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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MECÁNICA APLICADA LABORATORIO DE MAQUINAS HIDRÁULICAS (LA.M.HI.)

ECUACIÓN DE EULER

Ing. Ariel R. Marchegiani Septiembre de 2004

MAQUINAS HIDRAULICAS 1

TURBOMÁQUINAS – ECUACIÓN DE EULER INTRODUCCIÓN.En el estudio de las turbomáquinas y en particular en las Máquinas Hidráulicas hay una serie de notaciones y denominaciones que más o menos universalmente se han adoptado. Esto, desde luego, facilita muchísimo la interpretación de la teoría y permite con ventaja el pasar de un autor a otro, sin ninguna dificultad. En este capítulo veremos precisamente, algunas definiciones y nomenclaturas empleadas en este curso y que son de uso casi universal. 1.- LINEA MERIDIANA DE FLUJO Supongamos por un momento que quitamos el rodete de una máquina (figura 1), entonces el agua seguirá la trayectoria a â, es decir que las venas líquidas tendrán la forma de superficies de revolución engendradas por meridianas de la forma AB, A'B' y girando sobre el eje de la turbina. A estas líneas generatrices se les llama líneas meridianas de flujo. Si al flujo anterior, interponemos un rodete de un número infinito de álabes lo haremos cambiar de dirección y si movemos este rodete entonces imprimiremos al flujo una componente giratoria. Supondremos que el flujo sigue manteniéndose dentro de esas superficies de revolución.

Figura 1

2.- TURBINAS ELEMENTALES. Las fracciones de álabes y el flujo que se encuentre entre las dos superficies de revolución AB y A’ B’ separadas una cierta distancia s, formarán por definición, una Turbina elemental. El desarrollo de una turbina elemental es muy fácil efectuarlo si por ejemplo se trata de una turbina Kaplan ó una turbina Tubular, como la representada en la figura 2. Ing. Ariel R. Marchegiani

TURBOMAQUINAS – ECUACION DE EULER 2

ENTRADA 1

1

1

ENTRE HIERRO

u 2

2

ENTRE HIERRO

2

SALIDA figura 2

Si se trata de una Francis, las superficies de revolución, no son desarrollables. Consideremos un entrehierro a la entrada y a la salida de la turbina elemental y supongamos que en ese entrehierro la velocidad absoluta del flujo cambia, absorbiendo así el error de considerar desarrollada una superficie que no es cilíndrica ni cónica. Los entre-hierros los podremos considerar de cualquier tamaño siempre y cuando las velocidades Cl y C2 en las regiones de entrada y de salida, respectivamente, sean constantes, las trayectorias 1-2 representadas en la figura con línea punteada son las trayectorias relativas del agua con respecto a los álabes. 3.- DEFINICION DE LAS VELOCIDADES. Se usan diagramas de velocidad en forma de triángulo que corresponden a la mitad del paralelogramo formado por una velocidad tangencial, una velocidad relativa y una velocidad absoluta. Las ruedas motrices de las máquinas hidráulicas están formadas por venas fluidas. Estas venas las podemos representar por las siguientes figuras (figura 3): 1

2

3

1

u w

1"

c

1'

figura 3

Supongamos que el conjunto de venas está animado por una velocidad u, entonces una partícula de agua en 1 seguirá la trayectoria siguiente:

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lº.

La trayectoria 1-3 que será la trayectoria real o absoluta.

2º

la trayectoria 1-2, trayectoria relativa.

Esta última es la trayectoria que seguirá el punto 1 si se considera a las venas en reposo o bien si se considera lo que ve un observador estando parado en la pared de una de las venas. Usaremos en el curso las siguientes velocidades: Sí en la figura 3 al cabo de un instante la partícula 1 ha recorrido un espacio sobre la trayectoria relativa 1- 1”, sobre la trayectoria absoluta 1- 1’, tendremos por definición las siguientes velocidades: w

1 1" dt

c

velocidad relativa

1 1' dt

u

1" 1' dt

(1)

velocidad absoluta

(2)

velocidad tangencial

(3)

siempre tendremos: c

u

v

(4)

En la mayor parte de las máquinas hidráulicas la velocidad u queda definida por la velocidad de rotación (velocidad angular de la máquina multiplicada por el radio del punto en cuestión) . u

r

(5)

4.- ESTRUCTURACIÓN DE UNA TURBOMÁQUINA. Las turbomáquina quedarán pues formadas por conjuntos de venas líquidas, o mejor dicho por canales que contendrán esas venas liquidas. Este conjunto de venas quedará dispuesto de varias maneras, según la trayectoria que el líquido rige en la máquina. La figura 4 nos representa las diferentes formas de cómo que da una turbomáquina estructurada a partir de un conjunto de venas como el que hemos estudiado. La figura 4 también nos indica las posibilidades que existen en las máquinas hidráulicas para que el flujo siga una cierta trayectoria y según esto podemos hacer las siguientes clasificaciones de las máquinas:

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TURBOMAQUINAS – ECUACION DE EULER 4

figura 4

1º máquina axial, por ejemplo una turbina tubular. 2º máquina radial centrífuga, una bomba centrífuga. 3º Máquina radial centrípeta, un rodete Francia lento. 4º Máquina radial axial, una turbina Francis rápida. 5º Máquina axial radial, bomba centrífuga. 6º Máquina tangencial, una turbina Pelton. 5.- DIAGRAMAS -DE VELOCIDADES. Con las velocidades que hemos definido, (velocidad absoluta, velocidad relativa y velocidad tangencial) formaremos siempre un triángulo de velocidades para cualquier punto de cualquier vena de la turbomáquina. Los ejemplos siguientes nos ilustran el empleo de este triángulo de velocidades para puntos de entrada y salida de un rodete o un Impulsor. Ejemplos de diagramas de velocidades:

DISTRIBUIDOR 0 u1

1

1

ENTRE HIERRO

1 1

c

1

w

ROTOR

2 2

c

2

3

2

u2

ENTRE HIERRO

w figura 5: Diagramas de velocidad de una turbina axial

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figura 6

figura 7

Denominación de velocidades: Las denominaciones y los índices de las figuras que se usarán en el desarrollo de este curso serán: 0: Para una velocidad de salida del distribuidor. 1: Para una velocidad del agua a la entrada del rodete. 2: Para una velocidad del agua a la salida del rodete. 3: Para una velocidad del agua a la entrada de un tubo aspiración. 4: Para una velocidad del agua a la salida. Denominación de los ángulos: Los ángulos al y a2 son llamados ángulos absolutos de entrada y salida. al : está materializado por el distribuidor de la turbina. a2: está materializado por la salida del rodete o el difusor de una bomba.

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Los ángulos b1 y b2 comprendidos entre las velocidades relativas de entrada y salida y la velocidad tangencial de la rueda móvil están materializados por los álabes de la turbina. Denominación de las componentes absolutas. Componente Tangencial Cu.- (circunferencial o paralela). Es la proyección de la velocidad absoluta c sobre la velocidad circunferencial u. Esta componente interviene en las ecuaciones de potencias en las turbinas y en las ecuaciones de alturas en las bombas. Componente Meridiana c m.- Es la proyección de la velocidad absoluta c sobre la recta perpendicular a u. Esta componente interviene en las ecuaciones de los caudales.

figura 8

Las figuras anteriores nos muestran diagramas de velocidad tanto para una bomba centrifuga, como para una turbina. En todos los casos tendremos: cm

c . sen

, cu

c . cos

(6)

Resumiendo lo visto hasta aquí y para dar una visión más precisa de los triángulos de velocidades se presenta un esquema tridimensional (figura 9) de la trayectoria de una partícula de fluido, en una vena fluida, con los vectores velocidad y sus componentes en un punto cualquiera de la misma. T es la trayectoria de la partícula trazada sobre una superficie de revolución S.

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figura 9

6.- COEFICIENTES DE VELOCIDAD. En máquinas hidráulicas se acostumbra tomar como velocidad unitaria, la velocidad 2. g. H y se llama coeficiente de velocidad al cociente de la velocidad del punto considerado, dividido por 2. g. H . Habitualmente se designan estos coeficientes con la letra k seguida de la velocidad en cuestión. Por ejemplo para las velocidades absoluta, relativa y tangencial a la entrada de un rodete serían: k c1

c1 2. g .H

; k w1

w1 2. g. H

; k u1

w1

(7)

2 .g .H

Siempre debe tomarse como H, la altura neta que está obrando sobre la turbina. Estos coeficientes de velocidad nos ayudarán a simplificar las expresiones analíticas y por otro lado nos ayudarán a comprender de un modo rápido y mucho mejor, el significado físico de cada fórmula que encontremos. De momento, el coeficiente de velocidad nos indica las veces que el punto considerado es más o menos veloz respecto a la velocidad de una partícula que cae de una altura H. 7.- CLASIFICACIÓN DE LAS TURBOMÁQUINAS A continuación se presenta a modo de resumen una clasificación de las turbomáquinas teniendo en cuenta diferentes aspectos tanto geométricos como de funcionamiento.

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TURBOMAQUINAS

Según la compresibilidad del fluído

Fluído Incompresible HIDRAULICAS

Fluído Compresible TERMICAS

Segín el sentido de intercambio de energía

El fluído restituye energía MOTORAS

El fluído absorve energía GENERADORAS

Según la dirección del flujo en el rodete

RADIALES

DIAGONALES

AXIALES

figura 10

8.- MOMENTO HIDRÁULICO DE UNA VENA GIRANDO ALREDEDOR DE UN EJE - ECUACIÓN DE EULER. El momento hidráulico de una vena es debido a la fuerza de impulso que produce la vena considerada y a la distancia de esa fuerza al eje de rotación considerado. Supongamos una vena como la que se muestra en la figura y veamos cuál es la potencia que transmite a su envolvente en rotación sobre el eje YY’ (figura 10). Durante un tiempo dt, entra un volumen dV. Las fuerzas dinámicas a la entrada y a la salida serán respectivamente: dV .c2 dV .c 1 y F2 g g Los momentos de estas fuerzas son:

(8)

F1

M1

g

dV .c 1 . cos

1

.R1

y M2

g

dV .c2 . cos

2

. R2

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u1 cu 1 R1

1

c1 w1

u2

cu2

R2

2

w2

figura 11

La variación del momento cinético será igual a la impulsión rotatoria, es decir, la diferencia de momentos a la entrada y a la salida será igual al momento hidráulico Mh ejercido por el tiempo en que éste actúa.

g

dV c 1. cos

dV c g dt

1

. cos

1. R 1

. 1 1R

c 2. cos c

2

. cos

2. R 2

. 2 2R

M h .dt

(9)

Mh

(10)

siendo dV/dt el caudal Q. La potencia hidráulica o útil será:

g

Q . .c 1 . cos

. 1 1R

c

2

. cos

. 2 2R

y como anteriormente establecimos: c u1 c . cos 1 y cu2 c . cos

Mh .

Pu

2

Nos quedará: Q. cu1 . u1 cu2 . u2 g Si recordamos la definición de Potencia útil como Pu Pu

(11) .Q. H u , e igualamos con la ecuación (11),

esta ecuación quedará:

g.Hu

cu1 .u1 cu2 .u2

(12)

que es la denominada Ecuación de Euler.

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TURBOMAQUINAS – ECUACION DE EULER 10

De la ecuación (12) se deduce que para obtener la máxima altura, y por ende la máxima transferencia de energía el líquido debe abandonar axialmente el impulsor, con lo cual Cu2 = 0 y debe ingresar formando un ángulo lo más pequeño posible para que Cu1 tienda a 1. Si Cu2 = 0 la ecuación de Euler se reduce a: Hu

[ u1c u1 ]

(13)

g

Por substitución trigonométrica de los triángulos de velocidad: W 1 2 C 2 u 2 2u C cos( )

(14)

W22

(15)

1 C2 2

1 u2 2

1 1

1

2u C cos( 2 2

2)

de las cuales: 2 2 2 C1 u1 W1 u1C u1 2 2 C 2 u22 W22 u 2 C u2 2

(16) (17)

Substituyendo en la ecuación (12) y operando, obtenemos. Hu

C12

u21

W12

C 22 u22

W22

(18)

2g que separamos en tres términos, quedando: Hu

(u 21 u 22 ) 2g

(C12

C 22 ) 2g

(W22

W1 2 ) 2g

(19)

Que es otra forma de escribir la ecuación de Euler. El primer término de la ecución (19) representa la presión generada por las fuerzas centrífugas que actúan sobre la masa del líquido que viajan del diámetro de entrada D 1 al diámetro de salida D 2. El segundo término de la ecuación muestra el cambio de la energía cinética del flujo desde la entrada del rotor hasta la descarga del mismo. El último es un cambio de presión debido al cambio de velocidad relativa del flujo al pasar por el rotor. Observar que estas relaciones, es decir la ecuaciones de Euler, son válidas tanto para fluido compresible o no, o tambien que el escurrimiento se realice con o sin pérdidas. Para una turbina de admisión total la expresión del momento o de la potencia establecida mas arriba se aplica no solamente a un canal sino a un elemento de máquina incluido entre dos superficies de escurrimiento y las dos superficies de revolución que definen los bordes de entrada y salida de los alabes, siempre que los productos r.cu no varíen sensiblemente sobre todo el alcance de las superficies de entrada y salida, condición supuesta que se realiza para cada vena parcial.( Fig. 12).

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figura 12

El entrehierro que es una zona de escurrimiento sin intercambio de energía la componente giratoria de la velocidad absoluta en una vena parcial sigue la ley: c u .r k cte. Esta es la ley que traduce la invariabilidad del momento cinético (ley del torbellino potencial). Si el distribuidor tiene el mismo valor de la constante k para todas las venas parciales lo que es el caso habitual en las turbinas de velocidad específica moderada, el producto r. Cu, tendrá el mismo valor en todos los puntos de la entrada de la rueda. El escurrimiento en el entrehierro se dice entonces "en vórtice libre" o circulación constante. En algunas condiciones se puede tener un escurrimiento de la misma naturaleza a la salida del rotor. 9.-EVOLUCION DEL AGUA EN LOS DISTINTOS ELEMENTOS DE LA TURBINA. ALTURA NETA. ALTURA ÚTIL. RENDIMIENTO HIDRAULICO.

figura 13

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Apliquemos la ley géneral de escurrimiento de los fluidos incompresibles de una vena parcial de agua al curso de su travesía en la máquina (figura 13). Bajo forma diferencial esta ley toma la expresión: c.dc g

dp

dz d

(20)

d

siendo : c, velocidad absoluta, p, presión, ã, peso específico, z, desnivel, ö, pérdida de energía, ô trabajo intercambiado con el exterior. Entre la entrada de la turbina y la entrada del rotor la integración de la expresión (20) da: ce2 c12 pe pi ze z1 (21) e1 0 2g de la salida de la rueda a la salida de la turbina c12 c22 p1 p2 z1 z 2 (22) 12 2g de la salida de la rueda a la salida de la turbina c 22 cs2 p 2 ps 0 (23) z2 zs 2s 2g Sumando estas tres relaciones 2 2 ce cs pe ps (24) ze zs es 2g El primer miembro de esta igualdad representa la diferencia de la energía contenida en la unidad de peso de agua a la entrada y a la salida de la máquina respectivamente, esto es la energía puesta a disposición de ella. La cantidad así definida toma el nombre de altura o altura neta y se expresa en metros: H

n

H

e

H

c e2 s

c 2s g2

pe

ps

ze

zs

(25)

jes , representa la energía disipada en el seno del fluido que pasa por la vena parcial en cuestión, por fricciones sobre las paredes que guian esta vena, por fricciones internas (viscosidad, estelas y remolinos) y eventualmente por choques sobre los alabes. ô corresponde al trabajo transmitido a las partes móviles de la rueda, esto es, el trabajo resultante de las acciones del fluido sobre las paredes en movimiento, es definido por la ecuación de Euler aplicada la rueda dividiendo la potencia por el caudal másico correspondiente: u1 .c u1 G .g

u2 .c u2 2g

G.g = caudal másico

(26)

se llama a esta cantidad, homogénea, similar a una longitud, altura o caída útil, Hu .

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Representa la energía efectivamente obtenida sobre el eje si algunas pérdidas, externas al escurrimiento del fluido en la vena, no existirían. Estas pérdidas, como lo veremos más adelante, son causadas por los rozamientos en los transportes, las fricciones de los brazos de las ruedas sobre el agua que las rodea, y las fugas internas. La relación 24 pasa a ser: Hn

Hu

con

y el rendimiento : H u u1 .c u1 u 2 .c u2 Hn 2g

Hu

u1 .c u1 u2 .c u 2 2g

(27)

(28)

h

Este es el rendimiento hidráulico . Las relaciones de arriba solo se aplican al escurrimiento en una vena parcial que constituye un elemento de la turbina entre otros, ellas solo podrán ser válidas para la turbina entera si las cantidades u.cu siguieran siendo las mismas respectivamente a la entrada y a la salida de todos los elementos de las distintas turbinas parciales. En realidad, el rendimiento hidráulico disminuye en los elementos próximos a las paredes debido a las mayores fricciones al contacto de ellas y Hu, no es constante en toda la amplitud de la máquina. Se puede definir un valor eficaz: Hu

eficaz

Hu . Q Q

Q = Caudal

(29)

Relación de la energía de presión a la energía total intercambiada en el rodete: grado de reacción. El grado de reacción en una TMH se define como la relación entre dos energías de fluido: la “cedida a”, o “comunicada por” el rodete en forma cinética y, la energía total “suministrada a”, o “por”, la máquina. Cabe distinguir entre grado de reacción teórico y real. Grado de reacción de una TH La energía específica a la entrada del rodete (punto1) será: c12 p1 H z1 1 2g y a la salida (punto 2) c 22 p2 H z2 2 2g La energía total suministrada al rodete será:

(30)

(31)

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H