Distribución Normal y Ejercicios y problemas resueltos PDF

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Distribución Normal y Ejercicios y problemas resueltos, cálculo de probabilidades...

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Distribución normal

Una variabl e aleato ria conti nua , X , sigu e una distribución normal de media μ y desviaci ón típica σ , y se design a por N(μ, σ), si se cumpl en las siguientes con diciones :

1. L a v a r i a b l e p u e d e t o m a r c u a l q u i e r v a l o r : ( - ∞ , + ∞ ) 2. L a f u n c i ó n d e d e n s i d a d , e s l a e x p r e s i ó n e n t é r m i n o s d e ecuación matemáti ca de l a curva de Gauss :

Curva de la distribució n normal

El ca mpo de exi stencia es cual quier valor real, es decir, (-∞, +∞).

Es simétrica respecto a la media µ.

Tiene u n máximo en la m edia µ.

Crece h asta la m edia µ y decrece a parti r de el la.

En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.

El eje de absci sas es una así ntota de la curv a.

El área del

recinto

determinado

por la

función y

el

eje de

abscisas es igual a la unid ad.

Al s er simétrica res pecto al eje que pasa por x = µ , deja u n área ig ual a 0. 5 a la i zquierd a y otra igual a 0.5 a la derecha .

La probab ilidad equivale al áre a encer rada bajo la curva.

p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %

p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ ) = 0. 954 = 95. 4 %

p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ ) = 0. 997 = 99. 7 %

Distribución normal estándar

N(0, 1)

La distr ibución normal e stándar, o tipificada o reducid a, es

aquella

que

ti ene

por

media

desviació n típi ca la uni dad, σ =1 .

Su funci ón de densidad es:

Su gráfi ca es:

el

valor

cero,

μ

=

0,

y

por

La probabilidad de la variable X de penderá del área del recinto so mbread o en la fig ura . Y para cal cularla utilizaremos una tabla.

Tipific ación de la vari able

Para poder utili zar la tabla tenemo s que transform ar la variable X que sigue una distribu ción N(μ, σ) en otra vari able Z que siga una distribuc ión N(0, 1) .

Empleo de la tabla de la distribución normal

Tabla de la cu rva norma l (0, 1)

La tabla nos da las pro babilida des de P(z ≤ k) , siendo z la variable tipific ada.

Estas probabili dades nos dan la funció n de distribuci ón Φ(k).

Φ(k) = P(z ≤ k)

Búsqueda en la tabla de valor d e k

Unidades y décim as en la c olumna de la izquierda.

Céntesimas en la fila de arriba.

P(Z ≤ a)

P(Z ≤ 1.47) = 0.9292

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

P(Z > 1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708

P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z ≤ −1.47) = 1 − P( Z ≤ 1. 47) = 1 − 0.9292 = 0.0708

P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

p(Z > 1. 47) = p(Z ≤ 1. 47) = 0.9292

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

P( 0.45...