Determinación de la aceleración de la gravedad a través del péndulo simple. PDF

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Universidad Nacional de Facultad de Laboratorio de (1210). Semestre: 2020 2. No. 3. de la de la gravedad a del Alumno(s): Campos Betania Padilla Ayala Jair. Alcalde Maria de la Luz. Tecozautla Aparicio Alejandro Profesor: Enrique Carreto Grupo: 16. Fecha: Marzo , 2020. En esta analizamos el movimien...

Description

Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Química. Laboratorio de Física (1210). Semestre: 2020 - 2.

Práctica No. 3. Determinación de la aceleración de la gravedad a través del péndulo

Alumno(s): Hernández Campos Betania María. Padilla Ayala Jair. Seseña Alcalde Maria de la Luz. Tecozautla Aparicio Alejandro

Profesor: Enrique Carreto Cortés.

Grupo: 16.

Fecha: Marzo , 2020.

Introducción En esta práctica analizamos el movimiento del péndulo (movimiento armónico simple) tomando medidas de tiempo y longitud para lograr obtener la aceleración de la gravedad con dichas variables; de esta forma pudimos observar su tipo de movimiento. Sin embargo la importancia radica en relacionar dos variables que no siguen una tendencia lineal. Buscamos hacer un cambio de variable y simplificarla, para que, de esta forma su análisis fuera más sencillo. Es importante destacar que en todo el proceso fue importante tener en cuenta las incertidumbres correspondientes. No obstante la gravedad es muy importante en el campo de la física ya que en nuestro campo experimental, es responsable de muchas explicaciones a fenómenos. Es por eso que entender los efectos de la gravedad y el orígen de su valor, nos dió más percepción para entender sus consecuencias. Antecedentes Relaciones directamente proporcionales. Se dice que dos variables son directamente proporcionales el cociente de los valores nos da una constante. El cociente o razón de las cantidades correspondientes se llama constante de proporcionalidad. Se cumple: a b

=k

Péndulo. El péndulo fue utilizado por Newton para diversos experimentos, entre los cuales estaba determinar la constante de gravedad de la tierra, g. Es muy simple, consiste de un objeto con masa m suspendida en el punto o por un hilo de longitud l (con masa despreciable). Se basa en la fórmula que relaciona el periodo, T, del movimiento oscilatorio efectuado por el péndulo simple (para pequeñas oscilaciones y en ausencia de rozamiento) y su longitud, L, con la aceleración de la gravedad: T=2 Π

√

l g

Movimiento armónico simple.El movimiento armónico simple (MAS) es el más importante de los movimientos oscilatorios periódicos ya que es el más sencillo de analizar y constituye una descripción bastante precisa de muchas oscilaciones que se presentan en la naturaleza. Además cualquier movimiento oscilatorio periódico se puede considerar como la superposición (suma) de varios MAS. El MAS es un movimiento de vaivén con una amplitud determinada respecto a la

posición de equilibrio. Es un movimiento acelerado cuya velocidad y posición cambian continuamente aunque sus valores se repiten a intervalos de tiempo regulares. Desde otro punto de vista es un movimiento armónico simple aquel que pueda ser descrito con una ecuación del tipo: x = A sen φ = A sen (ωt + φ0) En donde Elongación x: distancia del cuerpo que oscila al punto de equilibrio. Amplitud A: valor absoluto de la elongación máxima. Frecuencia f: número de oscilaciones que se producen en la unidad de tiempo. Periodo T: tiempo que dura una oscilación. Frecuencia angular ω: frecuencia expresada en radianes en la unidad de tiempo. Fase φ: valor angular que define la posición en cada instante. Constante de fase o fase inicial φ0: valor de la fase en el instante en el que comienza la medida. Ajuste de tendencia lineal por el método de cuadrados mínimos. Este sistema consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, es por eso que fijamos distintos valores de la variable independiente ‘x’, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la variable dependiente ‘y’. Una vez hecho esto, se obtiene una serie de puntos (xn,yn) que una vez graficados deberían de verse como una línea recta. Sin embargo, los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente alineados. El método de mínimos cuadrados determina los valores de los parámetros a y b de la recta que mejor se ajuste a los datos experimentales. En su forma más simple, busca minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes datos. Comúnmente se usa para analizar una serie de datos que se obtengan de un estudio para expresar su comportamiento de manera lineal y minimizar los errores Gráficas obtenidas mediante el cambio de variable. Es transformar cualquier tipo de función a una línea para simplificar. De otra forma se puede decir que linealizamos, es decir, convertimos funciones que no son lineales en lineales.

Objetivos. ● Determinar la aceleración de la gravedad mediante la medida del periodo de un péndulo, constituido por una masa puntual suspendida del extremo de un hilo delgado de cierta longitud.

● Realizando un cambio de variable, ajustar los datos obtenidos a la línea recta.

Hipótesis. ● El período de oscilación del péndulo simple será independiente de la masa y de de la amplitud del ángulo, únicamente dependerá de la longitud del hilo y de la aceleración de la gravedad. ● La aceleración que experimentará nuestra masa será constante para todos los casos experimentales.

RESULTADOS EXPERIMENTALES Tabla 1. Datos experimentales obtenidos a través de un péndulo simple.

Longitud pendular (Cm)

T1 (s)

T2 (s)

T3 (s)

T4 (s)

T5 (s)

Medida 1

17.8 ± 0.1

0.9043 ± 0.0001

0.9042 ± 0.0001

0.9004 ± 0.0001

0.9033 ± 0.0001

0.9034 ± 0.0001

Medida 2

26.0 ± 0.1

1.0819 ± 0.0001

1.0795 ± 0.0001

1.0816 ± 0.0001

1.0806 ± 0.0001

1.0782 ± 0.0001

Medida 3

37.8 ± 0.1

1.2786 ± 0.0001

1.2775 ± 0.0001

1.2781 ± 0.0001

1.2784 ± 0.0001

1.2783 ± 0.0001

Medida 4

51.9 ± 0.1

1.4833 ± 0.0001

1.4934 ± 0.0001

1.4882 ± 0.0001

1.4890 ± 0.0001

1.4863 ± 0.0001

Medida 5

58.5 ± 0.1

1.5858 ± 0.0001

1.5859 ± 0.0001

1.5848 ± 0.0001

1.5879 ± 0.0001

1.5854 ± 0.0001

Medida 6

58.9 ± 0.1

1.5882 ± 0.0001

1.5879 ± 0.0001

1.5929 ± 0.0001

1.5871 ± 0.0001

1.5885 ± 0.0001

Medida 7

62.5 ± 0.1

1.6318 ± 0.0001

1.6296 ± 0.0001

1.6304 ± 0.0001

1.6299 ± 0.0001

1.6269 ± 0.0001

Medida 8

66.5 ± 0.1

1.6818 ± 0.0001

1.6845 ± 0.0001

1.6840 ± 0.0001

1.6843 ± 0.0001

1.6764 ± 0.0001

Medida 9

72.8 ± 0.1

1.7521 ± 0.0001

1.7518 ± 0.0001

1.7529 ± 0.0001

1.7520 ± 0.0001

1.7525 ± 0.0001

Medida 10

89.4 ± 0.1

1.9329 ± 0.0001

1.9350 ± 0.0001

1.9347 ± 0.0001

1.9339 ± 0.0001

1.9340 ± 0.0001

Medida 11

105.5 ± 0.1

2.0934 ± 0.0001

2.0929 ± 0.0001

2.0929 ± 0.0001

2.0932 ± 0.0001

2.0931 ± 0.0001

Tratamiento de datos

❖ Determinar para el periodo de oscilación, el promedio, la desviación típica de la muestra ( σ ), la incertidumbre tipo A (uA) y la incertidumbre combinada (uC).

Tabla 2. Promedio, desviación típica de la muestra ( σ ), incertidumbre tipo A (uA) e incertidumbre combinada (uC). T(s) promedio

σ

Medida 1

0.9031 ± 0.0001

0.0016

0.0008

0.0004

Medida 2

1.0803 ± 0.0001

0.0015

0.0008

0.0008

Medida 3

1.2781 ± 0.0001

0.0004

0.0002

0.0002

Medida 4

1.4880 ± 0.0001

0.0037

0.0018

0.0018

Medida 5

1.5859 ± 0.0001

0.0012

0.0006

0.0006

Medida 6

1.5889 ± 0.0001

0.0023

0.0012

0.0012

Medida 7

1.6297 ± 0.0001

0.0018

0.0009

0.0009

Medida 8

1.6822 ± 0.0001

0.0034

0.0017

0.0017

Medida 9

1.7522 ± 0.0001

0.0004

0.0002

0.0002

Medida 10

1.9341 ± 0.0001

0.0008

0.0004

0.0004

Medida 11

2.0931 ± 0.0001

0.0002

0.0001

0.0001

uA

uC

Desviación estándar ejemplo de cálculo para la medida 1 s=

√

n

∑

i=1

s=

(0.9043−0.9031) 2 4

√

(xi−x) 2 n−1 2

2

2

+ (0.9034−0.9031) + (0.9033−0.9031) + (0.9004−0.9031) + (0.9042−0.9031) 4 4 4 4

s = √3.6 × 10 −7 + 3.025 × 10 −7 + 1.8225 × 10 −6 + 1.8 × 10

−8

+ 2.25 × 10

s =0.0016 Incertidumbre tipo A (uA) ejemplo de cálculo para la medida 1 U

A

=

S √n

−8

2

U

A

=

0.0016 √4

= 0.0004

Incertidumbre combinada (uC) ejemplo de cálculo para la medida 1 U U

C

=

C

=

√U

√(0.0004)

2

2 A

+ U B2

+ (0.0001)2 = 0.0004

❖ Construir el gráfico para la longitud pendular como función del periodo de oscilación y observar que el

tipo de curva que se obtiene en dicho gráfico no muestra una tendencia lineal entre las variables experimentales.

❖ Considerando la ecuación que define al periodo de oscilación en función de la longitud pendular, proponer un cambio de variable adecuado que permita obtener una tendencia lineal y construir el gráfico para la longitud pendular como función del cambio de variable pertinente.

Cambio de variable: T

2

= 4π 2 Lg = ( 4πg ) L

Y = mX

2

❖ Realizar el ajuste a través del método de los cuadrados mínimos y obtener el valor de la aceleración de la gravedad. y = 0.0407x + 0.1087 R² = 0.9998

mx = 0.0407x m=

4π 2 g

g=

4π 2 0.0407

= 0.0407 = 969.98cm/s 2 = 9.70 m/ s

2

GRAVEDAD: 9.70 m/ s 2 Incertidumbre de la pendiente y la ordenada:

Medida número xi (longitud) yi (T^2)

yi-mxi-b

(yi-mxi-b)^2

(xi)^2

1

17.8

0.8156

-0.1297

0.0168

316.8400

2

26

1.1670

-0.1637

0.0268

676.0000

3

37.8

1.6335

-0.2518

0.0634

1428.8400

4

51.9

2.2141

-0.3339

0.1115

2693.6100

5

58.5

2.5151

-0.3431

0.1177

3422.2500

6

58.9

2.5246

-0.3524

0.1242

3469.2100

7

62.5

2.6559

-0.3903

0.1523

3906.2500

8

66.5

2.8298

-0.4044

0.1635

4422.2500

9

72.8

3.0702

-0.4601

0.2117

5299.8400

10

89.4

3.7407

-0.5698

0.3246

7992.3600

11

105.5

4.3811

-0.6861

0.4708

11130.2500

sumatoria

-4.0852

√ √

1.7833

44757.7000

n

Sy =

∑ ((yi−mxi−b)ˆ2)

i=1

N −2

Sm = Sy

Sb = Sy

Sy =

√

N

√ Sb = Sy √ Sm = Sy

( ) n

2

N ∑ xi − ∑ xi

√ 1.7833 11−2

n

2

i=1

i=1

n

∑ xi2 i=1 n

( ) n

2 N ∑ xi − ∑ xi i=1

2

i=1

= 0.4451s 2

11 11×44757.7000−419385.7600

44757.700 11×44757.7000−419385.7600

= 0.005s 2/m = 0.3486s

2

m = (0.047 ± 0.005) b = (0.1087 ± 0.3486) Conclusiones Nos dimos cuenta que la forma en que se lleva a cabo experimentalmente cada medición podría variar en cada repetición al no tener un sistema perfecto, a pesar de esto cada una de nuestras mediciones resultó favorable, pues nos dimos cuenta que no existe una dispersión de datos grande ya que los valores de la incertidumbre (Tabla 2) son de orden de magnitud pequeña. Realmente podríamos haber hecho más mediciones para tener una precisión mayor, a pesar con los datos que obtuvimos tuvimos una buena aproximación a la aceleración de la gravedad.

También podemos ver que en la determinación de la aceleración de la gravedad con ayuda la pendiente de nuestra recta, que obtuvimos al hacer un cambio de variable, obtuvimos un valor con un % de error de 1.12, lo cual nos dice que nuestra estimación es más que aceptable.

Cuestionario: 1. ¿Qué implica (físicamente) que la gráfica de longitud pendular contra tiempo no sea una línea recta ? Que se trata de una aceleración y por tanto no crece linealmente, sino que lo hace exponencialmente. 2. ¿Qué significado físico tiene la pendiente de la gráfica que se obtiene con el cambio de variable? Nos dice que la gravedad como una constante. 3. ¿La incertidumbre encontrada a través de la propagación de incertidumbre se aproxima al valor de la incertidumbre de la pendiente ajustada por el método de cuadrados mínimos?

No, debe haber una diferencia bastante significativa entre las dos

incertidumbres. 4. ¿Qué factores influyen en la determinación del valor de la aceleración de la gravedad? Teóricamente sólo depende del período de oscilación y de la longitud de la cuerdas del péndulo, pero debido a que estamos realizando una prueba experimental influyen factores como lo son los errores aleatorios o sistemáticos como el paralaje de los instrumentos usados y obviamente el error humano. 5. Dada la experiencia en el laboratorio, ¿qué modificaciones realizaría en su experimento para obtener un valor de la aceleración de la gravedad más cercano con el valor teórico? Terminar la práctica en una sola sesión para que no existiera un error acumulado al hacerlo en 2 días diferentes, además de cambiar el material utilizado dado que en el segundo día de práctica a pesar de trabajar con el mismo hilo que en la primera sesión, este había sido cortado y las fotocompuertas usadas ambas sesiones no se encontraban en un buen estado. 6. ¿Cómo demostró Foucault que la Tierra gira sobre su propio eje? Foucault colgó un enorme péndulo de 68 metros de largo de la cúpula del Panteón de París con una pesada esfera de 30 kilogramos y en su extremo libre colocó una fina punta metálica que iba dejando un trazo por el suelo cubierto de arena, lo que permitía seguir su movimiento de forma clara y precisa. Una hora después de que el péndulo comenzará a moverse, observó que el dibujo que se había formado en el suelo mostraba que el

péndulo “había girado” varios grados respecto a su trayectoria original. En teoría, el plano de oscilación de un péndulo debería mantenerse fijo en el espacio; pero la rotación de la Tierra provoca que el plano de oscilación vaya variando. Así fue como se demostró que la Tierra gira sobre su propio eje.

Ejercicio 1 Considere el siguiente conjunto de datos que se midieron mediante una experiencia en el laboratorio siguiendo el modelo de caída libre. La resolución del cronómetro (empleado para medir el tiempo) es de 0.01 s y la resolución de la regla (empleada para medir la longitud) es de 1 cm. Tabla 1. Datos experimentales. # de medidas

Altura (m)

Tiempo (s)

1

1.00 ± 0.01

0.47 ± 0.01

2

0.80 ± 0.01

0.42 ± 0.01

3

0.60 ± 0.01

0.37 ± 0.01

4

0.50 ± 0.01

0.32 ± 0.01

5

0.40 ± 0.01

0.28 ± 0.01

Promedio

0.68 ± 0.01

0.37 ± 0.01

sumas

2.70 ± 0.01

1.49 ± 0.01

● Desviación estándar.

s=

√

n

∑

i=1

(xi−x) 2 n−1

= 0.0731

● Incertidumbre tipo A (UA). U

A

=

S √n

=

● Incertidumbre tipo B (UB). Dada por el cronómetro: UB = 0.01

● Incertidumbre combinada (Uc).

U

C

=

√U

2 A

+ UB2

=

s=

Xi

∑

i=1

0.47

0.10

0.01

0.05

0.0025

0.32

-0.05

0.0025

0.28

-0.09

0.0081

0.42

√

n

0.37

0.0231

0.0053

0.0731

● Ley de propagación de la incertidumbre.

Tiempo

Altura

UA (s)

0.0366

UA (m)

0.1377

UB (s)

0.01

UB (m)

0.01

UC (s)

0.0379

UC (m)

0.1380

-53.6987

(UC)2 (s2 )

0.001436 2883.5498

14.6092

(UC)2 (m2 )

(xi−x) 2 n−1

0.019044 213.4288

UC (m/s2 )

0.2887

Regresión lineal por el método de los cuadrados mínimos.

Tabla 2.Datos para obtener g por el método gráfico. Cambio de variable t2

Altura h

s2

m

0.2209

1.00

0.1764

0.80

0.1369

0.60

0.1024

0.50

0.0784

0.40

Promedio

0.1445

0.675

Suma

0.5781

2.70

Gravedad: Bibliografía I.

Newton, R. G. y Newton, R. G, Galileo's Pendulum: From the Rhythm of Time to the Making of Matter. Harvard University Press, Harvard, 2009.

II.

Baker, G. L y Blackburn, J. A., The pendulum: a case study in physics. Oxford University Press, Oxford, 2005....