Distribuciones gamma exponencial PDF

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Formulas y teoría de la distribución gamma y exponencial ...

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE MECÁNICA CARRERA DE INGENIERÍA AUTOMOTRIZ “DISTRBUCIÓN GAMMA Y EXPONENCIAL” ESTADÍSTICA GRUPO

INTEGRANTES: CAIZA ARROYO BRYAN ISMAEL FLORES ANDRADE DIANA ALEXANDRA SAMANIEGO ANDRADE LUIS ANTONIO SÁNCHEZ QUISHPE JORDÁN ALEXANDER VALDIVIEZO CARGUACUNDO HENRY STEVEN

CUARTO A FECHA 16/12/2020

(6848) (6842) (6846) (6777) (6844)

DISTRIBUCIÓN GAMMA Es una distribución de probabilidad continúa adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias con asimetría positiva y/o los experimentos en donde está involucrado el tiempo. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) y (β) de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ(α), responsable de la convergencia de la distribución.

Figura 1 Distribución Gamma

La expresión de la distribución Gamma incluye la propia función Gamma Γ (∝) , que para valores enteros de alpha se ha demostrado que Γ (∝)=(∝−1)!

En este caso la distribución Gamma se conoce como

“distribución de Erlang”. Para valores no enteros, el valor de la función Gamma se obtiene a partir de: ∞

Γ (∝)=∫ x α−1∗e− x dx

para

∝>0

0

Una variable aleatoria X tiene una distribución gamma si su función de densidad está dada por: Donde f es una función de densidad

1 x α−1 e−x / β , para x >0 ; α , β >0 ; f (x , ∝ , β )= β Γ (α) 0,de otra manera

{

α

Propiedades Podemos presentar las siguientes propiedades: 

Los valores de la esperanza E(X), varianza Var(X) y desviación típica D(X) se determinan mediante:

E ( X )=αβ Var ( X )=α β2 D ( X )= β √ α 

Los factores de forma de la distribución gamma son:

Coeficiente de asimetría:

Curtosis relativa:

2

√α

2 3(1+ ) α

Con lo anterior se puede observar que la distribución gamma es leptocúrtica y tiene un sesgo positivo. También observamos que conforme el parámetro α crece, el sesgo se hace menos pronunciado y la curtosis relativa tiende a 3.

 La función generadora de momentos de la variable aleatoria gamma X está dada por: −∝

1−β t ¿

, con 0 ≤t s +t / X >t )=P ( X > s ) ∀s, t ≥ 0

P [ ( X > s +t) ∩( X > t)] =P ( X > s ) → P ( X > s+t )= P ( X > s ) P( X >t) P(X >t )

Demostración e− λ(s+t )=e− λ (s) e−λ (t ) Si la variable aleatoria X representa el tiempo de espera, entonces la probabilidad de que el tiempo de espera sea mayor a s + t dado que el tiempo de espera ha sido mayor a t es decir se han esperado t unidades de tiempo y se pide la probabilidad de que el tiempo de espera sea por lo menos s unidades adicionales de tiempo, esta probabilidad coincide con la probabilidad de que originalmente haya que esperar s unidades de tiempo, de esta forma el tiempo de t unidades que ha esperado queda olvidado como si el tiempo de espera comenzar de cero Función de densidad

{

−λ x f ( x )= λ e parax >0 0, para x < 0

Función de distribución −λ x

F ( x ) =P ( X ≤ x )=1 −e

x> 0 ; λ>0

Esperanza E( X)=

1 λ

Varianza Var (X )=

1 λ2

Ejemplo: La vida media de una plancha, 18 meses, es una variable aleatoria distribuida exponencialmente. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la plancha falle antes de los 12 meses? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la plancha falle después de los 20 meses?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la plancha falle entre los 16 y 19 meses? Datos µ=18 → λ=

1 18

−λ x

f ( x )=1 −e

−1 12 ( )

a ¿ P(x 2 0)=0,3292 c ¿ P (16< x< 19)= P (x...