Exponencial Compleja – Euler PDF

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tarea introdutoria a la unidad ...

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Exponencial Compleja Función exponencial compleja. En Matemáticas y más específicamente Análisis Matemático es la versión de la función exponencial sobre el conjunto de los números complejos. La misma se basa en la representación exponencial de los números complejos y su relación con la forma trigonométrica. Es de vital importancia en la formulación de otras funciones complejas como el logaritmo, las funciones trigonométricas complejas, las funciones trigonométricas hiperbólicas complejas y otras.

A la función

, x=a+bi, expresada en forma de cálculo por:

se le denomina función exponencial compleja y también se denota exp(x) donde x es un argumento complejo. La definición antes vista, que no es otra que la relación entre las representaciones exponencial y trigonométricas de los complejos, cumple todas las propiedades que cumplía en los reales, excepto aquellas relacionadas con el ordenamiento porque los números complejos no son un conjunto ordenado. A saber: -

ex está definida para todos los complejos.

-

ex+y=ex+y

-

(ex)y=exy

-

Para todo complejo z=aebi su conjugada es ae-bi.

La ley de Euler establece un importante vínculo entre la trigonometría y el cálculo, al asociar la exponenciación de la parte imaginaria compleja con la representación de un complejo cuyo módulo es 1.

Esta es la base para la representación exponencial de complejos y como base demostrativa para la Ley de Moivre; sin excluir el hecho de clarificar el procedimiento para exponenciar complejos, calcular raíces, determinar logaritmos de argumentos negativos y facilitar el trabajo del cálculo computacional de las funciones trigonométricas.

Ecuación de Euler

Cuando estaba trabajando en el cálculo complejo, Euler dedujo la que tal vez sea la ecuación más elegante y magnífica de todas. Un número complejo es aquél que se representa mediante una parte real y una parte imaginaria , si definimos a z como un complejo, x su parte real e y su parte imaginaria, este quedaría así,

Donde i es el número imaginario, definido como la raíz cuadrada de-1. Ahora, si tomo al famoso numero e y lo potencio con el número complejo z,

Mediante series numéricas, Euler encontró que,

Por

lo

tanto,

Esta es conocida como la fórmula de Euler, que define la exponenciación compleja. Es una fórmula de gran sutileza y precisión. Pero si hacemos un análisis más minucioso podemos llegar a más aún. Si hacemos que x valga 0 y que y tome el valor de pi,

A su vez, sabemos que el seno de pi es cero y el coseno de pi vale -1, entonces,

O, resulta lo mismo escribir,

, que es la identidad de Euler, considerada como decía

por muchas personas como la ecuación más elegante de las matemáticas.

Aplicación de un análisis que involucre una señal exponencial compleja

Las señales exponenciales, con las que está íntimamente relacionada son extraordinariamente importantes en muchas ramas tanto de la ingeniería como de las ciencias aplicadas. Los números complejos son una herramienta básica de cálculo. Son especialmente útiles para trabajar con funciones sinusoidales, y por eso se hace uso constante de ellos siempre que representamos una señal por medio de dichas funciones, y no hay que olvidar que ése es el propósito básico de los “métodos de Fourier”. La Transformada de Fourier Discreta, una herramienta fundamental en el tratamiento digital de señales, toma valores complejos. Las transformadas de Fourier y de Laplace son funciones complejas. La transformada z, al igual que otras transformadas de uso frecuente, se define como una serie de números complejos. La función exponencial compleja desempeña un papel fundamental en el estudio de los sistemas LTI (sistemas lineales invariantes en el tiempo) y también en la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales. Ejemplo resuelto

Referencias

Perez, J. (s.f.) Números complejos. Exponencial compleja. Recuperado de: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/calc1inf1011/apjperez/calculo_cap03.pdf Artcaho, A. La identidad de Euler: la ecuación más famosa de la Matemática. Recuperado de: https://matematicascercanas.com/2014/02/03/la-ecuacion-mas-famosa-de-la-matematica/...