Problemas y ejercicios examen PDF
| Title | Problemas y ejercicios examen |
|---|---|
| Author | Salvador Fernandez Garrido |
| Course | Calcul |
| Institution | Universitat Politècnica de Catalunya |
| Pages | 34 |
| File Size | 2.2 MB |
| File Type | |
| Total Downloads | 108 |
| Total Views | 148 |
Summary
Problemas y ejercicios examen...
Description
FormaciónProfesional Básica MatemáticasII Capítulo2: Ecuacionesysistemas LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es Este capítulo ha sido realizado por David Miranda Suárez para el alumnado que cursa Matemáticas II de Formación Profesional Básica en el Centro Salesianos Loyola ‐ Naranjoven, en Fuenlabrada (Madrid) en los perfiles de Electricidad y Electrónica,yen elperfildePeluquería yEstética,basándoseen el currículodela ComunidaddeMadrid(BOCMRealDecreto127/2014,de28defebrerodelBOE). El autor ha utilizado los textos de Matemáticas de Marea Verde. Para la elaboracióndeeste capítulosehanutilizadopartesdelossiguientescapítulos de los textos elaborados por el equipo de Matemáticas de Marea Verde (www.apuntesmareaverde.org.es). Paralosapartados1y2,elcapítulo9dellibrode2ºdeESOde“Álgebra”deautora RaquelCaro. Paralosapartados3,4y5,elcapítulo5dellibrode3ºAdeESOsobre“Ecuaciones desegundogradoysistemaslineales”deautoraRaquelHernández.
Capítulo2:Ecuacionesysistemas
39
ÍNDICE 1.ECUACIONESDEPRIMERGRADOCONUNAINCÓGNITA 1.1.ELLENGUAJEDELASECUACIONES 1.2.ECUACIONESEQUIVALENTES.RESOLUCIÓNDEECUACIONES.
2.RESOLUCIÓNDEPROBLEMASMEDIANTEECUACIONES 2.1.PROCEDIMIENTO 2.2.PROBLEMASNUMÉRICOS 2.3.PROBLEMASDEGEOMETRÍA 2.4.OTROSPROBLEMAS
3.ECUACIONESDE2ºGRADO 3.1.CONCEPTODEECUACIÓNDE2ºGRADO 3.2.RESOLUCIÓNDEECUACIONESDE2ºGRADOCOMPLETAS 3.3.NÚMERODESOLUCIONESDEUNAECUACIÓNDE2ºGRADOCOMPLETA 3.4.RESOLUCIÓNDEECUACIONESDE2ºGRADOINCOMPLETAS
4.SISTEMASDEECUACIONESLINEALES 4.1.CONCEPTODESISTEMASDEECUACIONESLINEALES 4.2.CLASIFICACIÓNDESISTEMASDEECUACIONES 4.3.RESOLUCIÓNDESISTEMASPORELMÉTODODESUSTITUCIÓN 4.4.RESOLUCIÓNDESISTEMASPORELMÉTODODEIGUALACIÓN 4.5.RESOLUCIÓNDESISTEMASPORELMÉTODODEREDUCCIÓN
5.RESOLUCIÓNDEPROBLEMAS 5.1.RESOLUCIÓNDEPROBLEMASMEDIANTEECUACIONESDE2ºGRADO 5.2.RESOLUCIÓNDEPROBLEMASMEDIANTESISTEMASDEECUACIONESLINEALES
Resumen Enlaépocade ElQuijote,enlapuerta de lasbarberías,seleíael siguientecartel:“ALGEBRISTAYSANGRADOR”¿Yeso,porqué? La palabra “Álgebra” es una palabra árabe que utilizó el matemáticoAl‐Khwarizmi. Silograsleeresenombreverásquete suenaaotrapalabra:“algoritmo”. Haciaelaño825 escribióunlibrotitulado:Al‐jabrw’almuqabalah Lapalabraárabejabrsignificarestaurar.Ellibrotratabadeálgebra, de sumas y otras operaciones, pero como los barberos también restaurabanhuesos,poresosellamabanalgebristas.
FPB2:Capítulo2:Ecuacionesysistemas LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es
Autores:DavidMiranda,RaquelCaroyRaquelHernández
Ilustraciones:BancodeImágenesdeINTEF
Capítulo2:Ecuacionesysistemas
40
1.ECUACIONESDEPRIMERGRADOCONUNAINCÓGNITA 1.1.Ellenguajedelasecuaciones Yasabesque: Unaecuaciónesunaigualdadentredosexpresionesalgebraicas. Ejemplo: Si tenemos dos expresiones algebraicas: 7x + 3 y 5x + 2, y las unimos con el signo igual obtenemosunaecuación:7x+3=5x+2. Lasexpresionesquehayacadaladodeligualsellamanmiembros dela ecuación.Todas las ecuaciones tienendosmiembros:laexpresiónqueestáala izquierdadelsignoigualsellamaprimermiembroyla queestáaladerecha,segundomiembro. Las letras que contienen las ecuaciones algebraicas (las "partes literales" de sus dos expresiones) se llamanincógnitas,quesignificaliteralmente"desconocidas".Sitodaslasletrassoniguales,sediceque laecuacióntieneunasolaincógnita. Ejemplo: 6x–1=5x+8esunaecuaciónconunasolaincógnita,mientrasque 4x+2y=1 o3x–8=9ysonecuacionescondosincógnitas:xey. Elgradodeunaecuacióneselmayorexponentequeapareceenalgunadesusincógnitas. Ejemplo: 2x– 7= 3x+ 2esunaecuación deprimergrado,mientras que 4x+ 5xy2=8es una ecuaciónde tercergradoyaqueelmonomio5xy2tienegrado3(1+2=3).
Actividadespropuestas 1. Copiaentucuadernolasiguientetablaycomplétala: Ecuación
Primermiembro
4x–5=6x–7
3x+2
8a+7=65
4x–3y
Segundomiembro
Incógnitas
x–9
2+y
2. Indicaelnúmerodeincógnitasdelassiguientesecuaciones: a)x–2y=3x+4;
b)5x+6y2=7
c)8a+9a2=1
d)2x+3x2=4.
c)x+2x2=3
d)4x+5xy2=6
3. Indicaelgradodelassiguientesecuaciones: a)5x–6=7x+8;
b)9x+y2=13
FPB2:Capítulo2:Ecuacionesysistemas LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es
Autores:DavidMiranda,RaquelCaroyRaquelHernández
Ilustraciones:BancodeImágenesdeINTEF
Capítulo2:Ecuacionesysistemas
41
1.2.Ecuacionesequivalentes.Resolucióndeecuaciones Solucióndeunaecuación: Una solución de una ecuación es un número que, cuando la incógnita toma ese valor, se verifica la igualdad,esdecir,losdostérminosdelaecuaciónvalenlomismo. Algunasecuacionessolotienenunasolución,perootraspuedentenervarias. Resolverunaecuaciónesencontrartodassusposiblessolucionesnuméricas.
Actividadesresueltas Sitefijasenlaecuación:7x–3=5x+9,verásquealdarlevaloresaxlaigualdadnosiemprese cumple. Por ejemplo, para x = 1, el primer miembro vale 7 ∙ 1 – 3 = +4, mientras que el valor del segundo miembroes:5∙1+9=5+9=14.Luego1noessolucióndelaecuación. Parax=6,elprimermiembrotomaelvalor:7∙6–3=42–3=39;yelsegundomiembro:5∙6+9=30 +9=39.Portanto6esunasolucióndelaecuación. Sisedesconocelasoluciónde unaecuación,resulta muypesadoresolverlaprobandoun número tras otro. Poresoloquesehacehabitualmenteestransformarlaenotrasecuacionesequivalentesmássencillas. Ecuacionesequivalentessonlasquetienenlasmismassoluciones. ¿Sabías que todas las soluciones de todas las expresiones algebraicas posibles, de cualquier grado, formanloquesedenominalos"númerosalgebraicos"? Porejemplo,sonalgebraicostodosestosnúmeros:1,2, 1/3, 7/5,
,
, etc. Aunque la inmensa mayoría de
los números que utilizamos en nuestra vida cotidiana son algebraicos, debes saber que realmente hay muchos, muchísimos más números "no algebraicos" que ya irás conociendo, aunque alguno ya conoces comoalnúmeroπ.
Ejemplo: 3x –7 = 11 es equivalente a 3x = 18,puestoquelasolucióndeambasecuaciones esx=6. Paraobtenerecuacionesequivalentessetienen encuentalassiguientespropiedades:
Sisesumaoserestaalosdosmiembrosdeunaecuaciónunamismacantidad,seobtieneunaecuación equivalente. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por una misma cantidad (distinta de cero),seobtieneunaecuaciónequivalente.
FPB2:Capítulo2:Ecuacionesysistemas LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es
Autores:DavidMiranda,RaquelCaroyRaquelHernández
Ilustraciones:BancodeImágenesdeINTEF
Capítulo2:Ecuacionesysistemas
42
Actividadesresueltas Resuelvelaecuación3x+9=x–5transformándolaenotramássencillaequivalente. Transformarunaecuación hastaquesus solucionessehaganevidentessellama"resolverlaecuación". Siguiendoestospasosintentaremosresolverlaecuación:3x+9=x–5. 1)Sumamosalosdosmiembros–xyrestamosalosdosmiembros9:3x–x+9–9=x–x–5 – 9. 2)Hacemosoperacionesyconseguimosotraecuaciónquetieneenelprimermiembrolostérminoscon xyenelsegundo,lostérminossinx:3x–x=–5– 9. 3)Efectuamoslassumasenelprimermiembroyenelsegundo:2x=–14. 2 x 14 dedondex=–7. 2 2 5)Compruebaquetodaslasecuacionesquehemosobtenidoenesteprocesosonequivalentesyquesu soluciónesx=–7.
4)Despejamosxdividiendolosdosmiembrospor2:
Resuelvelaecuación6–x=2x–3. 1)Sumamosxy3parapasaraunmiembrolos términosconxyalotromiembrolostérminos sinx: 6–x+x+3=2x+x–3+3,
El procedimiento utilizado en las actividades es un método universal para resolver cualquier ecuación de grado 1, es decir, donde x aparece sin elevar a otro 2 exponentecomoenx .Lasecuacionesdeprimergrado tienensiempreunaúnicasolución, peroengeneral,las soluciones no tienen porqué ser números enteros comoenlosejemplos.
2)Hacemosoperaciones:6+3=2x+x 3)Efectuamoslassumas:9=3x. 4) Despejamos x dividiendo los dosmiembros por3:3=x. Lasolucióndelaecuaciónes x=3.
5)Comprobamosqueenefectoeslasolución: 6 – x = 2x – 3 6 – 3 = 3; 23 – 3 = 3.
Actividadespropuestas 4. Averiguacuáldelosnúmeroseslasolucióndelaecuaciónyescríbeloentucuaderno: Ecuación
Posiblessoluciones
Ecuación
Posiblessoluciones
3x+5=x–1
2,–1,–3
a2–6=–2
–2,–6,2
x+6=4x–3
3,–2,–3
b–4=8–b
3,4,6
5. Resuelvelassiguientesecuaciones: a)5x–1=3x–4
b)7x+9=5x–6
c)6x+8=14
d)3x –9=2x–11
6. Eligeentrelassiguientesecuacionestodaslasqueseanequivalentesalaecuación3x–6=x+10. a)x–10=5
b)16–x=3x–5x
c)4x=32
d) 2x=10+6
e)8=x
7. Escribedosecuacionesequivalentesacadaunadelasecuacionessiguientes: a) 2x–5=13
b)3x=15
FPB2:Capítulo2:Ecuacionesysistemas LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es
c)5x+12=7
d)x=–5
Autores:DavidMiranda,RaquelCaroyRaquelHernández
Ilustraciones:BancodeImágenesdeINTEF
Capítulo2:Ecuacionesysistemas
43
2.RESOLUCIÓNDEPROBLEMASMEDIANTEECUACIONES 2.1.Procedimiento Yasabesque: Muchosproblemaspuedenresolversemedianteunaecuación.
Actividadesresueltas Buscaunnúmeroquesumadoconsusiguientedécomoresultado9. Pararesolverlo,siguelossiguientespasos: Paso1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblema Leeconmuchocuidadoelenunciado,ypregúntate: ¿Quétepiden?
¿Quédatostienes?
Nospidenunnúmero.Laincógnita es ese número.Llamaa esenúmerox. Su siguiente,seráx+1.Nos dicenquelasumadeamboses9. Paso2:Buscaunabuenaestrategia. Es un problema que queremos resolver mediante una ecuación. Escribe en lenguaje algebraico el enunciadodelproblemayplanteaunaecuación: x+(x+1)=9. Pregúntatesiefectivamenteresuelveelproblemareleyendoelenunciado. Paso3:Llevaadelantetuestrategia Ahorasí,ahoraresuelvelaecuación.Pararesolverunaecuaciónconviene seguir unorden deactuación quenosayudeanocometererrores,paraelloseguimoselprocedimientoqueacabamosdeaprender. Quita,siloshay,paréntesisydenominadores:x+x+1=9. Paraponerenelprimermiembrolostérminosconx,yenelsegundolosquenolotienen,hazlomismo a los dos lados, resta 1 a los dos miembros: x + x + 1 – 1= 9 – 1, luego x + x = 9 – 1. Opera: 2x = 8. Despeja: Paradespejarlax,sehace lomismoalosdos lados,sedividenpor2ambosmiembros: 2x/2=8/2,por tanto,x=4. Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable. Enefecto,compruebaque:4+5=9.
Actividadespropuestas 8. Lasumadetresnúmerosconsecutivosesigualaldobledelmayormás3.Calculadichosnúmeros. 9. Lamadre deÁlvarotieneeltriplede laedaddesuhijo,y éstetiene32años menosquesumadre. ¿Cuántosañostienencadauno?
FPB2:Capítulo2:Ecuacionesysistemas LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es
Autores:DavidMiranda,RaquelCaroyRaquelHernández
Ilustraciones:BancodeImágenesdeINTEF
44
Capítulo2:Ecuacionesysistemas
2.2.Problemasnuméricos Actividadesresueltas Enunpequeñohotelhay34habitacionessimplesydobles.Sientotaltiene54camas,¿cuántas habitacionessonsimplesycuántassondobles? Siguelospasosparalaresolucióndeproblemas. Paso1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblema Llama x alnúmerodehabitacionessimples.Elnúmero dehabitaciones dobleses34–x.Elnúmerodecamases54. Paso2:Buscaunabuenaestrategia. Escribeenformadeecuaciónlainformacióndelenunciado: x+2(34–x)=54. Paso3:Llevaadelantetuestrategia Resuelvelaecuación.Quitaparéntesis: x+68–2x=54. Paraponeren elprimermiembrolos términoscon x y en el segundolos términos sin x, resta 68 a los dosmiembros: x+68–2x–68=54–68. Opera: –x=–14 Paradespejarlaxdividelosdosmiembrospor–1: x=–14/–1=14. Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable. Hay 14 habitaciones simples. Luego hay 34 – 14 = 20 habitaciones dobles. Por tanto el número de camases54pues: 14+2∙20=54. Enunagranjahay50animalesentregallinas yconejos,yentretodoslosanimalessuman 120 patas. ¿Cuántas gallinas hay en la granja? Paso1:Antesdeempezaraactuar,intentaentender bienelproblema Llama x al número de gallinas, y como hay 50 animalesentotal,conejostendremos50–x. Como una gallina tiene 2 patas y un conejo 4, tendremosentotal2x+4(50–x)patas. FPB2:Capítulo2:Ecuacionesysistemas LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es
Autores:DavidMiranda,RaquelCaroyRaquelHernández
Ilustraciones:BancodeImágenesdeINTEF
Capítulo2:Ecuacionesysistemas
45
Paso2:Buscaunabuenaestrategia. Comosabemosqueelnúmerototaldepatases120,podemosescribirestaecuación: 2x+4(50–x)=120 Paso3:Llevaadelantetuestrategia Resuelvelaecuación.Quitaparéntesis: 2x+200–4x=120 Sirestamos200enambosladosobtenemos: 2x+200–4x–200=120–200 Operandoobtenemos: –2x=–80 Dividiendopor–2enambosladosresolvemoslaecuación: –2x/–2=–80/–2luegox=40. Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable. Hay40gallinasy10conejospues50–x=50–40=10. Laspatasde40gallinasy10conejossuman40∙2+10∙4=80+40=120
Actividadespropuestas 10. Unmagoledijo:Piensaunnúmero,súmale12,multiplicapor2elresultado,resta20ydividepor2. Dime que te sale. Dijo 35. Y el mago le contestó de inmediato: El número que pensaste es 33. Adivinacomolosupoelmago.(Sugerencia:escribepreviamentelacadenadeoperaciones). 11. Piensa un número, multiplícale por 10, réstale el número que has pensado y divide el resultado entre9.¡Hasobtenidoelnúmeroquepensaste!Buscaeltruco:escribealgebraicamente,llamandox al número, la expresión algebraica de las operaciones realizadas,yadivinacomolosupoelmago. 12. Silasumadetresnúmerosconsecutivoses63, ¿dequé números se trata? (Sugerencia: ilustra la situación con una balanza equilibrada. Mantenla equilibrada hasta conseguir la ecuación equivalente que nos dé el resultado). 13. Hemoscomprado8librosigualesyhemospagadoconun billetede50€.Sinoshandevuelto10€,¿cuántocostaba cadalibro?
FPB2:Capítulo2:Ecuacionesysistemas LibrosMareaVerde.tk www.apuntesmareaverde.org.es
Autores:DavidMiranda,RaquelCaroyRaquelHernández
Ilustraciones:BancodeImágenesdeINTEF
46
Capítulo2:Ecuacionesysistemas
2.3.Problemasdegeometría Muchosproblemasdegeometríasepuedenresolverpormétodosalgebraicos,utilizandoecuaciones.
Actividadesresueltas Sequieredibujarun triángulo de55cm deperímetro, deforma queunladoseaeldoble de otro,yelterceroseaeltripledelmenormenos5cm. Paso1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblema Dibujauntriángulo,pensandoenlosdatosdelenunciado. Llamamosxalladomenor,deesta formapuedesdefinir losotrosdos lados.El lado mediano es 2x.El ladomayores3x–5 Paso2:Buscaunabuenaestrategia. Comoelperímetroes55,sepuedeplantearlaecuación:x+2x+(3x–5)=55 Paso3:Llevaadelantetuestrategia Seresuelvelaecuación: x+2x+3x– 5+5=55+5;x+2x+3x=60;6x=60. Luegox=60/6=10eslalongituddelladomenor.Losotrosdosladosmiden2x=20y3x–5=25. Solución:Losladosdeltriángulomiden10cm,20cmy25cm. Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable. Sumandolostreslados,10+20+25=55,obtenemoselperímetrodeltriángulo,55.
Actividadesresueltas Tienesunrectángulodealturaxcmydebase2x+3.Sialabasedeesterectángulolequitan2 cmyalaalturaleañaden5cm,seconvierteenuncuadrado.¿Quédimensionestiene? Paso1:Antesdeempezaraactuar,intentaentenderbienelproblema Dibujaunrectánguloconlascondicionesdelproblema. Laexpresión2x+ 3– 2expresalos 2cm quele quitaalabaseyx+5expresalos5cmqueleañadenalaaltura. Paso2:Buscaunabuenaestrategia. Sisehaformadouncuadradocomolosladossonigualesambasexpresionesdebenserequivalentes:2x +3–2=x+5 Paso3:Llevaadelantetuestrategia Resuelvelaecuación:2x+3–2–x–3+2=x–x–3+2+5;2x–x=4;x=4 Solución:x=4cmeslalongituddelaalturadelrectángulo.Portanto,2∙4+3=11cmmidelabasedel rectángulo. Paso4:Compruebaelresultado.Piensasiesrazonable. Enefecto,alaalturalesumamos5,4+5=9,yalabaselerestamos2,11–2=9, seobtieneuncuadrado.
Actividadespropuestas 14. Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles es igual al doble del tercerladomenos2cm.Calculasumedida sielperímetrodeltriánguloes84 cm. 15. Calculaeláreade untriángulorectángulo,sabiendo quesuscatetossuman20 cmyelcatetomayormide4cmmásqueelmenor. 16. Calculalamedida delos ángulosagudos de untriángulorectángulo,sabiendo queelángulomayor esi...
Similar Free PDFs
Problemas y ejercicios examen
- 34 Pages
Ejercicios y problemas de mecanizado
- 109 Pages
Problemas Tema1 - ejercicios
- 8 Pages
Problemas de asignacion examen
- 6 Pages
Examen problemas mayo
- 3 Pages
Popular Institutions
- Tinajero National High School - Annex
- Politeknik Caltex Riau
- Yokohama City University
- SGT University
- University of Al-Qadisiyah
- Divine Word College of Vigan
- Techniek College Rotterdam
- Universidade de Santiago
- Universiti Teknologi MARA Cawangan Johor Kampus Pasir Gudang
- Poltekkes Kemenkes Yogyakarta
- Baguio City National High School
- Colegio san marcos
- preparatoria uno
- Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios No. 107
- Dalian Maritime University
- Quang Trung Secondary School
- Colegio Tecnológico en Informática
- Corporación Regional de Educación Superior
- Grupo CEDVA
- Dar Al Uloom University
- Centro de Estudios Preuniversitarios de la Universidad Nacional de Ingeniería
- 上智大学
- Aakash International School, Nuna Majara
- San Felipe Neri Catholic School
- Kang Chiao International School - New Taipei City
- Misamis Occidental National High School
- Institución Educativa Escuela Normal Juan Ladrilleros
- Kolehiyo ng Pantukan
- Batanes State College
- Instituto Continental
- Sekolah Menengah Kejuruan Kesehatan Kaltara (Tarakan)
- Colegio de La Inmaculada Concepcion - Cebu