TPN-4 - Determinación de la Gravedad teórica PDF

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Introduccion teorica y ejercicios obligatorios .
Construcción de Gráficos y representación de puntos
(Breve marco teórico)...

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GEOFÍSICA

2011

GRAVIMETRIA TRABAJO PRÁCTICO Nº 4 Cálculo de la Gravedad Normal o Teórica

INTRODUCCIÓN La gravedad normal o teórica es la gravedad obtenida a partir de fórmulas basadas en el establecimiento de un elipsoide de rotación que se aproxime lo más posible a la figura de la Tierra. Estas fórmulas se han ido modificando a medida que se han conocido con mayor precisión las dimensiones terrestres. Las distintas expresiones están dadas en función de la latitud, y la fórmula de 1984 tiene en cuenta el efecto atmosférico. LEY DE GRAVITACIÓN DE NEWTON Si cualquier cuerpo inicialmente estando en reposo cae sin ser estorbado, después de un segundo tendrá una velocidad de 9,80m/s en la dirección vertical. Después de un segundo más, su velocidad será: 9,80m/s + 9,80m/s = 19,60m/s. El aumento de la velocidad vertical de 9,80m/s de un cuerpo cayendo sin ser estorbado durante cada segundo se denomina aceleración de gravedad o sólo gravedad y se la expresa como 9,80m por segundo por segundo o es decir 9,80m/s2. El primer término “por segundo” indica la velocidad medida como distancia pasada durante un segundo, el otro “por segundo” indica la variación de la velocidad de 9,80m/s, que corresponde a un intervalo de 1s. La aceleración de la gravedad “g” se debe a la aceleración gravitatoria, que la tierra ejerce en cada cuerpo, menos la fuerza centrífuga causada por la rotación de la tierra y dirigida en dirección perpendicular al eje de rotación de la tierra y hacia fuera. La fuerza total, que actúa en el cuerpo, es igual al producto de su masa m y de la aceleración de gravedad g. Por consiguiente la atracción gravitatoria en cualquier lugar de la superficie terrestre tiene numéricamente el mismo valor como la fuerza gravitatoria ejercida a una masa unitaria en el mismo lugar. Según la ley de gravitación de NEWTON los cuerpos de masas m1 y m2 separados por una distancia r se influyen mutuamente por la fuerza F: Es decir que la fuerza F es igual al producto de las masas m1 y m2 e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre ellas (Primera ley de Newton)

F = G m1 x m2 r2 donde m1, m2 = masa del cuerpo 1 o 2 respectivamente,

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r = distancia entre los centros de los cuerpos de masa m1 y m2. G = constante de gravitación = 6,67 × 10 -8cm3g.s2 (CGS) = 6,67 × 10-11Nm2/kg2 (N = kgm/s2). La constante de gravitación G describe la fuerza expresada en N (Newton) ejercida entre dos cuerpos de masas 1kg, cuyos centros distan 1m entre sí y cuyas masas están concentradas en sus centros. Se la mide en el laboratorio. En el año 1797 la primera vez CAVENDISH realizó una medición de f resultando en un valor de f = 6,754 × 10-11Nm2/kg2. La segunda ley de Newton se expresa por la formula:

F = m1 × a a = F / m1 donde m1 = masa del cuerpo 1 en consideración a = aceleración producida por la masa m1 en su vecindad. La aceleración debida a un cuerpo de masa m1 en un punto de masa m2 en distancia r con respecto al centro del cuerpo de masa m1 se obtiene por división de la ecuación 'F = m1 × a = f × (m1 × m2)/r2' con m2 = 1. Por consiguiente:

a = G × (m1/r2). La unidad de la aceleración “a” es 1cm/s2 = 1 Gal (según Galilei) y 0,001cm/s 2 = 1mgal = 10gu (unidades de gravedad) o bien: Miligal = 10-3 gal = 10-3 cm . s-2 La unidad de la variación de la aceleración o mejor dicho del gradiente de la aceleración es 1s-2, 10-8s-2 = 1mgal/km y 10-9s-2 = 1E (Eötvös). EL POTENCIAL Y EL CAMPO GRAVITATORIO DE LA TIERRA Las superficies equipotenciales son superficies, que unen todos los puntos del mismo valor potencial Dos fuerzas distintas contribuyen al campo gravitatorio de la Tierra. En un lugar de la superficie terrestre la fuerza gravitatoria neta GN ejercida se constituye de la fuerza gravitatoria dirigida hacia el centro de la Tierra GT y la fuerza centrífuga GC dirigida perpendicularmente al eje rotativo y hacia afuera de la Tierra. Por consiguiente GN = GT + GC. La fuerza centrífuga en el ecuador es:

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Gc-ecuador = 

× rT

 = velocidad angular de la rotación de la Tierra = 7,29 × 10 5s-1 rT = radio de la Tierra, Para calcular la fuerza centrífuga ejercida en cualquier punto de latitud que no sea el ecuador (Latitud 0) se utiliza la siguiente formula:

GC = 2 × rT × cos2  donde  = latitud geográfica, Salvo a los polos, donde aC = 0 debido a que  = 0º, la fuerza centrífuga actúa en todos los demás lugares de la superficie terrestre y es apreciadamente menor en comparación a GT. Por esto se abrevia la fuerza gravitatoria neta solo con 'g'. En la medición de la fuerza gravitatoria neta no se puede distinguir entre GT y GC. La aceleración gravitatoria presente en una dirección definida se obtiene por diferenciación del potencial con respecto a la distancia en esta dirección. La superficie caracterizada por valores del potencial constantes se denomina superficie equipotencial. A lo largo de una superficie equipotencial se puede mover un cuerpo de un lugar al otro sin esforzarse en dirección opuesta a la gravedad. Una superficie equipotencial es la superficie del mar, aun la fuerza gravitatoria varía a lo largo de esta superficie mas que 0,5% entre el ecuador y los polos. VARIACIÓN DE LA GRAVEDAD CON LA LATITUD Radio Ecuatorial terrestre: 6.378.099 m Radio polar terrestre: 6.356.631 m Radio de una esfera de igual volumen: 6.371.200 m Polo N

75º 45º 0º Ecuador -30º -60º -90

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Como el radio de la Tierra aumenta desde los polos al ecuador, la gravedad tiene que disminuir a medida que vamos avanzando hacia el ecuador. La intensidad del campo gravitacional de la Tierra varía aproximadamente de 978 gal, sobre el ecuador, hasta 982,5 gal en el polo (es decir la diferencia va a ser igual a 4,5 gal = 4500 miligal). En esta disminución debe incluirse asimismo la acción de la fuerza centrífuga, que actúa en sentido contrario a la de la gravedad. En realidad, es precisamente la fuerza centrífuga la que ha ensanchado la tierra por el ecuador impidiendo así que nuestro planeta sea casi una esfera perfecta. Puede demostrase que la forma de la Tierra es muy similar a la que adoptaría un fluido de igual volumen. También se debe tomar en consideración un efecto de masa debido a la atracción del material suplementario en la prominencia ecuatorial. LA FORMA TEÓRICA Y LA FORMA GEOMÉTRICA DE LA TIERRA La forma teórica de la Tierra se describe por medio de la superficie equipotencial normal de la Tierra coincidente con la superficie del mar y denominada geoide. En la tierra firme se comprende como geoide la superficie que se asume por el nivel del agua ubicándose en un canal que atravesaría todo el continente de un océano al otro. El geoide involucra las variaciones del potencial, que originan entre otro en la distribución irregular de las masas en y encima de la corteza terrestre. El geoide se puede describir solo aproximadamente. La aproximación más sencilla es el esferoide definido por la función esférica, que se interrumpe usualmente después los términos cuadrados, puesto que los resultados ya se vuelven satisfactorios para su aplicación en la gravimetría. La figura geométrica de la Tierra se aproxima gruesamente por una esfera y con suficientemente exactitud por un elipsoide de rotación. Las reducciones gravimétricas de los datos gravimétricos observados se basan en un elipsoide de

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referencia definido por valores numéricos que especifican el radio ecuatorial de la Tierra, el coeficiente de aplanamiento, la masa total de la Tierra y por el requisito que la superficie del elipsoide sea una superficie equipotencial. Las variaciones entre el geoide (forma teórica) y el elipsoide de rotación se llaman “las ondulaciones del geoide ” y son una medida para la distribución irregular de las masas con respecto al elipsoide de rotación. Una ondulación de geoide positiva indica un exceso de masa, una ondulación de geoide negativa implica un déficit de masa.

GRAVEDAD NORMAL O TEÓRICA (g0) La gravedad normal g0 o mejor dicho el campo gravitacional normal de la Tierra se refiere al elipsoide de rotación, y se calcula con la siguiente fórmula general:

) gO = gE (1 + β sen2  - β1 sen2 2

(miligal)

 y = constantes  = latitud geográfica.

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Esta formula, llamada formula internacional de gravedad se basa en un valor absoluto de g = 981,274cm/s2 (Gal) medido por KÜHNEN y FURTWÄNGLER en Potsdam en 1906. La formula fue adoptada por la Unión Internacional de Geodesía y Geofísica en 1930. Fórmula de 1930 gE = 978049 miligal β = 0.0052884 β1= 0.0000059

) g0 = 978049 (1 + 0,0052884sen2 - 0,0000059sen22 Hoy día los levantamientos gravimétricos se reducen comúnmente aplicando la fórmula de gravedad de 1967 basada en el sistema de referencia geodésico de 1967 la cual en su forma más sencilla es (según DOBRIN & SAVIT, 1988): Fórmula de 1967 gE = 978031 miligal β = 0.0053024 β1= 0.0000058

) g0 = 978031 (1 + 0,0053024sen2 - 0,0000058sen22 o bien:

g0 = ge ((1 + k sen2)/(1-e2sen2)) g0 = aceleración normal de gravedad en Gal en la superficie del elipsoide de referencia  = latitud geográfica ge = 978,03184558 Gal k = 0,00193166338321 e2 = 0,00669460532856

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Fórmula de 1984:

 (1984) = 978032.67714 x 1 + 0.0019318513639 sen2  √ 1 – 0.00669437999013 sen2  En la tabla siguiente se presenta algunos valores de la gravedad normal g0 y de la variación de la aceleración de la gravedad correspondiente a distintas latitudes ( ). Latitud geográfica b en º 0 15 30 45 60 75 90

Gravedad normal g0 en mgal según fórmula de 1930 978049,0 978394,0 979337,8 980629,4 981923,9 982873,4 983221,3

Aceleración de gravedad en mgal/km según GASSMANN & WEBER (1960) 0 0,406 0,704 0,812 0,704 0,406 0

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EJERCICIOS: Cálculo de la gravedad normal o teórica 1- Calcular la gravedad teórica para distintas latitudes, y ciudades. 2- Graficar, en un sistema de coordenadas ortogonales (x: latitud; y: gravedad teórica). Latitud geográfica

Gravedad Teórica (1967)

0 -15 30 45 -60 -75 90 San Luis Chubut Tierra del Fuego Jujuy Neuquén Islas Malvinas GO g al

983,5 983,0

982,5 982,0 981,5 981,0 980,5 980,0 979,5 979,0

978,5 978,0

-90 -75º -60º -45º -30º -15º Polo S

0º

15º 30º 45º 60º 75º 90º Latitud

Ecuador

Polo N

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