β0 =: γn

`e suffiente ora dimostrare che γn → 0. ∀ǫ∃N t.c. |βN | < ǫ per cui Da cui la tesi.

1.5

|γn | ≤ ǫα

Riordinamento delle serie

Definizione. Sia an una successione allora bn si dice riordinamento di an se esiste una funzione biiettiva σ : N → N t.c. bn = aσ(n) P Teorema. Sia an una serie assolutamente convergente allora preso un qualsiasi P P P suo riordinamento bn di an si ha che bn converge assolutamente e an = bn P P Dimostrazione. La seri an `e di Couchy e lo e` anche |an |. Siano ora sn le somme P parziali e si ha che per 0∃¯ n, sn < ǫ, n > n ¯ . Sia oraP bn P il criterio di Couchy ∀ǫ > P un riordinamentp di an . Si noti che ∀ǫ > 0∃δ, |bn | ≤ ǫ, n > δ. Quindi P bn `e convergente perch`e assolutamente convergente. Siano s′n le somme parziali di bn quindi si notiPche ∃p, q ∈ N, p > δ t.c. i termini generali Pdella somma pariziale fino al q di anPsono contenuti nei termini generali di bn fino al p. Quindi |sn − sp′ | ≤ |sp′ | ≤ |bn | ≤ ǫ Quindi la somma delle due serie `e la stessa. 11

P Teorema. Sia an una serie convergente, ma non assolutamente convergente, ¯ n riordinamento di an t.c. P bn = l allora preso un qualsiasi l ∈ ℜ∃b

Dimostrazione. Siano P1 , · · · , Pn le somme parziali dei termini non negativi della P serie an e Q1 , · · · , Qn le somme parziali dei termini negative. Ora sia α ≤ β ∈ ℜ e αn , βn termini successioni di Couchy tali per cui αn → α, βn → β. Ora sino m1 , k1 ∈ N gli interi pi` u piccoli tali per cui P1 + · · · + Pm1 < β1 P1 + · · · + Pm1 + Q1 + · · · + Qk1 > α1 Quindi, iternado questo procedimento, si scelgano mi , ki ∈ N per cui Pmi−1 + · · · + Pmi < βi

Pmi−1 + · · · + Pmi + Qki−1 + · · · + Qki > αi Quindi P si creano due successioni P {mn }n∈N , {kn }n∈N che generano P un riordinamento di an . Chiamiamo quindi bn questo riordinamento di an . Si noti che α ≤ P bn ≤ β. Ponendo quindi α = β = L si ottine la tesi.

2

Successioni e serie di funzioni

Definizione. Una successioni di funzioni fn (x) si dice: • Convergente puntualmente in x0 ad una funzione f(x) se limn→∞ fn (x0 ) = f (x0 ). • Convergente puntualmente in A ⊂ ℜ ad una funzione f(x) se limn→∞ fn (x) = f (x)

∀x ∈ A.

• Convergente uniformemente in A ⊂ ℜ ad una funzione f(x) se limn→∞ supx∈A |fn (x) − f (x)| = 0. N.B.. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale Teorema. Siano f, fn : [a, b] → ℜ. Si supponga che : 12

• f, fn continue in [a, b], ∀n ∈ N; • fn → f, ∀n ∈ N; • fn monotona rispetto a n , ∀x ∈ [a, b]. Allora fn converge uniformemente ad f in [a, b]. Dimostrazione. Supponiamo la funzione crescente. Supponiamo per assurdo che ∃γ > 0 e una successione nk t.c.: supx∈[a,b] (fnk − f (x)) > γ

E quindi una successione xnk t.c.

fnk (xnk ) − f (xnk ) > γ

∀k ∈ N

Da cui si passa a : fm (x0 ) − f (x) > γ Che contraddice la tesi. Teorema (Continuit` a della funzione limite). Il limite uniforme di funzioni continue `e a sua volta continuo. Dimostrazione. ∀ǫ t.c.: Per continuit`a di fn ∃δ1 t.c. |fn (x) − fn (x0 )| < 3ǫ

Per convergenza uniforme ∃δ2 t.c.

|fn (x) − f (x)| < 3ǫ

|fn (x) − f (x0 )| <

ǫ 3

∀n > δ1

∀n > δ2 ∀n > δ2

Quindi si noti che: |f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0 )| ρ} Dimostrazione. Uso il criterio della radice. Teorema. Se una serie di potenze converge in z0 ∈ C allora converge anche nel segemento che unisce il centro degli assi con z0 : [0, z0 ] := {z ∈ C|z = tz0 , t ∈ [0, 1]} Dimostrazione. Si manipola la seri in modo da ottenere P P zn = (1 − z) sk z k Pn con sn = K=0 ak . Quindi si ha   P P (1 − z ) sk z k  ≤ ǫ |1 − z | z k = ǫ|1 − z | |z |n ≤ ǫ|z|n ≤ ǫ|z0 |n 1−|z| Da cui la tesi.

15

2.3

Serie di Taylor

Definizione. Dato un intervallo I ⊂ ℜ, x0 interno ad I ed f ∈ C ∞ (I) si dice serie di Taylor di f di punto iniziale x0 la serie di potenze P∞ f (n) (x0 ) (x − x0 )n n=0 n! Definizione. Una funzione, f ∈ C ∞ (I), I ⊂ ℜ intervallo, si dice:

• sviluppabile in serie di Tayler in I se la serie di Tayler di f converge ad f in tutto I . • analitica reale in I se ∀x0 ∈ I∃ρ > 0 t.c. f `e sviluppabile in serie di Taylor in (x0 − ρ, x0 + ρ). Teorema (Criterio di sviluppabilit`a). Sia I ⊂ ℜ un intervallo aperto e sia f ∈ C ∞ (I). Se ∃L, M > 0 t.c. |f (n) (x)| < LM n allora f `e sviluppabile (in serie di Tayler) in I. Dimostrazione. Con l’ausilio del resto di Lagrange si ha che   (n)   Ln+1 (0 ≤) f (x) − f (x0 ) + · · · + f n!(x0 )(x − x0 )n  ≤ M (n+1)! |x − x0 |n+1 → 0 Da cui la tesi.

3

Elementi di analisi complessa

Definizione. Una funzione si dice derivabile in senso complesso se ∃ il limite f ′ (z0 ) := limz→z0

f (z)−f (z0 ) z−z0

Osservazione. Data la definizione analoga al caso reale le propriet`a delle derivate nel caso reale sono estese anche al caso complesso. Lemma (Condizione di Couchy-Riemann). La funzione f `e derivabile in senso complesso in z0 se e solo se `e differenziabile in z0 e soddisfa ∂f (x0 ) ∂x

∂f + i ∂y (x0 ) = 0

16

Dimostrazione. Si pensi alle funzioni in due variabili. Il caso complesso `e un particolare tipo di spazio in due variabili. Quindi se le derivate parziali devono essere uguali allora si ottiene facilmente la tesi. Definizione. Una funzione si dice olomorfa se `e derivabile in tutto il suo dominio e le sue derivate sono continue in tutto il dominio. Una funzione olomorfa con dominio C si dice intera. Definizione. Una funzione f D ⊂ C → C si dice analitica complessa se per ogni P f (n) (z0 ) (z − z0 )n z ∈ Bρ (z0 ) z0 ∈ D e per ogni Bρ (z0 ) si ha f (z) = n!

3.1

Esponenziale, funzioni circolari e iperboliche

Definizione. Si definisce l’esponenziale complesso P zn ez := n!

Definizione. Un omomorfismo `e una funzione φ : V → K t.c. φ(x1 + x2 + · · · + xn ) = φ(x1 )φ(x2 ) · · · φ(xn )

Lemma. Valgono le seguenti propriet` a di ez : 1. `e una funzione ...