Demostracion Ecuaciones de Cauchy Riemann en coordenadas polares PDF

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E SCUELA P OLITÉCNICA N ACIONAL Nombre: Gabriela Armendáriz Tema: Ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares

Fecha: Junio, 2020 Materia: Análisis Complejo - MTMR424

Pruebe que se pueden expresar las ecuaciones de Cauchy-Riemann en términos de coordenadas polares, si usamos x = rcos (θ ) y y = rsen (θ ) ∂u 1 ∂u 1 ∂v ∂v =− = y r ∂θ r ∂θ ∂r ∂r Demostración. Si la función f (z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) es diferenciable en z0 = x0 + iy 0 , al usar la definición de derivada de una función compleja de variable compleja, se obtienen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas rectangulares: ∂v ∂u = ∂y ∂x

y

∂u ∂v =− ∂x ∂y

(1)

Ahora, sean w = x + iy ∈ C y f (z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) diferenciable en w. Transformando w a coordenadas polares se tiene que w = r(cos (θ ) + isen(θ ))

= rcos(θ ) + irsen(θ ), de donde, x = rcos(θ )

(2)

y = rsen(θ )

(3)

Despejando r en (2), se tiene que   ∂r x x ∂ ⇒ r= = cos (θ ) ∂x cos (θ ) ∂x 1 = cos (θ )

(4)

Por otra parte, despejando θ en (3), θ = sen−1

 y r

⇒

∂ h −1  y i ∂θ sen = r ∂y ∂y

= q

1 r

(por la derivada de arcsin(ax) respecto de x)

y

1 − ( r )2

1 = p r 1 − sen2 (θ ) 1 = p r cos2 (θ ) 1 = rcos(θ )

(elevando (3) al cuadrado) (sen2 (θ ) + cos 2 (θ ) = 1) (5)

Es importante notar que con este cambio de variable, u ( x, y ) ⇒ u (r, θ )

y

v( x, y ) ⇒ v(r, θ )

Además, r y θ dependen de x e y. Por lo tanto, al derivar u (r, θ ) con respecto a x o con respecto a y, se tiene la derivada de una función compuesta y lo mismo ocurre para v(r, θ ). ∂u Así, usando (4) y la regla de la cadena para fijando θ y derivando con respecto a r seguimos que ∂x ∂u ∂r ∂u = ∂r ∂x ∂x

1

∂u 1 = ∂r cos (θ ) Ahora, usando (5) y la regla de la cadena para

(6)

∂u fijando r y derivando respecto a θ se tiene que ∂y ∂u ∂θ ∂u = ∂y ∂θ ∂y ∂u 1 = ∂θ rcos(θ )

Del mismo modo, usando (5) y la regla de la cadena para

∂v fijando r y derivando con respecto a θ, se sigue que ∂y

∂v ∂θ ∂v = ∂y ∂θ ∂y ∂v 1 = ∂θ rcos(θ ) Finalmente, usando (4) y la regla de la cadena para

(7)

(8)

∂v fijando θ y derivando con respecto a r se tiene que ∂x ∂v ∂r ∂v = ∂r ∂x ∂x ∂v 1 = ∂r cos (θ )

(9)

Reemplazando (6) y (8) en la ecuación izquierda de (1), se tiene que ∂u ∂u 1 1 ∂v ∂v 1 ⇒ = = ∂θ rcos(θ ) r ∂θ ∂r cos (θ ) ∂r

(10)

Reemplazando (7) y (9) en la ecuación derecha de (1), se tiene que ∂v ∂v 1 ∂u 1 ∂u 1 ⇒ =− =− ∂r r ∂θ ∂r cos (θ ) ∂θ rcos(θ ) ∂v 1 ∂u = ⇒− r ∂θ ∂r De (10) y (11) se sigue que ∂u 1 ∂v = r ∂θ ∂r

y

−

2

∂v 1 ∂u = r ∂θ ∂r

(11)...