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UNIDAD 1: Esfuerzo y deformación

1.1 ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACION AXIAL ARIGINADOS POR CARGAS DE TENSION Y COMPRESION. Esfuerzo La fuerza por unidad de área, o la intensidad de las fuerzas distribuidas a través de una sección dada, se llama esfuerzo sobre esa sección y se representa con la letra griega (sigma). El esfuerzo en un elemento con área transversal A sometido a una carga axial P. por lo tanto, al dividir la magnitud P de la carga entre el área A, con lo cual se puede obtener la siguiente formula: Donde: P σ= A

� = Esfuerzo (Pa) F= Fuerza (N) A= Área sección transversal (m2)

Puesto que la cantidad de fuerza “PASCAL” es una unidad muy pequeña, en la práctica se utilizan múltiplos de este como: KPa, MPa o GPa.

Normalmente se usa un signo positivo cuando se habla de un esfuerzo de tensión (cuando el elemento se encuentra tensionado) y un signo negativo cuando se habla de compresión (cuando el elemento se encuentra a compresión). Deformación Axial Se dice que un objeto se encuentra bajo una carga axial cuando en este actúan dos fuerzas en sus extremos, las cuales se dirigen a lo largo de todo su eje. Si tomáramos como ejemplo la figura 1.1, se puede saber que su esfuerzo es perpendicular a su eje, y la fuerza interna, por lo tanto, perpendicular al plano dela sección, el esfuerzo se podría describir como un esfuerzo normal. Por lo tanto, la formula nos proporciona el esfuerzo normal en un elemento bajo una carga axial: P A Sin embargo, el resultado de esta fórmula solo nos dará el valor promedio del esfuerzo a través de la sección transversal, y no el valor de un esfuerzo en un punto específico de la sección transversal. Para poder definir el esfuerzo en un punto dado llamado Q en la sección transversal, debe considerarse una pequeña área llamada ΔA (el cual debe aproximarse a cero) como en la figura 1.2, y al dividir ΔF entre ΔA se obtiene un valor promedio del esfuerzo que hay en ΔA. Por lo que podemos obtener la siguiente formula: σ=

σ =lim ∆A

∆F ∆A

Uno se puede preguntar por qué el valor obtenido para el esfuerzo en un punto llamado Q, puede ser diferente al esfuerzo promedio obtenido mediante la fórmula de esfuerzo normal, esto se debe a que el objeto está sujeto a cargas concentradas P y P’

como se muestra en a figura 1.3a, las cuales son iguales y opuestas, sin embargo, esta puede variar muy poco si se toma en cuenta una sección la cual se encuentra lejos de los puntos de aplicación de las cargas concentradas, como se muestra en la figura 1.3c, pero esta diferencia se vuelve más grande y evidente si se toma encuentra una sección mas cercana a estos puntos (figura 1.3b y 1.3d). Las condiciones de equilibrio de cada una de las porciones del objeto requieren que esta magnitud sea igual a la magnitud P de las cargas concentradas, lo que significa que cada volumen de las superficies mostradas en la figura 1.3 debe ser igual a la magnitud P de las cargas. Algo que hay que aclarar es que una distribución uniforme del esfuerzo es posible sólo si la línea de acción de las cargas concentradas P y pasa a través del centroide de la sección considerada.

TIPOS de CARGAS

Prensa para el ensayo de materiales a compresión  Compresión axial  Tracción axial  Flexión  Torsión

¿Es la estructura suficientemente fuerte para resistir las cargas que se aplican? ¿Es suficientemente rígida para resistir las cargas que se aplican? En ESTATICA todos los cuerpos son RIGIDOS

En RESISTENCIA DE MATERIALES todos los cuerpos son DEFORMABLES Tanto la resistencia como la rigidez de una pieza estructural son función de:

 Dimensiones  Forma  Propiedades físicas del material

TENSIONES. CLASES

S=*A=P P A : Tensión específica o tensión en la barra S: Resultante de tensiones Unidades de  : Kg/cm2 σ=

Para que la carga aplicada P produzca realmente una tensión  en cada sección de la barra, tal como hemos supuesto, su línea de acción debe actuar según el eje de gravedad de la barra. Consideremos una sección recta arbitraria, y un elemento de área dA:

El elemento de fuerza que actúa dA es *dA La resultante (normal a la sección) de estas fuerzas paralelas es: S = ∫σ⋅dA = σ⋅ ∫dA = σ⋅ A

sobre

El punto de aplicación de la resultante de tensiones S se puede hallar por el teorema de momentos. Si( ´x , ´y ) es el punto de aplicación de S, se tiene: σ ∙ A ∙ ´x =∫ σ ∙ dA ∙ x=σ ∙∫ x ∙ dA σ ∙ A ∙ y´ =∫ σ ∙dA ∙ y =σ ∙∫ y ∙ dA Como: x G=

y G=

∫ x ∙ dA =¿ x ∙ dA=x ∙ A ∫ G A

∫ y ∙ dA =¿ ∫ y ∙ dA= y

G∙ A A Por tanto: σ ∙ A ∙ ´x =σ ∙ x G ∙ A → x´ =xG σ ∙ A ∙ y´ =σ ∙ y ∙ A → ´´y = y G

G

1.2 DIAGRAMA DE ESFUERZO-DEFORMACION (LEY DE HOOKE).

Es importante saber que existen propiedades mecánicas que describen el comportamiento que tiene un material al momento de aplicárseles fuerzas externas, como por ejemplo:  Fuerzas de tensión: Fuerza aplicada la cual estira al material a lo largo de toda su línea de acción (figura 2.1).  Fuerzas de compresión: Fuerza aplicada que intenta comprimir o cortar un material a lo largo de toda se línea de acción (figura 2.2).

En el caso de una deformación por tensión, el material se alarga en el sentido de las fuerzas aplicadas sobre el, y este mismo, se acorta en la dirección transversal a la fuerza aplicada. Ley de Hooke La ley de Hooke nos dice que hay una pequeña porción inicial del diagrama Esfuerzo-Deformación en el cual el esfuerzo es directamente proporcional a la Deformación por lo tanto puede escribirse:

Donde: σ=Eϵ

�= Esfuerzo (Pa) E= Modulo de Elasticidad o de Young(Pa)

∈= Deformación El Limite de proporcionalidad de un material es conocido como El máximo valor de esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke. El módulo de elasticidad E representa la tensión que produciría una deformación igual a la unidad (ε = 1). Grafica Esfuerzo- Deformación La grafica Esfuerzo-Deformación nos muestra ciertas propiedades mecánicas del material. Suponiendo que la fuerza inicial aplicada es cero, la cual va incrementando gradualmente hasta que el material se rompe, y cada cierto tiempo se va registrando en la gráfica el esfuerzo aplicado contra la deformación.

Algunas de estas propiedades son: 1.- Resistencia a la fluencia (σy) Es el esfuerzo que debe aplicarse sobre el material para que inicie su deformación Permanente. 2.- Modulo de elasticidad (E) Sera la pendiente de la línea recta que se forme en la zona elástica de la curva.

GRAFICA “ESFUEROZP-DEFROMACION Relación de Poisson (μ) Es la relación entre la deformación longitudinal y la lateral: ϵ lateral ϵ longitudinal 4.- Esfuerzo Máximo (σu) Es el valor máximo de esfuerzo que puede aplicarse sobre el material, cuando este se iguala, se inicia la Estricción y luego la fractura del material. μ=

ELASTICIDAD. DEFORMACION. LEY DE HOOKE

ε=  

Alargamiento Deformación o alargamiento unitario

δ ¿

LEY DE HOOKE

P ∙∨ ¿ A∙ E ¿ P∙∨ =¿ A 1 δ= ∙¿ E Como: σ=

P A

Y

ε=

δ ¿

σ =E ∙ ε La tensión es proporcional a la deformación σ E= ε Unidades de E = kg/cm2

Por definición, el módulo de elasticidad E representa la tensión que produciría una deformación igual a la unidad (ε = 1), o sea, la tensión de trabajo bajo la que una barra sería extendida hasta el doble de su longitud inicial. DIAGRAMA TENSION-DEFORMACION

1.3 ESFUERZO CORTANTE Y DEFORMACION ANGULAR. Esfuerzo Cortante El Esfuerzo Cortante es un tipo diferente de esfuerzo, ya que se obtiene cuando fuerzas transversales (En este caso llamadas P y P’) a un elemento. En el ejemplo del cuerpo AB, podemos ver que al efectuar el corte en C entre los puntos de aplicación de las fuerzas que actúan sobre él, se puede obtener un diagrama de porción de AC. Las fuerzas internas que existen en el plano de la sección, deben ser iguales a la fuerza P, y estas fuerzas internas son denominadas fuerzas cortantes, y la fuerza P es el cortante de la sección. Para encontrar el Esfuerzo Cortante Promedio en la sección, es necesario dividir el cortante entre el área de la sección, por lo que podemos escribir la siguiente formula: τ= P/A Donde: τ= Esfuerzo (Pa) F= Fuerza (N) A= Área sección transversal (m2) Deformación angular La Deformación Angular es la deformación que se obtiene en un eje de giro. Una manera de explicar este suceso es que se considere un elemento al cual se le va a aplicar un par de torsión T, como en la figura 3.1, el cual provocara un giro en el extremo con un Angulo∅, llamado ángulo de giro, lo que significa que, el ángulo de giro ∅ es igual a T dentro de un cierto rango de valores, y también, el ∅ es proporcional a la Longitud L del eje. Algunos de los principales propósitos de este análisis, es encontrar una relación entre ∅, T y L; y el otro es poder determinar la distribución de Esfuerzos cortantes en el eje. Un punto importante a resaltar en el caso de hablar de un eje circular, es que cuando se somete a torsión, “todas sus secciones transversales permanecen planas y sin distorsión” a diferencia de otras figuras con ejes no circulares

Para determinar la distribución de las deformaciones a cortante en un eje circular de longitud L y radio C, el cual ha sido girado en un ángulo de ∅, se considerará el pequeño cuadrado formado por dos círculos adyacentes y dos líneas rectas adyacentes trazadas en la superficie del cilindro, el cual será después girado y se convertirá en rombo. La deformación en corte γ debe ser igual al ángulo entre las líneas AB y A’B. Podemos notar que AA’ es igual a Lγ, mas, sin embargo, también es igual a ρ ∅, por lo tanto, podemos deducir que: γ=

ρ∅ L

Donde: γ = Deformación en el Corte (radianes) ρ = radio (mts) ∅ = Angulo (radianes) L = Longitud (mts)

1.4 ESFUERZO BIAXIAL (ESFUERZO EN PLANOS INCLINADOS) EN ELEMENTOS SUJETOS A TENSION Y COMPRESION. En este tipo de esfuerzo solo existen dos esfuerzos principales en dos direcciones, por ejemplo σ 1 y σ 2. En el esfuerzo biaxial se consideran elementos estructurales sometidos a cargas que actúan en las direcciones de los tres ejes coordenados y que producen esfuerzos normales σy y σx, todos distintos de cero. Si habláramos de un esfuerzo Multiaxial estamos considerando elementos los cuales están sometidos a cargas que actúan en las direcciones de los tres ejes coordenados, y que producen esfuerzos normales tanto en σz, σx y σy como se puede apreciar en la figura 5.1, los cuales difieren de cero, a diferencia de los esfuerzos Biaxiales en los cuales solo producen esfuerzos normales en σy y σx que como ya se mencionó, son diferentes a cero. Al momento de hablar de esfuerzos en planos inclinados, estamos hablando de esfuerzos que se aplican en algún objeto, pero en diferentes direcciones, ya sean tanto esfuerzos cortantes como normales. Al momento de hablar de esfuerzos en planos inclinados, estamos hablando de esfuerzos que se aplican en algún objeto, pero en diferentes direcciones, ya sean tanto esfuerzos cortantes como normales. Circulo de Mohr Para la resolución de este tipo de problemas es necesario recurrir a un método llamado Circulo de Mohr.

1.5 SISTEMAS HIPERESTATICOS Y ESFUERZOS TERMICOS. Esfuerzos Térmicos Un cambio de temperatura puede ocasionar que un material cambie sus dimensiones, ya que si la temperatura aumenta el material puede dilatarse, mientras que, si la temperatura disminuye, el material puede contraerse. Se dice que tanto la dilatación como las contracciones están linealmente relacionadas con el incremento o disminución de temperatura. En caso de hablar de un material homogéneo, es posible encontrar la deformación que presenta el material con una longitud L por medio de la siguiente formula: ᵟT=α ΔTL Donde: ΔT = Cambio de Temperatura del miembro (C o F)

α=Coeficiente lineal de Dilatación Térmica L = Longitud (mts) ᵟ T= Cambio algebraico de la longitud del miembro

Los Esfuerzos Térmicos son producidos cuando un miembro estáticamente indeterminado se produce desplazamientos térmicos por un cambio de temperatura, sin embargo este se encuentra restringido por soportes, y este puede ser calculado con la formula ya descrita. ᵟT Con la deformación por temperatura ᵟT debe asociarse una deformación ∈T = , por L lo que se puede concluir la siguiente formula: ∈T=α ΔT La deformación ∈T es considerada como una Deformación unitaria térmica, puesto que es causada por el cambio de temperatura en el material. Sistemas Hiperestáticos En estos sistemas el número de reacciones de apoyo desconocidas es superior al numero de ecuaciones proporcionadas por las condiciones de equilibrio, la supresión de una de esas reacciones no trae forzosamente la ruina dela ora, pero modifica las condiciones de funcionamiento estático, como el caso de una viga sobre 3 apoyos, de los cuales se suprime uno, la ruina no es inevitable, pero aparece un nuevo estado de equilibrio y de deformación de la viga. Se dice que una estructura es Hiperestática (también llamada estáticamente indeterminada) cuando esta estructura se encuentra en equilibrio, más sin embargo las ecuaciones son insuficientes para demostrar todas las fuerzas internas o las reacciones....