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Função exponencial...

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ESCOLA SECUNDÁRIA CARLOS AMARANTE M ATEMÁTICA – 12º ANO F ICHA DE TRABALHO Nº 1 (FUNÇÃO EXPONENCIAL - AULA) 2011/2012

1. Numa vila com 12 000 habitantes foi detetado o primeiro caso de uma doença contagiosa. O período de contágio verifica-se nos primeiros dez dias da doença. Supondo que, num dia, cada pessoa contamina duas, ficando assim, ao fim do primeiro dia, três pessoas afetadas pela doença. 1.1 Quantas pessoas estarão doentes ao fim de dois, quatro e sete dias? 1.2 Indique uma expressão que traduza o número F de doentes em função do número x de dias decorridos após a deteção do primeiro caso. 1.3 Com a ajuda da calculadora, determine ao fim de quanto tempo toda a vila estará contagiada se não forem tomadas medidas urgentes para controlar a propagação da doença. x

f (x )=3 , g ( x )=3

2. Considere as funções reais de variável real, definidas por

h( x)=e

−x

e

x

. Esboce o gráfico de cada uma das funções dadas e faça o estudo de cada uma

delas. 3. Considere as funções

h( x )=x

f ,g

x

h

e

f (x )=3 , g ( x )=8

definidas, em IR, por

−x

e

1 2

.

f , g e h são funções exponenciais? Justifique. ( f + g ) (0)+ ( f −g ) (1 ) .

3.1 As funções 3.2 Calcule

4. Seja g( x ) a função que representa o número de pessoas que já viram um certo anúncio, x dias depois de ele surgir, pela primeira vez, na televisão. Identifique o significado de:

g(3 )=12×10

4.1

4

;

g( x)≥10

4.2

5

;

g( x+1)=1,2 g( x )

4.3

.

5. Calcule:

lim 2

lim

5x

5.1

x

;

x →+∞

5.2

x

−π

6. Seja

f

x→+∞

; 5.5

x →+∞

f

5.3

x

;

x →+∞

5.4 x3

2x

;

5.6

lim x

4

x

;

x→+∞

lim 3

5.7

x →+ ∞

;

x

2

.

a função de domínio

[ ] 1 3 , 2 2

definida por

f (x )=4

x

. Indique o contradomínio de

.

f

7. Considere a função

f

;

lim ( 35 )

x →−∞

5.8

2

x →+∞

2x

x

x

lim ( 32 )

lim x

lim 3

x 6+ x

, real de variável real, definida por

f (x )=2

x

. A partir do gráfico de

, construa os gráficos de :

7.1

g( x )= f ( x )+ 1

7.4

j( x )=f (− x )

;

;

7.2

h( x )=f ( x−1 )

7.5

l( x)=|f ( x)|

;

;

7.3

i(x )=−1−f ( x )

7.6

m( x)=2+f (|x| )

; .

1

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f (x )=3

8. Partindo do gráfico da função, real de variável real, gráfico das seguintes funções:

g( x)=3

8.1

x−2

;

h( x)=−3

8.2

x

, descreva como pode obter o

|x|

x−2

i(x )=3

; 8.3

;

j( x)=4−3

8.4

x+2

; 8.5

x

l( x)=−|3 |

.

h : xy=3

9. O ponto A de coordenadas (-1, 3) pertence ao gráfico da função coordenadas do ponto correspondente no gráfico de

1 g( x)=− h( x−1) 2

9.1

f (x )=2

10. Seja

;

.

g( x )=−x

;

(fog)( x ) 10.1.2

(gof )( x )

e de

g( x )=x +1

sendo:

.

fog

10.2 Explique, em cada caso, como se obtém o gráfico de de

f

e de

gof

a partir do gráfico

.

11. Defina duas funções 11.1

.

x

10.1 Escreva a expressão de 10.1.1

. Quais são as

g , sendo:

5 1 g( x)=− − |h(x+3 )| 4 4

9.2

−x

( fog) ( x)=3

f

g , tais que:

e

2x

;

11.2

( fog) ( x)=2×3−x

.

12. Resolva, em IR, cada uma das seguintes equações: 12.1 2 2 x−1

3

x

−1=31

=√ 3

;

12.2

1 e 2 x +1 = x −3 e 12.6 ;

e 5 x +1 −e 2 x +3=0 ; 1 √ 3x = x+1 9 ; −x x +3 12.9 7 =49 ; 1 x 2×2 x − ×2 x =0 4 ; 2 3 x +1 =49 x 2 12.12 x ×7 x+1 x 12.15 2 + 3 × 2 =80 x x 12.18 4 +2 −6=0 ; 9 x−6×3 x =27

e−x −3 e x +2=0 e 2cos x +1=1 .

12.24

;

12.3

;

12.4

12.7

8 =256 4x ;

12.8

;

12.5

12.21 ;

125 =√ 5

2 1 5 x −4 x= 25

x

x +2

12.10

x 2×3−x −2×3−x =0

;

12.13

2 x+1 =12−2 x ;

;

12.16

; ;

12.19

3 x+2 +3x −1=252 32 x +3 x −12=0

12.22

22− x +3=2x

12.25

4|x+1|−32= 0

13. Resolva, em IR, a seguinte condição

;

12.11

;

12.17

;

12.20

; ;

x − y =7∧13

3 x + x 3 ×3x =0 ; 2 x−2−x=0 ; 9 x +1 +3 x+2 −4=0 1 2×7 x − x −1=0 7

12.14

12.23 12.26

4 x+3 y

=1

4 x=2√ x

;

;

12.27

.

14. Determine, caso existam, os zeros de: 2

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x

14.1 14.4

f (x )=3 −3 x r( x)=1−π

;

14.2

;

14.5

g( x )=

s( x)=5

2

x+3

−4 3

x−4

x

;

+25

h( x)=3 −9

14.3

x

;

.

15. Determine o conjunto-solução de cada uma das seguintes condições: x x 1 1−3 x 1 >2 15.1

e

4 x+1 >√ 23 x

1−3 x

15.5

( 12 ) 15.9

1 > x e

;

15.2

( 2)

15.3

2 x−2

() () x−2

;

;

15.4

;

1−x

1 3

(e ) >1

1 > 3

;

15.6

2 x+2 −2 x >0

;

15.7

x 2 x −1 ×3 >0 2

;

15.8

≤8− x ;

x

3 −x ×3 x≥0 2

;

15.10

3 e x +xe x 0

;

16. Determine o domínio das funções, reais de variável real, definidas por:

f (x )= 16.1

17. Sejam

f

x+1 2 −1

g( x )= √ 9−3

|x|

x +1

16.2

. 2

e g

as funções definidas, em IR, por

f (x )=2 x −3

e

g( x)=4

17.1 Mostre que f é uma função par. 17.2 Indique, justificando, o valor lógico da proposição

∃x ∈ IR :f ( x )≥ g( x )

x

y

.

h 4

18. Na figura encontra-se parte da representação gráfica de uma

função

h

, definida

x

por h ( x)= a +2 , a ∈ IR 18.1 Determine a .

.

18.2 Escreva uma equação da assimptota do gráfico de

h

x

:

3

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h( x )≥3+ 18.3 Resolva, em Ir, a condição

1 2x

.

f

19. Indique, justificando, o contradomínio da restrição de uma função −x

( 13 )

[−1, +∞[

ao conjunto

,

f (x )= sendo a função definida, em IR, por 20. Sejam

f

e

g

.

f (x )=9−3

as funções definidas, em IR, por

f

20.1 Indique o domínio e o contradomínio de

e de

20.2 Escreva uma equação da assimptota ao gráfico de

2

g( x)=4 2 x+ x −1

x+1

e

g .

f

.

20.3 Calcule os zeros de g , caso existam. 20.4 Determine as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico de coordenados. 20.5 Determine os valores de x tais que:

g( x )= g (1 ) ; g( x )≥ f (1 )+ 15

20.5.1 20.5.2

f

com os eixos

.

21. No referencial da figura estão partes das representações gráficas das funções

f (x )=6−2

x

f e g x g( x)=4

y

definidas por

g

e . 21.1 Para cada uma das funções dadas indique domínio, contradomínio e assimptotas do gráfico. 21.2 Determine as coordenadas do ponto P. 21.3 Resolva, em IR, as inequações:

f (x )> g ( x ) ; ( f + g ) ( x )< 6

21.3.1 21.3.2

h

21.4 A função Determine

k

P

f .

é definida, em IR, por

h( x)=k×3

x

−x

.

, sabendo que o ponto P assinalado na figura

pertence ao gráfico de

h

. Soluções

1.1 9; 81; 2187; exponencial;

39 8

3.2 ; pessoas;

1.2

F( x)=3

x ; 1.3 8 dias e doze horas.

3.1

h( x)=√ x

, não é uma função

12×10 4

4.1 3 dias depois de surgir pela primeira vez na televisão o anúncio foi visto por 5

4.2 o nº de pessoas que já viu o anúncio atingiu e/ou ultrapassou 10 exibição; 4.3 o nº de pessoas que já viu o anúncio aumenta 20% por dia. 5.1 +∞ ; 5.6

+∞ ;

5.7 0; 5.8

−∞ .

6. D´=[2, 8];

durante o segundo dia da sua

+∞ ;

5.2 0;

8.1 translação associada ao vetor

5.3 0;

5.4 0;

u=( 2,0 )

;

5.5

8.2 1

u=( 2,0 )

translação associada ao vetor seguida de simetria relativamente a Ox; 8.3 mantêm-se os pontos de abcissa não negativa e o gráfico fica simétrico relativamente a Oy; 8.4 1 translação associada ao

u=( 2,0 )

v =( 0,4 )

seguida de simetria relativamente a Ox e 1 translação associada ao vetor ; vetor 8.5 mantêm-se os pontos de ordenada não negativa e efetua-se uma simetria relativamente a Ox dos pontos de 4

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3 2

( ) 0,−

x

|3 |

ordenada positiva (simetria do gráfico de relativamente a Ox. 9.1 ; 9.2 (-4, -2). −x x (fog)( x )=2 (gof )( x)=−2 10.1.1 , simetria do gráfico de f relativamente a Oy; , simetria do x+1 , translação do gráfico de f associada gráfico de f relativamente a Ox; 10.1.2 (fog)( x )=2 x ( gof ( x )=2 +1 , translação do gráfico de f associada ao vetor ao vetor ; x x . 11.1 f (x )=3 e g( x )=2 x ; 11.2 f (x )=2×3 e g( x )=−x .

u =(−1,0 ) u=( 0,1 )

12.1 5;

1 6

12.2

;

2+ √ 2 ; 2 − √2

12.3

4 5

√ 2; √ 2

;12.9 -2; 12.10 12.7 2; 12.8 2; 12.14 -1; 12.15 4; 12.16 3; 12.17 0; 12.18 1; 12.19 1;

-

7 3 , 2 2

1 0; 4

; 12.26

x=3∧¿−4

; −

;

14.1

15.2

15.3

3 C . S.=]−∞,− [ 2

C .S .=IR 15.7

12.4

;

12.20 -1;

12.11

12.21 2;

12.222;

2 3

12.27

;

2 3

12.6

12.12

1 ;0 3

12.23 0;

12.24 0;

2 2 x= π +2 kπ∨x=− π +2kπ ,∈IZ 3 3 i(x ) . 15.1 14.3 0; 14.4 0; 14.5

1;14.2 -1;

C . S .=IR

;

3 4 ; 12.5 1 1 ;− 2 2 ;

.

;

;

12.13 12.25

13.

C.S.=]− 4, +∞[

;

;

;

15.4

;

C . S . = IR {0 ¿¿

;

1 C .S.=]−∞, [ 2

C.S.=]−∞ ,−1 ]

15.8

;

;

C.S.=]1,+∞[

15.5

C .S .=[ −1,1]

15.9

;

;

15.6

15.10

C.S.=]−∞ ,−3 [ ; 1 C .S.=] ,+∞[ C .S .=IR−0 ; 15.13 C .S.=]− 2,2 [ ; e 15.11 ; 15.12 C.S.=]−∞ ,1 [∪]2 , +∞[ ; 15.15 C . S.=[ 0,6 ] ; 15.16 C . S.=]−∞ , −√ 5[∪] √5,+∞[ 15.14 ; 15.17

C.S.=]−3,3 [

15.20

C .S.=]2−2 √ 3,2+2 √ 3[

;

15.18

C.S.=]−∞,0]∪[ 1,+∞[

;

15.19

C .S .=[ 0,1 ]

;

15.22

;

15.21

C .S.=]0,2[

;

e e C . S.=]−∞,− [∪] ,+∞ [ − C . S.=IR0 ; 15.25 2 2 ; 15.23 ]−2,6 [ ; 15.24 C .S.=]−∞,0 [∪] 1 ,+∞[ ; 15.26 C .S.=[−1,0 [ ; D = IR {− 1 D g = [−2,2 ] ; 17.2 proposição verdadeira; 18.1 a=3 ¿¿ 16.1 ; 16.2 1 D´ f =[ ,+∞[ 3 y=3 ; 18.3 x≥0 ; 19 ; 18.2 3 D f =D g =IR; D ´ f =]−∞ , 9 [; D ´ g =[− ,+∞ [ 4 20.1 ; 20.2 y=9 ; 20.3 x =0∨ x =−2 ; 20.4 P (0, 6), (1, 0); 20.5.1 x=−3∨x=1 ; 20.5.2 f

x≤−1− √ 3∨x≥−1 + √3

21.1 21.3.2

;

Df =D g =IR ; D ´ f =]−∞ , 6 [; D ´g =IR + ; y =6 ; y=0 x...