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UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO DEFORMACION SIMPLE ING FERNANDO URRUTIA 13 Ejercicios de deformación 3.- Durante una prueba esfuerzo-deformación se ha obtenido que para un esfuerzo de 35 MN/m2 la deformación ha sido de 167x10-6 m/m y para un esfuerzo de 140 MN/m2, de 667x10-6 m/m. Si el límite de prop...

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UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO

DEFORMACION SIMPLE ING FERNANDO URRUTIA

13

Ejercicios de deformación

3.- Durante una prueba esfuerzo-deformación se ha obtenido que para un esfuerzo de 35 MN/m2 la deformación ha sido de 167x10-6 m/m y para un esfuerzo de 140 MN/m2, de 667x10-6 m/m. Si el límite de proporcionalidad es de 200 MN/m2. ¿Cuál es el esfuerzo correspondiente a una deformación unitaria de 0.002? Si el límite de proporcionalidad hubiese sido de 150 MN/m2, ¿se hubieran deducido los mismos resultados? Razonar la respuesta. MN/m2 Limite de Proporcionalidad 200

DATOS σ1= 35 MN/m2

140

ε1= 167x10-6 m/m σ2= 140 MN/m2

35

ε2= 667x10-6 m/m SOLUCION. E= E=

ε1

=

m/m 167

ε2

667

35 MN/m2 167x10− 6

E= 209580.8383 MN/m2 E = 209.580 N/m2 Si el límite de proporcionalidad hubiese sido de 150 MN/m2 los resultados serian los

mismos puesto que los valores con los que se trabajaron están por debajo del mencionado(150 MN/m2). 

Aplicamos regla de 3 para obtener el esfuerzo correspondiente a una deformación de 0.02.

167x10-6 m/m

35 MN/m2

0.002 m/m

σ

σ=

∗ .

/

/

σ = 419.1617 MN/m2 σ = 419.1617 N/m2 El esfuerzo para una deformacion de 0.002 es de 419.1617 N/m2

4.- Una barra prismática de longitud L, sección transversal A y densidad ϼ se suspende verticalmente de un extremo. Demostrar que su alargamiento total es δ= ϼgL2/2AE. Llamando M a su masa total demostrar que también δ= MgL/2AE.

Rw

DATOS. Longitud= L Seccion Transversal= A Densidad= ϼ

L SOLUCION. Sabemos que: M= ϼ x V

W

M= ϼ x (LxA) M= = ϼ x (LxA)

W = ϼxLxAxg E = Coeficiente de elasticidad.

ϼ=

Sabemos que ϼ=Densidad.



= ϼ

δ–0= ϼ

δ=

Sabiendo que: p, g, E son constantes.

[ ] 0L

ϼ

δ=

Multiplicamos al numerador y denominador por (A)

δ =

ϼ

x

Sabiendo que ϼ =

Seccion =A

δ = δ=

x

5.- Una varilla de acero que tiene una sección constante de 300mm2 y una longitud de 150m se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de 20kN que depende de su extremo inferior. Si la densidad del acero es 7850kg/m3 y E= 200 x 103 MN/m2, determinar el alargamiento de la varilla. Indicación: Aplique el resultado del problema 204. DATOS. ϼ= 7850kg/m3

E= 200 x 109 N/m2 150 m

A= 300mm2 = 300x10-6 m2

L= 150m P= 20kN = 20 x 103 N 20 kN SOLUCION. δTOTAL = ϼcarga + ϼpeso δTOTAL = δTOTAL =





+

ϼ



δTOTAL = 0.0543 m δTOTAL = 54.3 mm

(

(

)



)

+

(

.



(

)(

)

)

6.- Un alambre de acero de 10m de longitud que cuelga verticalmente soporta una carga de 2000 N. Determinar el diámetro necesario, despreciando el peso del alambre, si el esfuerzo no debe exceder de 140 MPa y el alargamiento debe ser inferior a 5mm. Supóngase E= 200 GPa.

DATOS. L= 10m P= 2000N

ᶲ

σ= 140 MPa = 140x106 N/m2

δ ≤5mm ; ≤ 0.005m E= 200 GPa = 200 x 109 Pa.

A

SOLUCION.

δ= δ=

ᶲᶲ



ᶲ2= ᶲ2=

(

(





/ )( .)( .

ᶲ2= 0.0000255 m ᶲ = 5.0497 mm

)

10 m

)

2KN

7.- Una llanta de acero, de 10mm de espesor, 80mm de ancho y de 1500mm de diámetro interior, se calienta y luego se monta sobre una rueda de acero de 1500.5mm de diámetro. Si el coeficiente de fricción estática es 0.30, ¿Qué par se requiere para girar la llanta con respecto a la rueda? Desprecie la deformación de la rueda y use E= 200GPa. SOLUCION

80mm

Incremento Radial. λ= re - ri .

λ=

mm e= 10 mm Di= 1500 mm

λ= 0.25 mm λ=

∗

σ= σ=

=

ANCHO: (re – ri) = 80 mm ESFUERZO DE ACCION: Fr= μ(F) : Fr= (0.3)(F) MOMEMTO: M= Fr*(e) M=μ(F)e= μ(σ)(π)(80mm)(re + ri)e

F= σ π (re2 – ri2 )

M= μ

F= σ π (re – ri ) (re + ri )

M=μπ(0.08m)(

π (0.08m)(re + ri)e ) E*e*λ

M=0.3(π)(0.08)(200x109Pa)(2.5x10-4)(2.0003m)e M= 75.41 KN.m

8.- Una barra de aluminio de sección constante de 160mm2 soporta unas fuerzas axiales aplicadas en los puntos que indica la figura. Si E=70GPa, determinar el alargamiento, o acortamiento, total de la barra (No hay pandeo de este elemento).

35 kN

15 kN

0.8 m

30 kN

10 kN

1.0 m

0.6 m

2

1

3

4

SOLUCION A=160mm2 = 1.6 x 10-4 m2 E=70GPa Procedemos a realizar el cálculo de deformación para cada segmento y sumamos para obtener el valor total:



Sección 1-2.

ΣFx=0

δ=

PAB – 35KN=0

( .

( . )

δ12= 2.5 x 10-3 m

P12

35 kN

)

PAB=35KN 

Sección 2-3.

ΣFx=0

δ23=

PBC – 35K + 15K=0

(

(



)( .

35 kN

)( )

15 kN

)

δ23=1.7857x10-3 m

P23

PBC= 20KN



Sección 3 – 4.

-35k + 15k +30k + P34= 0 P34 = -45K +35K P34 = -10K

δ34=

.

( . )

35 kN

δ34= - 5.357x10-4 m

δTOTAL= δ12 + δ23 + δ34 δTOTAL= 2.5 x 10-3 m + 1.7857x10-3 m + (- 5.357x10-4 m) δTOTAL= 3.75 X 10-3 m EL ALARGAMIENTO TOTAL ES DE DE 3.75mm

15 kN

30 kN

P34

9.- Resolver el problema 9 intercambiando las fuerzas aplicadas en sus extremos, en el izquierdo la fuerza de 10KN y en el derecho la de 35KN. 10 kN

15 kN

0.8 m

30 kN

35 kN

1.0 m 2

1

0.6 m 3

4

SOLUCION A= 160mm2 = 1.6x10-4 m2 E=70GPa

SABIENDO QUE: AE=11200000

Procedemos a realizar el cálculo de deformación para cada segmento y sumamos para obtener el valor total: 

Sección 1-2.

ΣFx=0 P12 – 10KN=0

P12

10 kN

( . )

δ=

δ12= 0.071428 m

P12=10KN 

Sección 2-3. (

)( )

10 kN

ΣFx=0

δ23=

P23 – 10K + 15K=0

δ23=-0.00446 m

15 kN

P23

PB23= -5KN



Sección 3 – 4.

-10k + 15k +30k + P34= 0 P34 = -35KN

δ34=

.

10 kN

15 kN

δ34= - 1.875 X 10-3 m δTOTAL= δ12 + δ23 + δ34 δTOTAL= 0.071428 m + (-0.00446 m) + (- 1.875 X 10-3 m) δTOTAL= -1.607 X 103 m EL ALARGAMIENTO TOTAL ES DE DE 1.6071mm (acortamiento)

30 kN

P34

10.- Un tubo de aluminio está unido a una varilla de acero y a otra de bronce, tal como se indica y soporta unas fuerzas axiales en las posiciones señaladas. Determinar el valor de P con las siguientes condiciones: La deformación total no ha de exceder de 2mm ni las tensiones han de sobrepasar 140 MN/m2, en el acero, 80 MN/m2 en el aluminio ni 120 MN/m2 en el bronce. Se supone que el conjunto esta convenientemente anclado para evitar el pandeo y que los módulos de elasticidad son 200x103 MN/m2 para el acero, 70x103 MN/m2 para el aluminio y 83x103 MN/2 para el bronce. ALUMINIO A=600mm2

BRONCE A=450mm2

3P

0.6 m

ACERO A=300mm2

1.0 m

0.8 m

ALUMINIO

BRONCE

2P

ACERO

2P

3P P

4P

σBr= 120 MPa

σA= 140 MPa σAl= 80 MPa

0.6 m

1.0 m

1

2

3

SOLUCION Sabemos que

0.8 m 4

DATOS δ=

EA= 200x103 MN/m2

δTOTAL= 0.002m (Dato)

EAl= 70x103 MN/m2

δTOTAL= δ12 + δ23 + δ34 = δBr + δAl + δAc

EBr= 83x103 MN/m2



Realizamos sumatoria de fuerzas en X para cada sección y obtenemos el esfuerzo en los respectivos materiales (bronce, aluminio, acero)

Respecto al bronce (Punto 1-2) ΣFx= 0 3P + P12 = 0 P12 = -3P

δBr=

(

(



)( . )( .

)

δBr= -4.819 x 10-8 P



)

3P

P12

Respecto al aluminio (Punto 2 - 3) ΣFx= 0 3P – P + P23 = 0 P23 = -2P

δAl=

(

(

)( )(



)

δAl= - 4.762 x 10-8 P



3P

)

P

P23

Respecto al aluminio (Punto 3 - 4) ΣFx= 0 3P – 5P + P34 = 0 P34 = 2P

δAc= (

(



)( . )(

)

δAc= 2.6667 x 10-8 P



)

3P

P

4P

 Remplazamos en la condición inicial de δTOTAL= δ12 + δ23 + δ34 = δBr + δAl + δAc δTOTAL= (-4.819 x 10-8 P) + (- 4.762 x 10-8 P) + (2.6667 x 10-8 P) δTOTAL= - 6.9145 x 10-8 P ; Se conoce que por el dato del ejercicio que δTOTAL=0.002m P=

.



P= 28924.66 N P= 28.9247 KN

=

.

.



P23

11.- Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente rígidas están articuladas en A y en D y separadas en C mediante un rodillo, como indica la figura. En B, una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50kN. Determinar el desplazamiento vertical del rodillo situado en C. 50kN

E=200X109 N/m2 A=300 mm2 L=3m

2m

B

A 3m

2m

C 1.5 mδ

D

Cy X= Desplazamiento

SOLUCION  Realizamos sumatoria de momentos en A y en D.



δ=

ΣMD=0 (BARRA DC) -2(50KN) + 4(CY)=0

ΣMA=0 (BARRA AC) -4.5(CY) + 3(BY)=0

CY=

BY=

CY= 25kN

BY= 37.5kN

)

Procedemos a sacar la deformación que se produce en BY, Para poder obtener el desplazamiento total realizamos una semejanza de triángulos.

( )( ) ( )( )

=

δ= 1.875 mm 

. (



(

(

)

)

= 1.875 x 10-3 m

Semejanza de triángulos. Si: 3m 4.5m

1.875 mm x

X= 2.8125 mm

El desplazamiento total es de 2.8125mm

12.- Un bloque prismático de concreto de masa M ha de ser suspendido de dos varillas cuyos extremos inferiores están al mismo nivel, tal como se indica en la figura. Determinar la relación de las secciones de las varillas, de manera que el bloque no se desnivele.

TAL

Aluminio E=70 GPa L=6m

Acero E=200 GPa L=3m

TAc

1m

5m

1m

5m

A

B 3

2 W=mg



Realizamos momento respecto al punto A. Y sumatoria de fuerzas en Y.

ΣMA= 0 -3W + 5TAL=0

TAL=

ΣFY= 0 TAL + TAC - W = 0 TAC = W - TAL

= 0.6mg

TAC = mg TAC = 

Igualamos el esfuerzo del acero y del aluminio para obtener la relación que poseen estos dos materiales, sabiendo que δ =

δAL= δAC ( (

= o.4mg

)( )(

( .

=

) ( = ) ( )(

( .

∗(

) )(

)( )( )

=8.571428

= )

) )

( .

( )( .

)( )

∗(

)

)

∗ ∗



1

13.- La barra rígida AB, sujeta a dos varillas verticales como se muestra en la figura, esta en posición horizontal antes de aplicar la carga P. Si P=50kN, determine el movimiento vertical de la barra. Aluminio L=4m A=500mm2 E=70 G Pa

Acero L=3m A=300mm2 E=200 G Pa

B

A

2m

3m 50kN

SOLUCION 

Realizamos sumatoria de momentos respecto A. Y sumatoria de fuerzas en Y. ΣMa= 0 ΣFy= 0 -2P + 5TB = 0 -P + TB + TA= 0 ( ) TA= − TB = 50kN - 20kN TB= = TA= 30 kN TB= 20kN



Calculamos la deformación en A y B. δA = δA =

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )(

δA = 1.5mm

δB = )

δB =

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )(

δB = 2.2857mm

)



Del calculo de las deformaciones se puede concluir el siguiente grafico

B

A y

2m

z



1.5mm 0.78mm

2.2857mm

Mediante relación de triángulos tenemos que; 5m 2m

0.785mm z

Z= 0.3142 mm   

3m

Desplazamiento total es: DTOTAL=z + y DTOTAL= 1.8143mm

El desplazamiento total en el punto A es de 1.5mm. El desplazamiento total en el punto en donde se aplica la fuerza es de 1.8143mm. El desplazamiento total en el punto B es de 2.2857mm.

14.- Las barras rígidas AB y CD mostradas en la figura están apoyadas mediante pernos en A y en C, y mediante las varillas mostradas. Determine la máxima fuerza P que pueda aplicarse como se muestra si el movimiento vertical de las barras esta limitado a 5mm. Desprecie los pesos de todos los miembros.

ALUMINIO L=2m A=500mm2 E=70GPa B

A

3m

3m

C

P

A

ACERO L=2m A=300mm2 E=200GPa D

B δAL=δvertical de la barra AB en su centro de gravedad

D C Desplazamiento total de las barras



Es indispensable saber que:

δVertical.AB + δVertical.CD=0.005 m

ecuación 1

δAL + δAC=0.005 m

ecuación 2



Realizamos momentos en A y en C. ΣMA=0 3PAL – 6 PAC=0 3PAL = 6 PAC PAL = 2PAC Sabiendo que

ΣMC=0 -3P + 6PAC=0 3P = 6PAC P = 2PAC

PAC=

PAC=

PAL=2( ) PAL=P 

Usamos la ecuación 2 y remplazamos sus respectivos valores.

δAL + δAC=0.005 m ( .

.

) ( . ) ( ) (

(

+ X

( .

)

+ x

)

.

) ( . ) ( ) (

= 0.005 m

57.14 P + 8.33 P = 0.005 m P=7.637 X 10-5 GN

(

) (

)

)

= 0.005 m

15.- Una varilla de longitud L y sección circular tiene un diámetro que varía linealmente desde D en un extremo hasta d en el otro. Determinar el alargamiento que le producirá una fuerza P de tensión.

P

P

D

d

L

SOLUCION

d

y

D

x Ld

dx

L LD

= y=

=

Podemos decir que

=

Despejando d=

∗

=

AREA. A= r2 A= ( A=

δ=

*

Integrando

δ=

Remplazamos ecuación 2 en ecuación 1.

Ecuación 1.

(

.

)2 )(

)

ECUACION 2.

δ=

δ= δ= δ= δ=

δ=

= (

( 2 )( 2 ) 4 ( )2

)

[

]

[

+

[(

)(

= ]=

)

]=

[

(



[( )

] )(

)

] Sabiendo que −

Conociendo que

(

+ )

=

=

16.- Una varilla delgada de longitud L y sección recta constante A, situada en un plano horizontal, experimenta una rotación alrededor de un eje vertical que pasa por uno de sus extremos. Llamando ϼ a la densidad y ω a la velocidad angular, demostrar que el alargamiento total de la varilla viene dado por ϼ ω2L3/3E. ω

ΣF= m(ar) F=A(dx) ϼ(ω2)x F=A(ω2) ϼ(x)dx ar=Aceleración radial

L

m=A(ϼ) x

dx

δ= aN x

w

( ) dx ( )

δ=

δ= δ=

ar dx

(

(

)(ϼ)

ϼ(

( )

[ ]

)(ϼ) 3 L

)

dx

17.- Dos varillas de aluminio AB y BC articuladas en A y C a soportes rígidos, como indica la figura, están unidas en B mediante un pasador y soportan la carga P=20 kN. Si las varillas tienen una sección de 400 mm2 y E= 70X103 MN/m2, determinar las deformaciones totales de cada una y el desplazamiento horizontal y vertical del punto B. Considérese α=300 y Ѳ=300. SOLUCION. TBAy=TAB.(Sen300)

A

L=3m

TBA 30

α

300 TBC

Ѳ P

P L=2m

C

TBCy=TBC.(Sen300)

TBCx =TBC.(Cos300)

C

Obtenemos las tensiones y deformaciones de las varillas BA y BC respectivamente.

ΣFx=0 TBCx + TBAx =0 TBA(Cos300) + TBc(Cos300) = 0

Sen300= TABy=TAB(Sen300)

TBA =-

(

TBA = - TBC

δBA=

TBAx =TAB.(Cos300)

0

B

B



A

(

) ( ) (

)

)

δBC=

= 2.1428 x 10-3 m

300 600

300

A 300

F D E

(

300

B 2.1428 x 10-3

ΣFx=0 TBAy - TBCy – P = 0 TBA(Sen300) - TBC(Sen300) - 20Kn=0 TBA(Sen300) - TBC(Sen300) = 20Kn -TBC(Sen300) - TBC(Sen300) = 20Kn TBC = -20Kn (Compresion) TBA = 20Kn (Tension)

1.428 x 10-3 mC

(

) ( )

)

= -1.428 x 10-3 m

D Triangulo Isoseles

B

A

x C

a

y d

F

D

E

c e

Sen300 =

Y= a + b y=2.857 + 0.71425 y=3.5714 mm

.



.



a= 2.857 mm Δ ABE Δ BCF

Sen300 =

Tan300=

d= 4.2857 mm

x= 0.4124 mm

b=0.71425 mm  

b

Δ BCF

E

b=

300

b c

e=d – a e=1.4285 mm

300

El desplazamiento total horizontal de B es de 0.4124 mm. El desplazamiento total vertical de B es de 3.3514 mm.

F

18.- Resolver el problema 17 si la varilla AB es de acero de E=200x103 MN/m2, α=450 y Ѳ=300, sin...