Det skrå kast - Rapport PDF

Preview

Summary

Rapport...

Description

DET SKRÅ KAST Forsøg, måleresultater og databehandling er udarbejdet i samarbejde med xxx

Formål Formålet med dette forsøg er: -

At bestemme kastets varighed tkast og kastevidden xmax for forskellige elevationsvinkler Eftervise formlerne for tkast og xmax

Teori Vi betragter, at det skrå kast har en begyndelsesfart v0 og elevationsvinkel α. I et koordinatsystem vælges der, at kuglen slippes i begyndelsespunktet til tiden t = 0s og lander igen på x-aksen, desuden er y-aksen lodret.

Vi antager, at startstedet er ved (𝑥0 , 𝑦0 ) = (0,0), og bevægelsen vil foregå i xy-plan. Stedkoordinaterne til x og y, som funktion af tiden t, kan findes således: 𝑥(𝑡) = 𝑣0 ⋅ 𝐶𝑜𝑠(𝛼) ⋅ 𝑡 + 𝑥0

1 𝑦(𝑡) = − ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑡 2 + 𝑆𝑖𝑛(𝛼) ⋅ 𝑡 + 𝑦0 2

(𝟏) (𝟐)

x(t) angiver stedet på x-aksen i meter (m) til tidspunktet t y(t) angiver stedet på y-aksen i meter (m) til tidspunktet t v0 er begyndelsesfarten i m/s α er elevationsvinklen målt i grader (°) t er tiden målt i sekunder (s) 1

g er tyngdeaccelerationen målt i m/s2 x0 startstedet på x-aksen i meter (m) y0 startstedet på y-aksen i meter (m)

For at beregne kastets varighed til samme højde, sagde jeg tidligere, at startstedet er (𝑥0 , 𝑦0 ) =

(0,0), det betyder, at jeg kan sætte 𝑦(𝑡) = 0, da det er samme start og slut højde. 𝑦(𝑡) = 0

Som man kan se i ligning (2), kan jeg indsætte det udtryk på 𝑦(𝑡)’s plads og indsætte 𝑦0 = 0, da jeg sagde, at startsteddet er (𝑥0 , 𝑦0 ) = (0,0).

1 − ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑡 2 + 𝑆𝑖𝑛(𝛼) ⋅ 𝑡 + 0 = 0 2

Efterfølgende sætter t udenfor parentesen. 𝑡 ⋅ (−

1 ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑡 + 𝑣0 ⋅ 𝑆𝑖𝑛(𝛼)) = 0 2

Nu bruger jeg nulreglen, så hvis det skal give 0 som svar, så skal enten følgende være lig med 0: 𝑡=0

1 − ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑡 + 𝑣0 ⋅ 𝑆𝑖𝑛(𝛼) = 0 2

Hvor 𝑡 = 0 er starttiden, men jeg kan reducere det andet udtryk, hvor jeg isolerer t: 1 − ⋅ 𝑔 ⋅ 𝑡 + 𝑣0 ⋅ 𝑆𝑖𝑛(𝛼) = 0 ⟺ 2 𝑡=

2 ⋅ 𝑣0 ⋅ 𝑆𝑖𝑛(𝛼) = 𝑡𝑘𝑎𝑠𝑡 𝑔

(𝟑)

Dermed har jeg fundet formlen for kastets varighed, tkast. For at finde kastevidde vil jeg indsætte 𝑡𝑘𝑎𝑠𝑡 på t’s plads i ligning (1), og indsætte 𝑥0 = 0, da jeg sagde, at startsteddet er (𝑥0 , 𝑦0 ) = (0,0)

2 ⋅ 𝑣0 ⋅ 𝑆𝑖𝑛(𝛼) )+0 ⟺ 𝑥(𝑡𝑘𝑎𝑠𝑡 ) = 𝑣0 ⋅ 𝐶𝑜𝑠(𝛼) ⋅ ( 𝑔

2

𝑥(𝑡𝑘𝑎𝑠𝑡 ) =

𝐶𝑜𝑠(𝛼) ⋅ 2 ⋅ 𝑣02 ⋅ 𝑆𝑖𝑛(𝛼) ⇔ 𝑔

Man kan nu reducere udtrykket, idet 𝐶𝑜𝑠(𝛼) ⋅ 2 ⋅ 𝑆𝑖𝑛(𝛼) = 𝑆𝑖𝑛(2 ⋅ 𝛼). Så jeg får følgende udtryk: 𝑥(𝑡𝑘𝑎𝑠𝑡 ) =

𝑣02 ⋅ 𝑆𝑖𝑛(2 ⋅ 𝛼) = 𝑥𝑚𝑎𝑥 𝑔

(𝟒)

Dermed har jeg fundet formlen for kastevidden, xmax. Bemærkning: Når vinklen α er 45° (da 𝑆𝑖𝑛(2 ⋅ 45°) = 𝑆𝑖𝑛(90°) = 1), vil xmax være størst, da det er der, hvor sinus kan være størst.

Materiale Til at udføre disse forsøg har vi brugt følgende materiale: -

Kasteapparat med kastekugler Elektronisk ur Nedslagsplade Fotocelle Bordklemmer Papir Målebånd Carbonpapir Blyant

Forsøgsopstilling og udførelse Kasteapparatet Kasteapparatet består af tre dele: 1) Den første, som er en kanon med vinkelskala (0° til 90°) og fjeder med 3 indstillingsmuligheder svarende til 3 forskellige begyndelsesfarter v0. 2) Den anden er en fotocelle, som starter et ur, når kuglen forlader kanonen. 3) Den tredje er en nedslagsplade, som slukker uret. Hvoraf kastets varighed tkast kan bestemmes.

Opsætning af udstyret Som man kan se på billedet, bliver kanonen spændt godt fast til på bordkanten med to bordklemmer. Hvoraf kanonen affyres i alle forøg men den mellemste fart. Alle målinger fra kuglen sker, når kanonen ikke er ladt, da det er fra denne stilling, det skrå kast starter.

3

Til at starte med anbragte vi fotocellen på kanonen og tilsluttede stikket til det elektroniske ur, og så tilsluttede vi ligeledes det elektroniske ur til nedslagspladen, så vi kan måle kastets varighed tkast. Dernæst beklædte vi nedslagsplades med hvidt papir under et stykke carbonpapir, hvorefter kuglecentrets position i kanonen markeres. For hver af elevationsvinklerne α udføres to kast, hvor det første var et prøveskud, så vi vidste, hvor kuglen ville lande, og det andet var så vores måling. Vi målte xmax med et målebånd, og tkast aflæste vi på det elektroniske ur. Efterfølgende udfyldte vi vores skema, som står under afsnittet Resultater.

Resultater  tkast

s

xmax

m

30

35

40

45

50

0,459 21 1,960

0,558 50 2,195

0,615 00 2,295

0,688 29 2,390

0,751 73 2,354

55

60

0,793 0,853 23 98 2,235 2,140

65

70

75

80

85

0,891 75 1,860

0,931 09 1,565

0,958 39 1,145

0,958 33 0,777

0,982 57 0,420

Databehandling

Forneden kan man se alle resultater af de udregninger, som vi har lavet for 𝑆𝑖𝑛(𝛼) og 𝑆𝑖𝑛(2 ⋅ 𝛼). Nr.  tkast xmax

1 30 s 0,459 21 m 1,960

sin( ) sin(2 )

0,50

2 35 0,55 85 2,19 5 0,57

3 40 0,61 5 2,29 5 0,64

0,87

0,94

0,98

4 5 6 45 50 55 0,688 0,751 0,793 29 73 23 2,390 2,354 2,235

7 8 9 10 11 12 60 65 70 75 80 85 0,853 0,891 0,931 0,958 0,958 0,982 98 75 09 39 33 57 2,140 1,860 1,565 1,145 0,777 0,420

0,71

0,77

0,82

0,87

0,91

0,94

0,97

0,98

0,99

1

0,98

0,94

0,87

0,77

0,64

0,5

0,34

0,17

Jeg startede med at udregne 𝑆𝑖𝑛(𝛼) for hver af vinklerne. Eksempel 5 𝑆𝑖𝑛(𝛼5 ) Hvor α5 = 50° Det betyder, at 𝑺𝒊𝒏(𝟓𝟎°) = 𝟎, 𝟕𝟕.

𝑆𝑖𝑛(50°) = 0,77

Dernæst udregnede jeg 𝑆𝑖𝑛(2 ⋅ 𝛼) for hver af vinklerne. Eksempel 5 𝑆𝑖𝑛(2 ⋅ 𝛼5 ) 4

Hvor α5 = 50° 𝑆𝑖𝑛(2 ⋅ 50°) = 0,98 𝑆𝑖𝑛(100°) = 0,98

Det betyder, at 𝑺𝒊𝒏(𝟏𝟎𝟎°) = 𝟎, 𝟗𝟖.

Efterfølgende indsatte vi vores måleresultater og udregnede resultater i et (Sin(α), tkast)koordinatsystem, som kan ses forneden:

(Sin(α), tkast) 1,2 y = 1,0343x - 0,0464 R² = 0,998

1

tkast [s]

0,8 0,6 0,4 0,2

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Sin(α)

Denne graf viser sammenhæng mellem 𝑆𝑖𝑛(𝛼) og kastets varighed tkast. For at finde den fysiske betydning starter vi med at omformulere 𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑥, hvilket er den matematiske form, til en ligning med fysisk notation, hvilket man kan se i teoriafsnittet, som ligning (3). Her har vi ligning en: 𝑦 = 𝑎⋅𝑥 𝑡𝑘𝑎𝑠𝑡 =

2 ⋅ 𝑣0 𝑔

⋅ 𝑆𝑖𝑛(𝛼)

Jeg har valgt at tage b fra, da den ikke tilføjer nogen betydning til formlen, og fordi den er unødvendig og meget lille. Den burde teoretiskset gå igennem (0, 0). Derudfra kan vi også se, at den er ligefrem proportional, da vores R2-værdi er meget tæt på 1. Hældningskoefficienten er dermed

2⋅𝑣0 𝑔

= 1,0343 𝑠, som er k1.

Nu vil jeg bestemme v0 ved at isolere den i følgende formel: 𝑎⋅𝑔 2 ⋅ 𝑣0 = 𝑎 ⇔ 𝑣0 = 𝑔 2 𝑚

Dernæst indsætter jeg 𝑎 = 1,0343 𝑠 og 𝑔 = 9,82 𝑠2 i følgende formel 𝑣0 =

𝑎⋅𝑔 2

.

5

𝑚 1,0343 𝑠 ⋅ 9,82 𝑠2 2 𝑣0 = 𝑚 𝑣0 = 5,08 𝑠 Det betyder, at begyndelseshastigheden er 5,08 m/s. Nu vil jeg indsatte vores måleresultater og udregnede resultater i et (Sin(2⋅α), xmax)koordinatsystem, som kan ses forneden:

(Sin(2∙α), xmax) 3 y = 2,3824x - 0,0099 R² = 0,9946

2,5

xmax

2

1,5 1 0,5 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Sin(2∙α)

Denne graf viser sammenhæng mellem 𝑆𝑖𝑛(2 ⋅ 𝛼) og kastets varighed xmax. For at finde den fysiske betydning starter vi med at omformulere 𝑦 = 𝑎 ⋅ 𝑥, hvilket er den matematiske form, til en ligning med fysisk notation, hvilket man kan se i teoriafsnittet, som ligning (4). Her har vi ligningen: 𝑦 = 𝑎⋅𝑥 𝑥𝑚𝑎𝑥 =

𝑣02 ⋅ 𝑆𝑖𝑛(2 ⋅ 𝛼) 𝑔

Jeg valgte at tage b fra igen, da den ikke tilføjer nogen betydning til formlen, og fordi den er unødvendig og virkelig lille. Den burde teoretiskset gå igennem (0, 0). Derudfra kan vi også se, at den er ligefrem proportional, da vores R2-værdi er meget tæt på 1. Hældningskoefficienten er dermed

𝑣02 𝑔

= 2,3824 𝑚, som er k2.

Nu vil jeg bestemme v0 ved at isolere den i følgende formel: 𝑣02 𝑔

= 𝑎 ⇔ 𝑣0 = √𝑎 ⋅ 𝑔

Dernæst indsætter jeg 𝑎 = 2,3824 𝑚 og 𝑔 = 9,82

𝑚

𝑠2

i følgende formel 𝑣0 = √𝑎 ⋅ 𝑔.

6

𝑣0 = √2,3824 𝑚 ⋅ 9,82 𝑣0 = 4,84

𝑚 𝑠

𝑚 𝑠2

Det betyder, at begyndelseshastigheden er 4,84 m/s.

Diskussion Vi har eftervist formlerne for kastets varighed tkast og kastevidden xmax, da de er ligefrem proportional og danner rette linjer omkring punkterne. Desuden er vores R 2-værdi meget tæt på 1, og vores b-værdi er meget lav (0,0464 og 0,0099), hvilket skyldes nogle måleusikkerheder og fejlkilder, som kunne være en vis luftmodstand, da vi i vores forsøg ikke kunne undgå, at der ikke ville være luftmodstand. Udover det mener jeg, at metoden, hvor vi skulle lave en (𝑆𝑖𝑛(𝛼), 𝑡𝑘𝑎𝑠𝑡 )-koordinatsystem, har en bedre og præciser v0-værdi, da vi har en maskine til at måle tiden t, hvorimod ved forsøget med xmax er det os selv, der aflæser længden, hvor der godt kunne have været nogle usikkerheder med præcision. Jeg vælger nu at beregne forskellen mellem mine to fundne begyndelseshastigheder: 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑣𝑖𝑠 𝑎𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 =

𝑣æ𝑟𝑑𝑖1 − 𝑣æ𝑟𝑑 𝑖2 𝑣æ𝑟𝑑 𝑖2

⋅ 100%

Hvor værdi1 = 4,84 m/s og værdi2 = 5,08 m/s

𝑚 𝑚 4,84 𝑠 − 5,08 𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑣𝑖𝑠 𝑎𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒 = ⋅ 100% 𝑚 5,08 𝑠 𝒑𝒓𝒐𝒄𝒆𝒏𝒕𝒗𝒊𝒔 𝒂𝒇𝒗𝒊𝒈𝒆𝒍𝒔𝒆 = −𝟒, 𝟕%

Det betyder, at vores begyndelseshastighed fundet via 𝑡𝑘𝑎𝑠𝑡 er 4,7% større end vores begyndelseshastighed fundet med vores 𝑥𝑚𝑎𝑥. Forskellen kan skyldes, at der ikke har været nok præcision i målingen af lænden, som der har været ved målingen af tiden via det elektroniske ur.

Konklusion Vi har dermed eftervist formlerne for kastets varighed tkast og kastevidden xmax, da der er blevet dannet en ret linje omkring vores punkter, og vores R2-værdi er meget tæt på 1. Vi har regnet begyndelseshastigheden til 5,08 m/s og 4,84 m/s, hvor jeg selv synes, at 5,08 m/s er den mest præcise hastighed, hvilket jeg også begrunder i Diskussion.

7...