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Capítulo 8

La Transformada de Laplace En este capítulo nos ocuparemos de una de las herramientas más utilizadas en ingeniería para resolver problemas procedentes de campos tan distintos como pueden ser la Teoría de Circuitos, la Elasticidad Lineal, la Transmisión de Calor o la Propagación de Ondas. Nos referimos a la

L

Transformada de Laplace ( ) la cual fue introducida por el matemático francés Pierre Simon Laplace en 1782. La idea básica del uso de las transformadas integrales, no sólo de Laplace sino de otras transformadas como la de Fourier, la de Hilbert, la de Hankel, la de Mellín o la transformada Zeta consiste en lo siguiente: supongamos que estamos estudiando un determinado fenómeno físico que describimos por medio de un modelo matemático. Dicho modelo estará formado por una o varias ecuaciones diferenciales (ordinarias o en derivadas parciales) con sus correspondientes condiciones iniciales y/o de contorno. El problema consiste en resolver dicho modelo matemático, es decir, resolver una ecuación diferencial. Es ahora cuando intervienen las transformadas integrales, en particular la transformada de Laplace, para transformar dicha ecuación diferencial en otra ecuación (algebraica o también diferencial), la cual va a resultar más fácil de resolver que la ecuación diferencial de partida. De esta forma

transformamos

nuestro

problema original complicado en un problema más sencillo. Resolvemos el problema transformado y luego calculamos la transformada inversa de la solución del problema transformado con la esperanza, claro está, de que esta solución inversamente transformada sea la solución de nuestro problema original. En bastantes casos, esta esperanza se convierte en realidad y conseguimos, por este procedimiento, resolver nuestro problema original. Esquemáticamente, lo que estamos diciendo se puede resumir en algo así como:

Problema Original

Solución del Problema Original

L

-1

L

Problema Transformado

Solución del Problema Transformado

La transformada de Laplace asocia a una función de variable real [0, +∞[ una nueva función de variable compleja

L (f ) , definida

f,

definida en el intervalo

en un cierto subconjunto del

plano complejo. Entre sus muchas virtudes, la transformada de Laplace transforma derivadas 97

98

Capítulo 8.

La Transformada de Laplace

en polinomios, y por tanto, ecuaciones diferenciales ordinarias en ecuaciones algebraicas. Otra de sus virtudes es su carácter inyectivo. Esto es importante por lo siguiente: imaginemos que nuestro problema original tuviese dos soluciones (una de las cuales posiblemente es inadmisible por razones físicas, pero sí que es una solución matemática) y que sin embargo el problema transformado tuviese una sola solución.

Puestos a pensar mal, al calcular la transformada

inversa podríamos calcular justo la solución que es inadmisible físicamente. Este galimatías no es posible gracias a que la transformada de Laplace es, como dicen los ingleses, one-to-one, es decir, inyectiva. Es precisamente ésto lo que nos dice el Teorema de Lerch. Habitualmente, el mayor problema en todo el proceso de la transformada de Laplace es calcular la transformada inversa. No obstante, se han desarrollado varios métodos (la mayoría de ellos basados en técnicas de variable compleja y especialmente en el Teorema de los Residuos) para calcular las transformadas inversas de Laplace de las funciones que aparecen más frecuentemente en las aplicaciones. Por ello disponemos de grandes tablas de transformadas de Laplace. El objetivo esencial de este capítulo es presentar con rigor y precisión matemáticos la transformada de Laplace y mostrar las ideas que sustentan esta teoría. Somos conscientes de que la transformada de Laplace se convertirá en un método que se aplicará de manera sistemática en otras asignaturas de esta titulación. Por eso mismo es preciso mostrar, en algún momento dado (y sin duda esta asignatura es el momento adecuado), qué es lo que se puede y lo que no se puede hacer con esta transformada. Finalmente también mostraremos algunos ejemplos concretos de ingeniería que se pueden resolver con la transformada de Laplace.

8.1

fi

De nición y Propiedades Básicas

En esta sección definiremos la transformada de Laplace y estudiaremos algunas de sus propiedades más importantes. En particular, estudiaremos el comportamiento de esta transformada frente a las operaciones de derivación, integración y convolución.

fi

De nición 8.1.1 Dada f

: [0, +∞[

→ C,

fi

se de ne formalmente la transformada de Laplace de

f como la función de variable compleja

Z

L (f ) (z) =

+∞ e

−zt

f

(t)

dt,

0

donde la integral anterior se entiende en el sentido de Riemann impropio, es decir,

Z

Z

+∞ e

−zt

f

(t)

dt

=

0 El dominio de la función

a

lim

a→+∞ 0

e

−zt

f

(t)

dt.

L (f ) es el conjunto de números complejos z

para los que la integral

anterior es convergente. Dicho conjunto se denomina dominio de la transformada de Laplace y lo

L (f )) . Evidentemente, se dice que f es transformable Laplace si D (L (f )) 6=

denotaremos por D (

∅. Calcularemos ahora la transformada de Laplace de algunas funciones concretas. Ejemplo 8.1.1 Sean

0

≤a

0, entonces

e

a Re(ω−z)

e

(ω−z)a

a

(t) =

= lim

a→∞

e

e

ωt , con

ω ∈

C

.

Se tiene

(ω−z )a

−1 . ω−z

→ +∞ y por tanto,

= 0.

→ +∞ cuando

lim

a→+∞

•

dt

0

→ 0 cuando

lim

Si Re (ω − z )

(ω−z )t

f

[a, b] .

− z )) + i sin (a Im (ω − z))) , se tienen las siguientes

a→+∞

•

e

a→∞

a Re(ω−z) (cos (a Im (ω e

<

a

= lim

posibilidades:

•

x

b

e

(ω−z )a

=

a

→ +∞ y por tanto,

∞.

Si Re (ω − z ) = 0, entonces se puede probar que no existe el límite de ea Re(ω−z) cuando a → +∞ si Im (ω − z ) = 0. En otro caso, es decir, cuando z = ω , entonces es evidente

6

que no es posible calcular el valor de la transformada de Laplace en dicho punto.

En resumen,

D

L (f )) = {z ∈ C : Re z > Re ω} y

(

L

¡

e

ωt

¢

(z ) =

1 z

−ω

, z

∈ D (L (f )) .

100

Capítulo 8.

La Transformada de Laplace

Antes de proseguir adelante con el estudio de la transformada de Laplace, la primera de las cuestiones de las que nos hemos de ocupar es averiguar qué funciones tienen transformada de Laplace, es decir, hemos de dar un criterio sencillo de comprobar que nos permita saber si una determinada función tiene transformada de Laplace o si no la tiene. Para este

fi

fin

daremos, en

primer lugar, la siguiente de nición.

Definición 8.1.2

γ

nencial de orden

fi

R.

Se dice que la función f

: [0, +∞[ 0

en in nito si existe una constante M >

Eγ

Denotaremos por

γ∈

Sea

¯ −γt ¯ ¯e f (t)¯ ≤ M

con crecimiento exponencial de orden cada intervalo compacto

[0, b] ,

fi

γ

con b >

C tiene crecimiento expo-

de modo que

≥ 0.

para todo t

al conjunto de las funciones f

→

: [0, +∞[

→C

que son continuas a trozos y

en in nito. Por continua a trozos entenderemos que en

0,

f es continua salvo a lo sumo en un número

puntos, y además las discontinuidades en dichos puntos son de salto

finito.

finito

de

El resultado que sigue nos proporciona un criterio sencillo de comprobar y que nos permite averiguar qué funciones son transformables Laplace.

Teorema 8.1.1

Sea f

finida

f y ésta está de

∈ Eγ

para algún

en el conjunto Dγ

=

γ∈

R.

Entonces existe la transformada de Laplace de

{z ∈ C : Re z > γ } .

Enunciamos a continuación algunas propiedades elementales de la transformada de Laplace.

Proposición 8.1.1 (a)

Linealidad.

Sean f , g

: ]0, +∞[

→

C

dos funciones de modo que los dominios de su

L (f ))

transformada de Laplace, que denotamos por D (

L (g )) ,

y D(

sean no vacíos. Para

α, β ∈ C, existe la transformada de Laplace D (L (αf + β g )) = D (L (f )) ∩ D (L (g )) . Además,

cualesquiera par de números

αf

+ β g,

con dominio

L (αf (b)

+ β g ) (z ) =

Translación. Sean

f

αL (f ) (z ) + β L (g ) (z)

: ]0, +∞[ fa

→C

y a >

½

0.

f

∈ D (L (αf

+ β g )) .

fi

Se de ne la transladada de f como

0

(t) =

, z

de la función

(t − a)

si

0

si

t > a

≤a

< t

L (f ))

Supongamos que f es transformable Laplace y denotemos por D (

el dominio de su

transformada. Entonces la función fa es también transformable Laplace y

L (fa ) (z ) = e−az L (f ) (z) (c)

Cambio de escala. Sean t >

0.

f

: ]0, +∞[

, z

∈ D (L (f )) .

→ C y α > 0. Consideremos la función g (t) = f (αt),

L (f ))

Supongamos que f es transformable Laplace y denotemos por D (

©

ª

el dominio

de su transformada. Entonces la función g es también transformable Laplace, el dominio

L (g )) =

de su transformada es D (

z

∈ C : αz ∈ D (L (f ))

L (g ) (z ) = α−1 L (f )

³z ´ α

, z

y

∈ D (L (g )) .

fi

8.1.

De nición y Propiedades Básicas

8.1.1

101

La Transformada de Laplace y la Derivación

Uno de los principales motivos por los que la transformada de Laplace es ampliamente usada en ingeniería es porque constituye una herramienta fácil de usar y que permite resolver ciertas ecuaciones diferenciales. A continuación estudiaremos el comportamiento de esta transformada frente a las derivadas.

: [0, +∞[

Por simplicidad, supongamos que f

tienen un crecimiento exponencial de orden

γ

C

→

fi

es de clase C

1

y que tanto f como f

0

∈ Dγ , si aplicamos la definición

en in nito. Para z

de transformada de Laplace e integramos por partes se tiene que

L

Z

¡ 0¢

(z )

f

∞

= 0

=

e

−tz 0 f

lim

−bz

0

∈ Eγ .

≤ k ≤ n,

∈ Eγ .

8.1.2

∈

entonces, para z

(k) (0 ) = lim + t→0+

f

³ f

n T

D

¡ ¡

L

f

¢¢ (k)

¸

b e

−tz

f

(t)

dt

0

La fórmula anterior también vale con sólo pedir

En general, si f es derivable hasta orden n en

L donde f

(b) − f (0) + z

f

−f (0) + zL (f ) (z ) ,

donde la última igualdad se debe a que f que

dt

Z

e

b→∞

= 0 f, f

(t)

·

]0, +∞[

y si f

(k)

∈ Eγ

para todo

se tiene que

k=0

(n)

´ (z ) =

z

n

L (f ) (z ) −

n−1 X z

n−1−k (k) f

(0+ ) ,

k=0

(k) (t) .

La Transformada de Laplace y la Integración

Estudiaremos a continuación el comportamiento de la transformada de Laplace respecto de la integración. Sea f orden

γ

fi

: [0, +∞[

→C

una función continua a trozos y de crecimiento exponencial de

en in nito. Obviamente, la función

F

Z

t

(t) =

(s)

f

ds

0 está bien de

finida en [0, +∞[ . Si calculamos su transformada de Z

L (F ) (z)

=

∞

0

=

e

−tz

Z

µZ

b e

Obviamente,

Rb 0

−tz

e

b→∞ 0

f

(s)

ds

dt

−tz f (t)

dt

→ L (f ) (z )

¯ ¯ ¯ −bz ¯ ¯e F (b)¯ ≤ M e−b Re z siempre que

Re z

=

0

0 e

¶

t

>

ρ

= max (0, γ ) .

Z

b

tγ

f

(s)

ds

dt.

0

−bz

Z

−z

dt

¶

t

−tz

cuando b

e

0

e

dt

µZ

b

lim

Integrando por partes en esta expresión,

Z

(t)

F

Laplace,

=

b f

(s)

ds

+

0

→ ∞. M

γ

³

e

1 z

Z

b e

0

−tz

f

(t)

dt.

Por otra parte,

b(γ−Re z)

En resumen: para cada z

Laplace de F y además

L (F ) (z ) = z −1 L (f ) (z ) .

− e−b Re z

∈

´

−→

b→∞

0

Dρ existe la transformada de

102

Capítulo 8.

8.1.3

La Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace y el Producto de Convolución

Finalmente, estudiaremos el comportamiento de la transformada de Laplace respecto de una de las operaciones más importantes en Análisis Funcional: el producto de convolución.

R→R

:

Dadas dos funciones f , g

(f

fi Z +∞

, se de ne su producto de convolución como la función

∗ g ) (x) =

f

−∞

(y ) g (x − y )

dy,

siempre que la integral anterior exista, lo cual sucede, por ejemplo, si f , g

∈

L

R

1 ( ).

Como

este capítulo está dedicado a la transformada de Laplace, las funciones que consideramos están

fi

[0, +∞[ .

de nidas en el intervalo

Por tanto, a partir de ahora, cuando hablemos del producto

fi

de convolución de dos funciones de nidas en en toda la recta real con valor cero en Sean f , g

∈ Eγ .

Para z

L (f ∗ g ) (z ) =

Z

∈ Dγ

+∞ e

Z

fi

consideraremos que éstas están de nidas

se tiene que

Z

−zt

(f

0

Se puede demostrar que la función

[0, +∞[

[0, +∞[

]−∞, 0[ .

∗ g ) (t)

(t, s)

dt

µZ

+∞

=

e

¶

+∞

−tz

f

0

0

(s) g (t − s)

µZ

+∞

−tz

; f (s) g (t − s) e−tz , definida en el rectángulo [0, +∞[ ×

¶

+∞ f

0

0

(s) g (t − s)

ds

Z dt

µZ

+∞

= 0

Z

e

e

µZ

0 +∞

=

e

−sz

−tz

g

0

+∞ Z +∞

0

¶

+∞

(s)

f

=

−(s+τ )z

f

(s)

f

(t − s)

(s) g (τ )

¶ µZ

entonces existe la transformada de Laplace del producto f

L (f ∗ g ) (z) = L (f ) (z) L (g ) (z)

para z

fi

: [0, +∞[

→

C

ds

¶ e

−τ z

g

(τ )

d

τ

,

− s = τ . En ∗ g y además

resumen, si

∈ Dγ .

continua a trozos y con crecimiento exponencial de orden

en in nito, sabemos que existe su transformada de Laplace,

el conjunto Dγ . En esta sección veremos que la función

L (f )

L (f ) ,

la cual está de

H (Dγ )

finida

en

es holomorfa en Dγ . Esto permi-

tirá ver la transformada de Laplace como una aplicación lineal u operador donde

τ

El Teorema de Lerch y la Transformada Inversa de Laplace

Dada una función f

γ

d

ds

0

donde en la segunda igualdad hemos efectuado el cambio de variable t

∈ Eγ ,

dt

+∞

ds

0

8.2

dt.

es integrable. Por el Teorema de Fubini se tiene entonces que

e

f, g

ds

denota el conjunto de las funciones holomorfas f

:

Dγ

→

C

L : Eγ → H (Dγ ...