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Universidad Metropolitana Facultad de Ingeniería. Escuela de Ingeniería Mecánica. Diseño de Elementos de Máquinas I. (FPTPI01)

EJES, CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS Referencia: Diseño de Máquinas. Un enfoque integrado (Capítulo 6). TRAMSMISIÓN DE POTENCIA ATRAVES DE EJES (ÁRBOLES O FLECHAS) 1)

Introducción (Pág. 411)

2) Las cargas sobre los ejes (Págs. 411 – 413 ; 416) 3) Ejes escalonados. Sujeciones y concentración de esfuerzos (Págs. 413 – 415) 4) Materiales para ejes (Pág. 415) 5) Potencia transmitida en el eje (Pág. 415) 6) Esfuerzos en el eje (Págs. 416 – 417) 7) Falla del eje por cargas combinadas (Págs. 416 – 418) 8) Diseño de ejes. Consideraciones generales. (Págs. 418 – 419) a) Diseño para ciclo de flexión y torsión constantes invertidas. Método ASME. (Págs. 419 – 421) b) Diseño para ciclo de flexión y torsión fluctuantes. Método general de diseño(Págs. 421 – 422)

TRAMSMISIÓN DE POTENCIA ATRAVES DE EJES (ÁRBOLES O FLECHAS), CUÑAS Y ACOPLAMIENTOS Resumen. Los ejes se utilizan en todas las máquinas giratorias. El acero es el material usual para obtener rigidez alta para pequeñas deflexiones. Los ejes pueden ser de acero al bajo carbono dulce, o bien, de acero al mediano carbono o alto carbono, para una mayor resistencia, o si se necesita un acabado superficial duro para resistencia al desgaste. Los ejes de las máquinas normalmente tienen hombros escalonados (cambios de diámetro) para la ubicación axial de los elementos que se sujetan, como cojinetes, engranajes, ruedas dentadas, poleas, volantes, etc. Tales hombros crean concentraciones de esfuerzos que se deben tomar en cuenta en el análisis de esfuerzos. Los cuñeros o ajustes por interferencia también crean concentración de esfuerzos. La carga sobre los ejes generalmente es una combinación de torsión y flexión, donde una o ambas pueden variar con el tiempo. El caso común de carga de torque variable con flexión también variable, requiere el enfoque del diagrama modificado de Goodman para el análisis de falla por fatiga. Para el caso común del torque y el momento de flexión a través de fuerzas comunes, el enfoque del diagrama modificado de Goodman es una herramienta de diseño para determinar el diámetro de un eje, conociendo las cargas variables, la concentración de esfuerzos, la resistencia del material y el factor de seguridad elegido. Métodos de cálculo del diámetro de ejes de transmisión 1.- Método ANSI/ASME para el diseño de ejes de transmisión. La ecuación de la ANSIASME, para diseño de ejes, se aplica solo para el caso de torque constante con un momento de flexión aplicado constante, que es un ciclo invertido debido a la rotación del eje. Esta ecuación para el cálculo del diámetro se aplica únicamente en situaciones que cumplan con esta restricción de carga y establece que:   32 N f  d     

2 2        K f M a   3  K fsm T m   Sf  4  S y    

   

1 2

      

Ecuación de diseño de la ANSI/ASME.

1 3

2.- Método ASME para el diseño de ejes de transmisión. La ecuación de la ASME, supone que la concentración de esfuerzos para el esfuerzo medio para carga de torsión es igual a 1 en todos los casos. Por lo cual la ecuación anterior se simplifica a:    32 N f d     

   

 K  

2

f

3 M a   4 S f 

 Tm     Sy   

2

   

1 2

1

3      

Ecuación de diseño de la ASME (*). (*) American Society Mechanical Engineers. (Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos) 3.- Método general para el diseño de ejes de transmisión. Si sobre el eje actúan cualquier combinación de cargas que generen flexión y torsión fluctuantes (variables en el tiempo) de tal manera que la razón entre los valores del esfuerzo alternante y el esfuerzo medio sea constantes es recomendable utilizar la ecuación general de diseño la cual establece que: 1

  32N  f d     

     

 Kf Ma  2



Sf

3  Kfs Ta  2 4 

 3          

 K fm M m  2  3  K fsm Tm  2  4

S ult

Ecuación general de Diseño Notación: d = diámetro Nf = Factor de seguridad contra la fatiga. Kf = Factor de concentración de esfuerzos normales por fatiga Kfs = Factor de concentración de esfuerzos de corte por fatiga Kfm = Factor de concentración de esfuerzos normales medios por fatiga Kfsm = Factor de concentración de esfuerzos de corte medios por fatiga Ma = Momento flector alternante Ta = Momento torsionante alternante Mm = Momento flector medio Tm = Momento torsionante medio Sf = Resistencia corregida a la fatiga en el ciclo de vida elegido Sy = Resistencia a la fluencia

Sult = Resistencia última a la tensión

ESFUERZOS EN EL EJE. CÁLCULO DE LOS ESFUERZOS MÁXIMOS ALTERNANTES Y MEDIOS GENERADOS POR FLEXIÓN Y POR TORSIÓN a) Por Flexión (tomando en cuenta el factor de entalla correspondiente)  a K f

Ma c I

 m K fm

Mm c I

(1)

Los valores Kf y Kfm son factores de concentración de esfuerzos de fatiga por flexión en las componentes alternantes (de amplitud) y media respectivamente, los cuales se determinan mediante: K f 1  q (K t  1)

Donde q se denomina sensibilidad de la entalla, y se determina mediante gráfico de Peterson o mediante la relación q

1 1

Donde r es el radio de la muesca (o entalla) y

a

a r

se conoce como constante de Neuber y se determina mediante un gráfico experimental

El valor de Kfm (factor de concentración de esfuerzos asociado al esfuerzo medio) se determina a partir de la siguiente relación: Si

Kf máx. nom  Sy entonces

K fm K f

Si K f  máx.nom  Sy entonces K fm  Si

Sy  K f  nom nom

K f  máx,nom   min,nom  2 S y entonces

K fm 0

Para ejes cilíndricos macizos, c = r = d/2 y I = d4/64, por lo que las ecuaciones dadas en (1) quedan como:

a K f

32 M a  d3

 m  K fm

32 M m  d3

(1a)

b) Por torsión (tomando en cuenta el factor de entalle correspondiente)  a K fs

Ta r J

 m K fsm

Tm r J

(2)

Kfs y Kfsm son factores de concentración de esfuerzos de fatiga por torsión en las componentes alternantes (de amplitud) y media respectivamente, los cuales se determinan mediante: K fs 1  q (K ts  1)

Donde q se denomina sensibilidad de la entalla, y se determina mediante gráfico de Peterson o mediante la relación q

1 1

Donde r es el radio de la muesca (o entalla) y

a

a r

se conoce como constante de Neuber y se determina mediante un gráfico experimental

El valor de kfsm (factor de concentración de esfuerzos asociado al esfuerzo medio) se determina a partir de la siguiente relación: Si

Kfs máx.nom  Sys entonces K fms K fs

Si K fs  máx.nom  Sys entonces K fms  Si

Sys  K fs  nom nom

Kfs  máx , nom   min, nom  2 S ys entonces

K

fms

0

Para ejes cilíndricos macizos, c = r = d/2 y J = d4/32 , por lo que las ecuaciones dadas en (2) quedan como:

 a  Kfs

16 Ta d 3

 m K fsm

16 Tm 3 d

(2a)

FALLA DEL EJE POR CARGAS COMBINADAS. En la década de 1930, distintos investigadores realizaron extensos estudios de falla por fatiga a la flexión y a la torsión combinadas tanto en ejes de acero dúctiles como en ejes de hierro colado frágiles, los resultados de estas investigaciones se muestran en la figura anexa (ver ANSI/ASME B106.IM 1985 sobre Diseño de eje de transmisión). Posteriormente se descubrió que en los materiales dúctiles, la combinación de la torsión y la flexión por fatiga generalmente sigue la relación elíptica como la definen las ecuaciones indicadas en la figura. Se descubrió que los materiales frágiles colados fallan con base al esfuerzo principal máximo.

Figura 1. DISEÑO DE EJES. En el diseño de ejes deben considerarse tanto los esfuerzos como las deflexiones. Los esfuerzos en un eje pueden calcularse localmente para varios puntos a lo largo del eje con base a las cargas conocidas. No obstante los cálculos de la deflexión requiere que se defina la geometría total del eje, de modo que por lo general un eje se diseña aplicando consideraciones de esfuerzo y, luego, se calcula la deflexión una vez que la geometría está totalmente definida.

Consideraciones generales. 1.- Para minimizar tanto las deflexiones como los esfuerzos, la longitud del eje debe mantenerse tan corta como sea posible y tiene que minimizarse los voladizos. 2.- Una viga en voladizo tiene mayor deflexión que una simplemente apoyada con la misma longitud, carga y sección transversal, por lo que habrá de utilizarse el montaje sobre cojinetes o silletas a menos que por requerimientos de diseño sea obligatorio el eje en voladizo. (Ver el esquema del montaje de la polea) 3.- Un eje hueco tiene una mejor razón rigidez/masa que un eje sólido del mismo material desventaja el eje hueco es mas costoso y de mayor diámetro. 4.- Si es posible, deben ubicarse los incrementadores de esfuerzos lo más alejado de las zonas con momento de flexión y/o torsión altos. 5.- Para minimizar la deflexión del eje, el material debe ser de acero con bajo contenido de carbono puesto que su rigidez es alta. 6.- Si hay cargas de empuje axial, estas deben transferirse a tierra a través de un solo cojinete de empuje. 7.- Deben tomarse consideraciones sobre las frecuencias de vibración. 8.- Consideraciones sobre las deflexiones en los engranajes y la utilización de los cojinetes.

Diseño de ejes para ciclo de flexión invertida y torsión constante. (Método ANSI/ASME) Partiendo de la relación de falla determinada experimentalmente mostrada en la Figura 1 (a), esto es:  a   Se

2

2       m  1  S ys    

Se introduce un factor de seguridad Nf, teniéndose. 2

2        Nf a    N f m  1   S S ys  e   

Considerando además la relación de Von Mises para el límite de resistencia a la fluencia por torsión, esto es: Sy S ys  3

La relación de falla queda como: 2

     N f a    Nf Se   

2

3  m  1 Sy 

Sustituyendo en esta expresión los valores de a y m obtenidas en (1a) y (2a) se obtiene:  Nf 32 Ma  ( ) K f S d 3 e 

2

       

2

  1  

16 Tm 3 Nf K fsm Sy d 3

(3)

Despejando el valor del diámetro en esta última ecuación se tiene:   32 N f  d     

   

2

 Ma  3 T     K fsm m   K f Sf  4  S y  

2

   

1 2

      

1 3

(3a)

El estándar ASME supone que el factor de concentración de esfuerzos para el esfuerzo medio de torsión es igual a 1 en todos los casos.   32 N f  d     

1 2 2        Kf M a   3  Tm    S f  4  Sy     

2

1

3      

Diseño de ejes para ciclo de flexión y torsión fluctuantes (tipo asimétrico o genérico)

En este caso se reduce el estado real de esfuerzos generados por la flexión y torsión a un estado equivalente de esfuerzos por flexión simétrica (o invertida). El valor del esfuerzo de amplitud equivalente y el esfuerzo medio equivalente quedan determinados mediante:  'a   2a  32a

(4)

'm  ( 2m  3 m2

El factor de seguridad N queda definido en este caso mediante: 1  ' '  a  m Nf S f Sult

(5)

Donde N es el factor de seguridad deseado, S n la resistencia corregida a la fatiga en el ciclo de vida elegido (para vida infinita se toma S 106), Su es la resistencia última a la tensión del material. De las Ecuaciones (1a), (2a), y (4) en (5) se obtiene la Ecuación general de diseño de ejes, esto es: 1

   32N f d   π  

     

3 4

 K f M a  2   K fs Ta  2 Sn



3 4

 Kfm Mm  2   K fsmTm 2 S ult

     

3      

(6)

Esta ecuación se puede utilizar para el diseño del diámetro de un eje sometido a cualquier combinación de carga de flexión y de torsión con carga axial nula y razón constante entre los valores alternante (amplitud) y medio de carga en el tiempo. RESUMEN. Métodos de cálculo del diámetro de ejes de transmisión 1.- Método ANSI/ASME para el diseño de ejes de transmisión. La ecuación de la ANSIASME, para diseño de ejes, se aplica solo para el caso de torque constante con un momento de flexión aplicado constante, que es un ciclo invertido debido a la rotación del eje. Esta ecuación para el cálculo del diámetro se aplica únicamente en situaciones que cumplan con esta restricción de carga y establece que:    32 N f d     

1 2 2        K f M a   3  K fsm T m      Sf  4 Sy    

   

2

      

1 3

Ecuación de diseño de la ANSI/ASME.

2.- Método ASME para el diseño de ejes de transmisión. La ecuación de la ASME, supone que la concentración de esfuerzos para el esfuerzo medio para carga de torsión es igual a 1 en todos los casos. Por lo cual la ecuación anterior se simplifica a:    32 N f d     

   

 K  

2

f

3 M a   4 S f 

 Tm     Sy   

2

   

1 2

1

3      

Ecuación de diseño de la ASME (*). (*) American Society Mechanical Engineers. (Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos) 3.- Método general para el diseño de ejes de transmisión. Si sobre el eje actúan cualquier combinación de cargas que generen flexión y torsión fluctuantes (variables en el tiempo) de tal manera que la razón entre los valores del esfuerzo alternante y el esfuerzo medio sea constantes es recomendable utilizar la ecuación general de diseño la cual establece que: 1

   32N f d     

Notación:

     

Kf M a 2



Sf

3  K fs Ta  2 4

 3          

 K fm M m  2  3  K fsm Tm  2  

4

S ult

Ecuación general de Diseño

d = diámetro Nf = Factor de seguridad contra la fatiga. Kf = Factor de concentración de esfuerzos normales por fatiga Kfs = Factor de concentración de esfuerzos de corte por fatiga Kfm = Factor de concentración de esfuerzos normales medios por fatiga Kfsm = Factor de concentración de esfuerzos de corte medios por fatiga Ma = Momento flector alternante Ta = Momento torsionante alternante Mm = Momento flector medio Tm = Momento torsionante medio Sf = Resistencia corregida a la fatiga en el ciclo de vida elegido Sy = Resistencia a la fluencia Sult = Resistencia última a la tensión

ESQUEMA DE VARIOS MÉTODOS PARA SUJETAR ELEMENTOS GIRATORIOS A LOS EJES

Los escalones u hombros se utilizan para alojar elementos sujetos como cojinetes, ruedas dentadas, engranajes, poleas, volantes, etc. Los escalones permiten darles una ubicación axial precisa. Dispositivos de sujeción: Collarín de sujeción, cuñas, chavetas circulares, pasadores cónicos Para sujetar los elementos a los ejes se utilizan comúnmente varias técnicas o dispositivos como cuñas, ranuras y ajustes por interferencia. Las cuñas están estandarizadas con el diámetro del eje (ver estándar ANSI). Las ranuras tienen una mayor capacidad de torque que las cuñas. Los ajustes de interferencia pueden ser por presión directa o por expansión térmica, o bien por encogimiento de uno de sus miembros. Es posible crear esfuerzos muy altos con estas técnicas, con falla probable de la pieza durante el ensamble. Los volantes se usan cuando se necesita suavizar el torque o la velocidad. El volante tiene que estar dimensionado para proporcionar el coeficiente de fluctuación de velocidad deseado y, luego, debe verificarse para el esfuerzo a la velocidad de operación. Los esfuerzos máximos en un volante ocurren en el diámetro interior. Hay que determinar la rapidez máxima segura, conforme el esfuerzo se incrementa con el cuadrado de la rapidez de giro. Cuando un volante falla mientras gira, generalmente vuela separándose y causa daños severos. PROBLEMA:

Diseñar un eje para sostener los accesorios mostrados en la figura con un factor de seguridad Nf = 2,5. En la figura se muestra un diseño preliminar de la configuración del eje y sus accesorios. Se debe transmitir una potencia de 2 HP a 1725 RPM. El torque y la fuerza sobre el engranaje son constantes en el tiempo. No existen cargas axiales aplicadas. El material del eje debe ser acero para vida infinita. Suponer un factor de concentración de esfuerzos de 3,5 para los radios de los escalones en flexión, 2 para los radios de los escalones en torsión y 4 en los cuñeros. Como el torque es constante y el momento de flexión es simétrico (ciclo invertido), usar el Método de ASME. (Ecuación 3a) Comprobar con el método general (ecuación 6) Las distancias están en pulgadas.

Solución:

1.- Cálculo de la potencia de entrada T

P P(HP)  63025 x  73,1 lbf - pulg   (RPM)

El valor del torque se mantiene constante entre la línea media de la polea y la línea media del engranaje (Desde z = 2 in hasta z = 6,75 in) 2.- Cálculo de fuerzas actuantes en el eje. Las fuerzas tangenciales sobre la polea y el engranaje se obtienen a partir del torque y los radios respectivos. La correa de la polea tiene tensión en ambos lados. F1 es la fuerza en el lado más tenso mientras que F 2 es la fuerza en el lado menos tenso ( lado flojo) se toma usualmente que la fuerza en el lado flojo es el 1/5 de la fuerza en el lado apretado. En la polea la fuerza neta asociada con el torque es F = F1  F2, esto es T  F x R P  F1  F2 

73,1 T  0,8 F1   F1 30,45 lbf 3 RP

La fuerza que flexiona al eje es F’ = F1 + F2, esto es : F '  F1  F2 1, 2 F1  36,55 lbf

La fuerza tangencial en el diente del engranaje es: T 73,1  24,36 lbf (  ˆj) Fg ,tan gencial  R eng 3

Se supone que el engranaje recto tiene un ángulo de presión de 20º, lo cual significa que también hay una componente radial de fuerza en el diente del engranaje igual a: Fg,radial Fg ,tan gencial x tan(20º ) ) 8,87 lbf ( ˆi )

3.- Diagrama de cuerpo libre del eje.

5.- Diagrama de fuerza cortante y momento flector en el plano yz y en el plano xz

4.- Diagrama de momento torsor

6.- Diagrama del momento flector compuesto.

Momento Compuesto: MB  14,95 2  29,25 2 32,85 lb - pulg

M C 64 lb - pulg MD

Z 6 ,5 ''

 9, 2 lb - pulg

(Escalón ubicado en el lado izquierdo de la polea)

Entre los planos que pasan por B y D, el torque aplicado al eje es constante, con la característica adicional que no varía en el tiempo ya que se considera que la velocidad angular del eje es constante; en consecuencia el valor del Torque por amplitud T a es nulo y el torque medio Tm es igual al 73,1 lbf-pulg Entre los planos que pasan por A y D, el momento flector es variable tal como se visualiza en el diagrama de momento flector compuesto, además en cada sección transversa...