Dinâmica Aplicada. Livro Texto adotado Dinâmica Mecânica para Engenheiros R.C. Hibbeler PDF

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Engenharia Mecatrônica

DINÂMICA APLICADA Livro Texto adotado: “Dinâmica: Mecânica para Engenheiros” R.C. Hibbeler. Samuel Sander de Carvalho [email protected]

Juiz de Fora - MG

http://www.fenemi.org.br/ifmec Livro Texto: Dinâmica: Mecânica para Engenheiros Hibbler

Prof. Samuel Sander Carvalho Engenharia Mecatrônica Disc. Dinâmica Aplicada

Cinemática de uma partícula Introdução: A mecânica Aplicada à Engenharia é dividida em duas áreas (Estática e Dinâmica) ⇒ Estática: Estuda equilíbrio de um corpo que está em repouso ou “movimento com velocidade constante”;

⇒ Dinâmica: Estuda movimento acelerado de um corpo; Cinemática: Trata-se somente dos aspectos geométricos do movimento Cinética: Análise das forças que causam o movimento Livro Texto: Dinâmica: Mecânica para Engenheiros Hibbler

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Cinemática de uma partícula Introdução: ATENÇÃO: A dinâmica é mais abrangente que a estática. Ambas as forças aplicadas a um corpo e seu movimento têm de ser levadas em consideração. Além disso muitas aplicações exigem o uso de cálculos e não somente álgebra e trigonometria. De toda forma, a melhor maneira de aprender dinâmica é: através de resolução de problemas.

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo:

Os estudos começarão através da cinemática de uma partícula que se move sob uma trajetória retilínea ou uma linha reta. ⇒ Partícula: Objeto que contém massa, porém, considera-se suas dimensões e formas desprezíveis. Em outras palavras, será usado corpos com tamanhos finitos.

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Cinemática retilínea: a cinemática de uma partícula é caracterizada ao se especificar em qualquer instante a velocidade, posição e aceleração. Ex: Em determinado instante

obtém-se:

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Posição: Utiliza um único eixo de coordenadas.

Único eixo de coordenadas.

A origem O é o ponto fixo na trajetória, e a partir desse ponto, estabelece a posição da partícula, pela coordenada da posição (s) em qualquer instante de tempo. Obs.: a posição é uma quantidade vetorial, pois ela tem intensidade, direção e sentido. (no entanto ela está sendo representada pelo escalar algébrico “s”, pois a direção não muda.

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Deslocamento: É a variação da posição. Obs.: o deslocamento também é uma quantidade vetorial. ATENÇÃO: Deslocamento não deve ser confundido com a distância percorrida pela partícula. Deslocamento.

Como s’ é menor que s deslocamento (+)

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Velocidade: Há vários tipos de velocidade. Ex.: Velocidade média, velocidade instantânea, etc. Se uma partícula percorre um deslocamento s durante o intervalo de tempo t, a velocidade MÉDIA da partícula durante esse intervalo de tempo é: Se tomarmos valores cada vez menor para t, a distância de s fica cada vez menor, dessa forma, obtém-se a velocidade INSTANTÂNEA por:

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Velocidade: Dessa forma, pelo limite calculado anteriormente, pode-se resumir a equação em:

Obs.: t ou dt é sempre positivo, o sinal utilizado para definir o sentido da velocidade é o mesmo de s ou ds. Livro Texto: Dinâmica: Mecânica para Engenheiros Hibbler

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Velocidade: Ocasionalmente, o termo “velocidade escalar média (vsp)méd” é usado, ela SEMPRE será “POSITIVA” e é definida como a distância total (sT) percorrida por uma partícula divida pelo tempo decorrido ( t).

Obs.: o sinal de negativo (-) na velocidade média, é exclusivo para o exemplo mostrado ao lado.

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração: Supondo que se conheça a velocidade de uma partícula qualquer em dois pontos, assim é possível saber a aceleração dessa partícula.

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração: Da mesma forma que para a velocidade, a aceleração instantânea é dada por:

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração: Pegando a equação Eq. 12.1 a substituindo na Eq. 12.2

substituindo

Obs.: Baseado nessa informação, concluise que com a derivada segunda da função posição encontra-se a aceleração. Livro Texto: Dinâmica: Mecânica para Engenheiros Hibbler

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração: Quando uma partícula está se movendo mais devagar que um dado instante anterior, diz-se que ela está desacelerando. Se seu referencial for positivo para a direita, então a aceleração para a direita é positiva e a desaceleração será negativa (-), porém, se a movimentação for para a esquerda, a aceleração será negativa e a desaceleração positiva (+).

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração: Quando uma partícula está se movendo mais devagar que um dado instante anterior, diz-se que ela está desacelerando.

com (-)

a(-) desaceleração Livro Texto: Dinâmica: Mecânica para Engenheiros Hibbler

(+)

a(+) desaceleração Prof. Samuel Sander Carvalho Engenharia Mecatrônica Disc. Dinâmica Aplicada

Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração: se a velocidade for constante, ou seja v’ = v, a aceleração é nula (ZERO).

Eq. 12.1 ⇒ Isolando dt em ambos Eq. 12.2 ⇒

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Igualando ambas as equações

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração: reorganizando

Essa Eq. é dependente da Eq. 12.1 e 12.2 se a velocidade for constante, ou seja v’ = v, a aceleração é nula (ZERO).

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Aceleração constante, a = ac: Quando a aceleração é constante, cada uma das três equações cinemáticas vistas até agora (12.1, 12.2 e 12.3) podem ser integradas para se obter fórmulas que as relacionem Posição (s); Velocidade (v); Aceleração constante (ac); Tempo (t).

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Velocidade como função do tempo: Supondo que

no instante

Podemos pegar a Eq. 12.2 e integrá-la.

integrando

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Velocidade como função do tempo: Supondo que

no instante

Podemos pegar a Eq. 12.2 e integrá-la. 0 resolvendo

Aceleração constante

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Posição como função do tempo: Equação completa: Supondo que Pela Eq. 12.1 tem-se pela Eq. 12.4 tem-se em 12.1 e integrando, obtém-se a Eq. Completa.

no instante , substituindo v da Eq. 12.4

integrando

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Posição como função do tempo: Equação completa: Supondo que Pela Eq. 12.1 tem-se pela Eq. 12.4 tem-se em 12.1 e integrando, obtém-se a Eq. Completa.

no instante , substituindo v da Eq. 12.4 0

0

resolvendo

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Posição como função do tempo: Equação completa: Supondo que Pela Eq. 12.1 tem-se pela Eq. 12.4 tem-se em 12.1 e integrando, obtém-se a Eq. Completa.

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no instante , substituindo v da Eq. 12.4

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Velocidade como função da posição: Supondo que Pela Eq. 12.3 tem-se

no instante em que e integrando, obtém-se:

resolvendo

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Velocidade como função da posição: Supondo que Pela Eq. 12.3 tem-se

no instante em que e integrando, obtém-se:

reorganizando

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Exemplo 1: o carro da figura abaixo move-se em uma linha reta de tal maneira que por um curto período sua velocidade é definida por   0,9   0,6 /, onde t está em segundos. Determine sua posição e aceleração quando t = 3s. Quando t = 0, s = 0.

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Exemplo 2: um pequeno projétil é disparado verticalmente para baixo em um meio fluido com velocidade inicial de 60 m/s. Devido à resistência do arrasto do fluido, o projétil experimenta uma desaceleração de   0,4  /  , onde v é dado em m/s Determine a velocidade e posição do projétil 4s após o disparo.

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Cinemática de uma pa Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Exemplo 3: um foguete está subindo verticalmente a 75 m/s quando, a 40 m do solo, ocorre uma avaria no motor. Determine a altura máxima sB alcançada pelo foguete e sua velocidade ao atingir o solo. Após a supressão da propulsão do motor, a aceleração do foguete devido a ação da gravidade, passa a ser de 9,81 m/s2 para baixo. Despreze a resistência do ar. SB = 326,697 m VC = -80,061 m/s Livro Texto: Dinâmica: Mecânica para Engenheiros Hibbler

Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Exemplo 4: Um ponto material metálico está submetido à influência de um campo magnético conforme ele se move para baixo num fluido que se estende da placa A à placa B. O ponto material inicialmente em repouso foi abandonado no ponto médio C, s = 100mm, e sua aceleração é a = (4S) m/s2, onde S é dado em metros. Determine a velocidade com que ele atinge a placa B, s = 200mm, assim como o tempo que leva para ir de C a B. Livro Texto: Dinâmica: Mecânica para Engenheiros Hibbler

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Resolução: Nesse caso, posso analisar o tempo gasto de C para B pela Eq. 12.1 lembrando, onde t = 0 s, s = 0,1 m. substituindo

integrando

integral

Integração Trigonométrica

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Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Resolução:

Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Exemplo 5*: Um ponto material move-se ao longo de uma trajetória horizontal com velocidade v = (3t2 - 6t) m/s. Supondo que no instante inicial o ponto se localiza na origem O, determine a distância percorrida em 3,5 s. Determine também a velocidade média e a velocidade escalar de percurso durante o intervalo de tempo de 3,5 s em (km/h). s = 6,125 m

s = 10,125 m

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Contínuo: Exercício 1: Uma motocicleta parte do repouso em t = 0 s e move-se ao longo de uma estrada retilínea com uma aceleração constante de 1,8 m/s² até alcançar uma velocidade de 15 m/s. Depois disso, ela irá manter essa velocidade. No mesmo instante em que a motocicleta inicia seu movimento, um carro se encontra a 1800 m de sua localização. O automóvel está indo de encontro com a motocicleta a uma velocidade escalar constante de 9 m/s. Determine o tempo e a distância percorrida pela motocicleta quando um t = 77,604 s passa pelo outro. t = 69,271 s Livro Texto: Dinâmica: Mecânica para Engenheiros Hibbler

s = 1101,55 m Prof. Samuel Sander Carvalho Engenharia Mecatrônica Disc. Dinâmica Aplicada

Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Se uma partícula tem movimento irregular ou variável, então, sua posição, velocidade e/ou aceleração NÃO podem ser descrita por uma única função, dessa forma, será necessário várias delas para diferentes intervalos de tempo. Nesses casos, a melhor forma é fazer uma análise através de representações gráficas. Um gráfico de movimento que relaciona quaisquer duas dessas variáveis ( , , ,  , pode ser usado para gerar gráficos subsequentes devido as relações diferenciais. Livro Texto: Dinâmica: Mecânica para Engenheiros Hibbler

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Entendendo os gráficos s-t, v-t e a-t. Para transpassar de um gráfico 

   →    ⇒           →   ⇒     !

Consequentemente, para transpassar    →   ⟹      

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Entendendo os gráficos s-t, v-t e a-t. Para transpassar de um gráfico 

   →    ⇒           →   ⇒     !

Consequentemente, para transpassar    →   ⟹      

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Entendendo os gráficos s-t, v-t e a-t. Para transpassar de um gráfico 

  →    ⇒ #$         →    ⇒ #$    !

Consequentemente, para transpassar    →    ⟹ #$     

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Entendendo os gráficos s-t, v-t e a-t. Para transpassar de um gráfico 

  →    ⇒ #$         →    ⇒ #$    !

Consequentemente, para transpassar    →    ⟹ #$     

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Entendendo os gráficos s-t, v-t e a-t. Para transpassar de um gráfico 

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Exemplo 6: O gráfico da Figura mostra a posição de uma bicicleta que se desloca num trecho retilíneo de uma estrada. Construa os gráficos v-t e a-t para 0 < t < 30 s. (m)

150 (m/s)

6  30

(m/s²)

0,6 6

6

0,6

s = 0,3t² 30

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Exemplo 7: O carro parte do repouso e se desloca ao longo da pista retilínea, acelerando a uma taxa constante durante 10 s e então desacelerando a uma taxa constante. Construa os gráficos v-t e s-t e determine o tempo t’ gasto da partida até a parada e a distância percorrida pelo carro.

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Cinemática de uma partícula Cinemática retilínea: Movimento Irregular: Exemplo 8: O gráfico v-s descreve o movimento de uma motocicleta. Construa o gráfico a-s para o movimento e determine o tempo necessário para a motocicleta atingir a posição s = 120 m.