Dinamica Rotacao - Apontamentos 5 PDF

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Dinâmica da rotaçãoVamos então ver como podemos relacionar o momento e a dinâmica de rotação. Vamos partir da lei fundamental da dinâmica para um ponto material:��⃗=��⃗��Vamos tomar o produto externo desta equação por⃗��, de forma a obtermos o momento da força no membro da esquerda:⃗��×��⃗=⃗��×��⃗��...

Description

Física Aplicada Documentation, Versão 1

Dinâmica da rotação Vamos então ver como podemos relacionar o momento e a dinâmica de rotação. Vamos partir da lei fundamental da dinâmica para um ponto material: 𝐹 = 𝑚𝑎 Vamos tomar o produto externo desta equação por 𝑟, de forma a obtermos o momento da força no membro da esquerda:  = 𝑟 × 𝑚𝑎 = 𝑚𝑟 × 𝑟 × 𝐹

𝑑𝑣 𝑑𝑡

Nota: Cálculo auxiliar — simplificação da derivada Note-se agora que a derivação do produto aplica-se também ao produto externo. Então podemos escrever 𝑟 ×

𝑑𝑣 𝑑𝑟 𝑑 (𝑟 × 𝑣) − = × 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑 = (𝑟 × 𝑣) − 𝑣 × 𝑣 𝑑𝑡 𝑑 = (𝑟 × 𝑣) , 𝑑𝑡

onde se usou o facto de que o produto externo de um vector por si próprio (neste caso a velocidade) é nulo. Podemos então voltar à equação e escrever  = 𝑑 (𝑚𝑟 × 𝑣) . 𝑀 𝑑𝑡 O membro da direito define o momento angular de um ponto material: 𝐿 = 𝑚𝑟 × 𝑣. A dinâmica da rotação de um ponto material é pois dada por Dinâmica da rotação de um ponto material

𝐿  =𝑑 𝑀 𝑑𝑡 Esta equação foi deduzida a partir da equação do ponto material, mas na sua forma mais geral é válida para corpos extensos. No entanto, a expressão que se deu acima para o momento angular é válida apenas para um ponto. Para um corpo extenso a sua expressão terá de ser outra, como se vai discutir a seguir de forma simplificada.

A redução da equação da dinâmica da rotação a uma forma mais simples Tal como o momento da força, o momento angular depende do eixo em torno do qual se dá a rotação. De uma forma geral, para qualquer corpo a rodar em torno de um eixo OO’, pode-se provar que𝐿 tem uma componente paralela, 𝐿‖ e outra perpendicular, 𝐿⊥ , ao eixo. Por outras palavras, não é certo que o momento angular seja paralelo ao eixo de rotação. No entanto, para cada corpo rígido existem sempre três eixos ortogonais entre si, tais que se o corpo rodar em 52

Capítulo 5. Dinâmica de rotação

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torno de qualquer um deles, o seu momento angular só terá a componente paralela a este eixo (a componente 𝐿⊥ será nula). Estes eixos denominam-se eixos principais de inércia. Neste caso o momento angular é alinhado com o eixo de rotação. Escrevemos então 𝐿 = 𝐼𝜔, onde 𝜔 é um vector paralelo ao eixo de rotação, com o módulo igual a 𝜔 e sentido dado pela regra da mão direita. Além disso I chama-se o momento de inércia em relação ao eixo de rotação OO’, e é uma constante. Quando a rotação é em torno de um eixo principal a equação da rotação fica Dinâmica da rotação em torno de um eixo principal

 = 𝐼 𝑑𝜔 = 𝐼𝛼 𝑀 𝑑𝑡 Trata-se por tanto de uma equação semelhante à lei fundamental da dinâmica, com as seguintes correspondências:  →𝑀  • 𝐹 • 𝑚→𝐼 • 𝑎 → 𝛼 Nesta cadeira só abordaremos casos em que a rotação se faz em torno de um eixo principal. Em particular também se pode mostrar que um eixo de simetria do corpo é um eixo principal

Cálculo do momento de inércia Para podermos usar a equação da rotação precisamos de conhecer o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (que assumiremos sempre como sendo um eixo principal). Vamos ver nesta secção alguns dos resultados fundamentais relativos ao cálculo do momento de inércia.

Momento de inércia de um ponto material Para os cáculos que se seguem assumimos que uma partícula descreve um movimento em torno de um eixo principal. Como o movimento da partícula define um plano, o eixo de rotação é perpendicular a esse plano. Como exemplo, podemos pensar na Terra, tomada como um ponto material à escala do sistema solar, e o eixo de rotação, perpendicular ao plano da eclítica, passando aproximadamente pelo centro do Sol. Por um lado já vimos que para um ponto material 𝐿 = 𝑚𝑟 × 𝑣. Por outro, para a rotação em torno de um eixo principal, 𝐿 = 𝐼𝜔. Então deve ser 𝑚𝑟 × 𝑣 = 𝐼 𝜔. Mas, de acordo com a definição que demos de 𝜔  e usando o já conhecido resultado 𝑣 = 𝜔𝑟, é fácil de ver que 𝑣 = 𝜔  × 𝑟. 5.5. Cálculo do momento de inércia

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Substituindo esta equação na anterior, 𝑚𝑟 × ( 𝜔 × 𝑟) = 𝐼𝜔 .

Nota: Cálculo auxiliar — o duplo produto externo O duplo produto externo satisfaz à seguinte regra: ( ) ( ) 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 𝑏 (𝑎 · 𝑐) − 𝑐 𝑎 · 𝑏 No caso da expressão em que estamos a trabalhar isso implica 𝑟 × (𝜔 × 𝑟) = 𝜔  (𝑟 · 𝑟) − 𝑟 (𝑟 · 𝜔 ) Ora o último produto escalar deve ser nulo, porque 𝜔 está alinhado segundo o eixo de rotação, que é perpendicular ao plano do movimento, onde, por sua vez, assenta 𝑟. Então 𝑟 × (𝜔 × 𝑟) = 𝜔  (𝑟 · 𝑟) = 𝑟2 𝜔

Inserindo o resultado do cálculo auxiliar feito acima, obtemos 𝑚𝑟2 𝜔  = 𝐼 𝜔, de onde concluímos Momento de inércia de uma partícula material

𝐼 = 𝑚𝑟2

Expressões genéricas do momento de inércia Para um conjunto de pontos materiais basta somar sobre todos os pontos: 𝐼=

∑n

𝑚i 𝑟2i ,

i=1

em que 𝑚i e 𝑟i são, respectivamente, as massa e distância ao eixo da i-ésima partícula. No caso de um corpo extenso temos de passar o somatório a integral. Neste caso consideramos volumes infinitesimais, com massa dm, que estão à distância r do eixo. Então ∫ 𝑟2 𝑑𝑚, 𝐼= V

em que o intergral é tomado ao longo do volume V. Se o corpo é homogéneo, então podemos escrever 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉, em que :math:‘rho‘é a densidade. Então

∫

∫ 𝑟2 𝜌𝑑𝑉 = 𝜌

𝐼= V

𝑟2 𝑑𝑉. V

É a partir desta expressão que se calcula os momentos de inércia. Faremos um exemplo mais à frente. 54

Capítulo 5. Dinâmica de rotação

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Teorema do eixo paralelo Consideremos que o momento de inércia é calculado relativamente a um eixo que passa pelo centro de massa e a um eixo paralelo a este, afastado do primeiro por uma distância d, tal como sugere a figura seguinte.

Para simplificar far-se-á a demonstração assumindo uma distribuição discreta de partículas. Mas a conclusão é igualmente válida para um corpo extenso. Assim, o momento de inércia calculado em relação ao eixo O (ver a figura) é 𝐼=

∑n

𝑚i 𝑟i2

i=1

Mas, como se vê da figura, 𝑟i = 𝑑 + 𝑟*i , em que 𝑟*i é a distância ao eixo que passa pelo CM e 𝑑é a distância entre os eixos. Então 𝐼=

∑n

2= 𝑚i (𝑟*i + 𝑑)

∑n

( ) 𝑚i 𝑟2*i + 𝑑2 + 2𝑟*i · 𝑑

i=1

i=1

=

∑n

𝑚i 𝑟2*i +

𝑚i 𝑑 2 + 2

∑n

𝑚i + 2𝑑 ·

𝑚i𝑟*i · 𝑑

∑n

𝑚i𝑟*i

i=1

i=1

= 𝐼cm + 𝑀 𝑑2 + 2𝑑 ·

∑n i=1

i=1

i=1

= 𝐼cm + 𝑑2

∑n

∑n

𝑚i𝑟*i

i=1

Nota: Cálculo auxiliar — o 3º termo é nulo Para calcular o 3º termo é preciso notar que 𝑟*i é a posição do ponto i no referencial do centro de massa, Então, se for 𝑟cm a posição do CM num qualquer referencial (que até pode ser o que inclui o eixo paralelo que estamos a considerar), temos 𝑟*i = 𝑟i − 𝑟cm .

5.5. Cálculo do momento de inércia

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Portanto, ∑n

𝑚i𝑟*i =

i=1

=

∑n i=1 ∑n

𝑚i (𝑟i − 𝑟cm ) =

∑n

𝑚i𝑟i −

∑n

𝑚i =

i=1

i=1

𝑚i𝑟cm =

i=1

i=1

𝑚i𝑟i − 𝑟cm

∑n

∑n

𝑚i𝑟i − 𝑀tot 𝑟cm

i=1

Mas o último termo é identicamente nulo pela defição do CM. Com efeito, ∑n ∑n 𝑚i𝑟i 𝑟cm = i=1 𝑚i𝑟i − 𝑀tot 𝑟cm = 0 ⇒ 𝑀tot i=1

Chegamos assim ao resultado: Teorema do eixo paralelo O momento de inércia, I, relativamente a um eixo paralelo a um eixo que passa pelo CM é 𝐼 = 𝐼cm + 𝑀 𝑑2 , em que 𝐼cm é o momento de inércia relativamente ao eixo que passa pelo CM, M a massa total do corpo e d a distância entre os eixos. Note-se ainda que, como 𝑀 𝑑2 é sempre positivo, entre todos os eixos numa dada direção, é o eixo que passa pelo CM que conduz a um momento de inércia menor.

Teorema do eixo perpendicular Consideremos um corpo plano e homogéneo, a 2 dimensões, tal como representado na figura. O eixo dos zz é perpendicular ao plano do corpo. O momento de inércia relativamente a este eixo será

∫ 𝑟2 𝑑𝑚.

𝐼z = A

Mas como se vê da figura, 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦 2 . Além disso, também é fácil de ver que os momentos de inércia para a rotação em torno dos eixos sos xx e yy são, repectivamente, ∫ 𝐼x = 𝑦 2 𝑑𝑚 A ∫ 𝐼y = 𝑥2 𝑑𝑚. A

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Capítulo 5. Dinâmica de rotação

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Voltando então à expressão de 𝐼z , podemos escrever ∫ ∫ ∫ ) ( 2 𝐼z = 𝑟2 𝑑𝑚 = 𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑚 = A

A

∫ 𝑥2 𝑑𝑚 + A

𝑦 2 𝑑𝑚 = 𝐼x + 𝐼y . A

Teorema do eixo perpendicular Para um objeto plano e homogéneo, o momento de inércia relativamente um eixo Oz perpendicular ao plano que contém o objeto é a soma dos momentos de inércia relativos a dois eixos perpendiculares, Ox e Oy, através do mesmo ponto no plano do objeto: 𝐼z = 𝐼x + 𝐼y Note-se ainda que se o objeto é simétrico, então os momentos de inércia relativamente aos eixos xx e yy têm de ser iguais, pelo que a expressão anterior fica 𝐼z = 2𝐼x = 2𝐼y

Exemplo: momento de inércia de uma barra Consideremos agora um exemplo simples para ver como se calcula o momento de inércia de um objecto contínuo. Vamos considerar a rotação em torno de um eixo que passa em torno do CM, que portanto coincidirá com o centro da barra, tal como indica a figura.

O comprimento total da barra é L. Podemos assumir o problema como unidimensional, e então trata-se apenas de uma linha. Ou podemos assumir que o objecto é 3D, mas que a sua espessura é muito pequena quando comparada com o comprimento e portanto que a distância ao eixo de rotação é dada por x, com um erro de aproximação muito pequeno. De acordo com a definição escrevemos então

∫ 𝑥2 𝑑𝑚.

𝐼= V

A figura sugere como é que se passa do elemento infinitésimal dm para dx. Como a barra é homogénea, podemos fazer uma regra de proporcionalidade: se ao comprimento L corresponde uma massa M, então ao comprimento infinitésimal dx corresponderá uma massa infinitésimal 𝑑𝑚 = Fazendo esta mudança de variável, obtemos ∫ ∫ 𝐼= 𝑥2 𝑑𝑚 =

𝑑𝑥 𝑀. 𝐿

∫ 𝑑𝑥 𝑀 L/2 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑀= 𝐿 −L/2 𝐿 −L/2 V ] [ [ ]L/2 𝑀 𝐿3 𝑀 𝑥3 1 𝐿3 = = = + 𝑀 𝐿2 24 𝐿 24 𝐿 3 −L/2 12

5.5. Cálculo do momento de inércia

L/2

𝑥2

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Momentos de inércia para alguns sólidos A seguinte imagem foi retirada de https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Moment_of_inertia_examples.gif e ilustra os casos mais habituais

Exemplo de aplicação Exemplo Considere-se a figura abaixo, em que duas massas estão suspensas de uma roldana. A roldana tem massa M, raio R e o seu momento de inércia em torno do eixo de simetria é o de um cilindro (𝐼 = 𝑀𝑅2 /2). A massa da corda é desprezável. Qual é a aceleração das massa?

Comecemos por representar todas as forças envolvidas:

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Capítulo 5. Dinâmica de rotação

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Note-se aqui um detalhe muito importante: as tensões da corda já não são iguais dos dois lados da roldana. Com efeito, se fossem iguais, então o momento total das forças aplicadas à roldana seria nulo, e esta não rodaria. Suponhamos então que a massa 1 sobe. Temos então que escrever as equações da dinâmica de translação para cada uma das massas e a equação da dinâmica de rotação da roldana. As equações de translação são 𝑇1 − 𝑃1 = 𝑚1 𝑎 𝑇2 − 𝑃2 = −𝑚2 𝑎 (o sinal negativo tema ver com a escolha feita: se 1 sobe, então 2 desce). A seguir temos de escrever a equação da rotação. Será 𝑀res = 𝐼𝛼, em que 𝑀res é a resultante dos momentos das forças e 𝛼 é a aceleraão angular. Estes dois termos resolvem-se assim: • 𝑀res é originado pelas tensões. Como as tensões são perpendiculares ao raio-vector com origem no centro da roldana, então no cálculo do momento da força teremos sin 𝜃 = sin 90 = 1 e 𝑀1 = |𝑟1 × 𝑇1 | = 𝑅𝑇1 Da mesma forma para a tensão 2. Neste caso 2 | = −𝑅𝑇2 𝑀2 = |𝑟2 × 𝑇 O sinal negativo obtém-se por aplicação da regra da mão direita. Uma outra forma ainda mais simples é pensar que 𝑇1 tende a fazer rodar a roldana no sentido positivo e 𝑇2 no sentido negativo, e daí a diferença entre os sinais atribuídos aos momentos de cada uma das tensões. A figura seguinte também ajuda a compreender aa equações anteriores:

5.6. Exemplo de aplicação

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• Quanto à aceleração angular, releciona-se da forma habitual com a aceleração linear: 𝑎 = 𝛼𝑅 ⇒ 𝛼 =

𝑎 . 𝑅

Isto é assim porque é a corda, que desce com aceleração a, que faz também rodas a roldana, com aceleração angular 𝛼. Juntando estas informações chegamos então à conclusão de que a equação para a rotação fica 𝑅(𝑇1 − 𝑇2 ) = −𝐼

𝑎 , 𝑅

onde o sinal negativo tem também a ver com a nossa assupção inicial: se a massa 1 sobe, a roldana roda no sentido negativo. E assim ficamos com o sistema ⎧ ⎪ ⎨ 𝑇1 − 𝑃1 = 𝑚1 𝑎 𝑇2 − 𝑃2 = −𝑚2 𝑎 𝑎 ⎪ ⎩ 𝑅(𝑇1 − 𝑇2 ) = −𝐼 𝑅 que é fácil de resolver:

A última equação dá

⎧ 𝑇 = 𝑃 1 + 𝑚1 𝑎 ⎪ ⎨ 1 𝑇2 = 𝑃2 − 𝑚2 𝑎 ⎪ ⎩ 𝑇 − 𝑇 = −𝑎 𝐼 1 2 𝑅2

⇒

𝑃1 − 𝑃2 + (𝑚1 + 𝑚2 )𝑎 = −𝑎

⎧ ⎪ ⎨

−−− −−−

⎪ ⎩ 𝑃 − 𝑃 + (𝑚 + 𝑚 )𝑎 = −𝑎 𝐼 1 2 1 2 𝑅2

) ( 𝐼 𝐼 𝑎 = (𝑚2 − 𝑚1 )𝑔 ⇒ 𝑚 + 𝑚 + 1 2 𝑅2 𝑅2

e finalmente 𝑎=

𝑚2 − 𝑚1 𝑚2 − 𝑚1 𝑔= 𝑔 𝑚1 + 𝑚2 + 𝐼/𝑅2 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑀/2

Se tivessemos ignorado o momento de inércia da roldana obteríamos a mesma expressão mas sem o termo M/2. Com a inclusão deste termo a aceleração diminui: é preciso também gastar energia para fazer rodar a roldana, e isso reflete-se na aceleração final do sistema.

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