DistribuciÓn T - notas sobre la distribucion T PDF

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DISTRIBUCIÓN T-STUDENT.

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Surge, en la mayoría de los estudios estadísticos prácticos, cuando la desviación típica de una población se desconoce y debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. Se publicó por primera vez en 1908 en un artículo por William Sealy Gosset, era empleado de una cervecería irlandesa que desaprobaba la publicación de investigaciones de sus empleados. Para evadir esta prohibición, publico su trabajo en secreto bajo el nombre de “Student”. En consecuencia la distribución de T normalmente se llama distribución de t de Student o simplemente t.

¿Para qué se utiliza? La distribución t se usa de manera extensa en problemas que tienen que ver con inferencia acerca de la media de la población o en problemas que implican muestras comparativas (es decir, en casos donde se trata de determinar si las medias de dos muestras son significativamente diferentes). Estadístico de trabajo

Características De La Distribución T De Student En muchas ocasiones no se conoce σ y el número de observaciones en la muestra n < 30. En estos casos, se puede utilizar la desviación estándar de la muestra s como una estimación de σ, pero no es posible usar la distribución Z como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado es la distribución t. Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una media y una diferencia de medias (independiente y pareada). En probabilidad y estadística, la distribución t-Student es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Una variable aleatoria se distribuye según el modelo de t-Student con n grados de libertad. Grados De Libertad

Existe una distribución t distinta para cada uno de los posibles grados de libertad. ¿Qué son los grados de libertad? Podemos definirlos como el número de valores que podemos elegir libremente. Grados de Libertad  Existe una distribución t para cada tamaño de la muestra, por lo que Existe una distribución para cada uno de los grados de libertad.  Los grados de libertad son el número de valores elegidos libremente. Grados de Libertad  Dentro de una muestra para distribución t student los grados de libertad se calculan de la siguiente manera: GL=n – 1 Donde n es tamaño de la muestra Ejemplo Se tiene una muestra de 7 elementos con una media de 16. GL= a+b+c+d+e+f+g =16 7 GL=n – 1 =7-1= 6 ¿Cómo diferenciarla de las otras distribuciones? La distribución de T es similar a la distribución de Z, pues ambas son simétricas alrededor de una media de cero. Ambas tiene distribuciones de campana pero la distribución t es más variable debido a que tienen fluctuaciones en 2 cantidades. La distribución de T difiere de la de Z en que la varianza de T depende del tamaño de la muestra n y siempre es mayor a 1, únicamente cuando n tiende a ∞ las dos distribuciones serán iguales

Propiedades:  La gráfica de la función de densidad es en forma de campana.  Los datos están más disperso que la curva normal estándar.

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A medida que n aumenta, la gráfica se aproxima a la normal N(0,1). La gráfica es muy parecida a la de la normal estándar diferenciándose en que las colas de t están por encima de la normal, y el centro se encuentra por debajo del de la normal. Cuando los grados de libertad son altos, los valores de t coinciden con los de la normal.

Uso de la Tabla de Distribución t-student 1. La tabla de distribución t es más compacta que z y muestra las áreas y valores de t para unos cuantos porcentajes exclusivamente (10%,5%,2% y 1%) 2. Una segunda diferencia de la tabla es que no se centra en la probabilidad de que el parámetro de la población que está siendo estimado caiga dentro del intervalo de confianza. Por el contrario, mide la probabilidad de que ese parámetro no caiga dentro del intervalo de confianza. 3. Una tercera diferencia en el empleo de la tabla consiste en que hemos de especificar los grados de libertad con que estamos trabajando.

La tabla da áreas 1 - , T tiene distribución t-Student con n-1 grados de libertad. Donde 1- = nivel de confianza = nivel de significancia

Tabla de t-student

Ejemplo: con un valor n = 15 con un nivel de significancia 0.025 a la izquierda. Encontrar el área de en la tabla t-student Grados de libertad = GL=n-1 = 15-1=14

Si se observa la tabla, el área sombreada de la curva es de la cola derecha, es por esto que se tiene que hacer la resta de . La manera de encontrar el valor de t es buscar el valor de en el primer renglón de la tabla y luego buscar los grados de libertad en la primer columna y donde se intercepten y GL se obtendrá el valor de t. Ejemplo Encuentre la probabilidad de –t0.025 < t < t0.05.

Como t0.05 deja un área de 0.05 a la derecha, y –t0.025 deja un área de 0.025 a la izquierda, encontramos un área total de 1-0.05-0.025 = 0.925. P( –t0.025 < t < t0.05) = 0.925

Ejemplo: Encuentre k tal que P(k < t < -1.761) = 0.045, para una muestra aleatoria de tamaño 15 que se selecciona de una distribución normal. Solución:

Si se busca en la tabla el valor de t =1.761 con 14 grados de libertad nos damos cuenta que a este valor le corresponde un área de 0.05 a la izquierda, por ser negativo el valor. Entonces si se resta 0.05 y 0.045 se tiene un valor de 0.005, que equivale a Luego se busca el valor de 0.005 en el primer renglón con 14 grados de libertad y se obtiene un valor de t = 2.977, pero como el valor de está en el extremo izquierdo de la curva entonces la respuesta es t = -2.977 por lo tanto: P(-2.977 < t < -1.761) = 0.045 Ejemplo Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre –t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal.

Datos conocidos µ=500 n.=25 X=518

S=40 Solución: De la tabla encontramos que t 0.05 para 24 grados de libertad es de 1.711. Por tanto, el fabricante queda satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre –1.711 y 1.711.

Se procede a calcular el valor de t:

Este es un valor muy por arriba de 1.711. Si se desea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximadamente de 0.02. De aquí que es probable que el ingeniero concluya que el proceso produce un mejor producto del que piensa. Ejemplo1: Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

520 513 496 510 506

521 522 488 510 503

511 500 500 475 487

513 521 502 505 493

510 495 512 521 500

µ=500 h n=25 Nc=90% X=505.36 h s=12.07

T=(505.36-500)/(12.07/5) T=5.36/2.414 T=2.22 Gl=n-1 Gl=25-1 Gl=24

De aquí que es probable que el fabricante concluya que los focos produce un mejor rendimiento que piensa.

Ejemplo La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:

Cuál es la probabilidad P (μ...