Metodo Euler PDF

Preview

Summary

Demostración del método de Euler, con sus requisitos preliminares y casos especiales....

Description

!

AREA DE CONOCIMIENTO: ANÁLISIS FUNCIONAL

NRC: 2537

Unidad I (Derivación e integración numérica. Métodos para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias)

Versión 1.1

GRUPO GRUPO04 04 04::

Andrango A; Molina M; Recalde G

EMAIL:

[email protected]; [email protected]; [email protected]

1. Tema: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Método de Euler 2. Análisis Matemático 2.1. Demostraciones Preliminares Preliminar 1: Teorema de puntos equidistantes AFIRMACIÓN

JUSTIFICACIÓN

(𝑥# , 𝑓(𝑥# )), (𝑥' , 𝑓(𝑥' )), (𝑥( , 𝑓(𝑥( ))

Se consideran tres puntos, en donde se considera como punto medio el punto (𝑥' , 𝑓(𝑥' )), a partir de este se estableceran los espacios de referencia.

𝑓 ∶ * [𝑥# , 𝑥' , 𝑥( ] * ⊂ *𝑅* → *𝑅 continua en [𝑥# , 𝑥' , 𝑥( ] y tal que 𝑓 𝑥# < *𝑓 𝑥' < 𝑓(𝑥( ) y derivable

𝑆𝑖:***𝑓 ฀ *∃[𝑥# , 𝑥( ]** 𝑓' 𝑐 =

! !

𝑓 𝑥# − 𝑓(𝑥' ) 𝑓 𝑥' − 𝑓(𝑥( ) **(1) = 𝑥# − 𝑥' 𝑥' − 𝑥(

Condiciones necesarias para el análisis.

Si 𝑓*es una función derivable en el intervalo cerrado [𝑥# , 𝑥( ] y derivable en un intervalo abierto (𝑥# , 𝑥( ), existe un número 𝑐*en el intervalo (𝑥# , 𝑥( ) y el valor de su derivada se expresa en la fórmula (1).

1

!

𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 x' − x# − 𝑥(𝑓 x' − 𝑓(x# )) *******************************************************************************************(2) 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 x( − x' − 𝑥(𝑓 x( − 𝑓(x' ))

Considerando la fórmula de la recta entre dos puntos.

𝑔 x# = 𝑓 x# x' − x# − x# 𝑓 x' − 𝑓 x# 𝑔 x' = 𝑓 x' x' − x# − x' 𝑓 x' − 𝑓 x#

Se sustituyen los valores conocidos en la ecuación (2).

𝑔 x' = 𝑓 x' x' − x# − x' 𝑓 x' − 𝑓 x#

𝑔 x# = 𝑓 x# x' − x# 𝑓 x' *(𝑎) 𝑔 x' = 𝑓 x# x' − x# 𝑓 x' *(𝑏)

Se realizan operaciones algebraicas y se reduce la expresión.

𝑔 x( = 𝑓 x# x' − x# 𝑓 x' *(𝑐)

𝑔 x# = 𝑔 x' = 𝑔(𝑥( )

𝑔 𝑥

@

=𝑓 𝑥

@

x' − x# − 𝑥 𝑓 x' − 𝑓 x#

𝑔 𝑥 ′ = 𝑓 𝑥 ′ x( − x' − 𝑥(𝑓 x( − 𝑓(x' ))

0 = 𝑓 𝑥 ′ x' − x# − (𝑓 x' − 𝑓(x# )) 0 = 𝑓 𝑥 ′ x( − x' − (𝑓 x( − 𝑓(x' ))

𝑓 𝑥

@

=

Como se puede verificar (a), (b) y (c) son iguales, por lo tanto, se concluye que existirá un punto en el cual el valor de 𝑥# *, 𝑥' *𝑦*𝑥( evaluados en la ecuación será exactamente el mimo.

Se deriva la ecuación (2) para cumplir con las condiciones necesarias.

Se evaluan los valores de 𝑐 para así comprobar que se cumplan las condiciones necesarias.

𝑓 x' − 𝑓 x# x' − x# Se despeja 𝑓(𝑥)’ [1]

𝑓 𝑥

! !

@

=

𝑓 x( − 𝑓(x' ) x( − x'

2

!

Fig1. Puntos equidistantes

Preliminar 2: Polinomio de Taylor AFIRMACIÓN

JUSTIFICACIÓN

𝑓 𝑥 = 𝑐# + 𝑐' 𝑥 − 𝑎* + 𝑐( 𝑥 − 𝑎 ( + 𝑐E 𝑥 − 𝑎 + ⋯ + 𝑐G 𝑥 − 𝑎 G *(3)

E

Sea f(x) una expresión algebraica constituida por una suma finita de productos entre variables y constantes [2].

G

𝑓 𝑥 =

𝑐G 𝑥 − 𝑎

La ecuación (3) puede ser presentada en una serie de potencias, desde n=0 hasta n.

G

GI#

G

𝑓 𝑥

G

=

𝑐G ∗ 𝑛! 𝑥 − 𝑎 GI#

𝑓 𝑥

G

= 𝑐G *𝑛! (4)

𝑓 𝑥 G 𝑐G * = *(5) 𝑛!

! !

G

Se introduce el conceto de que habrá n derivadas y n raíces.

Considerando que x toma en valor de a, se llega al polinomio característico [2]. Se despeja (4) y se observa que el término es similar al coeficiente n-ésimo del polinomio de Taylor, el cuál permitirá deducir los primeros coeficientes [2]. 3

!

Fig2. Polinomio de Taylor

Preliminar 3: Interpolación de Newton AFIRMACIÓN Si: 𝑓 𝑥 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑥𝑛 **(6)**

JUSTIFICACIÓN

𝑥# , 𝑓(𝑥Q ) , 𝑥' , 𝑓(𝑥' ) , 𝑥( , 𝑓(𝑥( ) , (𝑥E , 𝑓(𝑥E )), …*, (𝑥G , 𝑓(𝑥G ))* 𝑓 𝑥 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥2 + ⋯ + 𝑏𝑛 𝑥𝑛 *

Dados n pares ordenados y empleando la ecuación (6) de grado n, se puede encontrar un polinomio equivalente llamado polinomio de Newton.

𝑓 𝑥 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 − 𝑥# + 𝑏 2 𝑥 − 𝑥# 𝑥 − 𝑥' + ⋯ + * 𝑏𝑛 𝑥 − 𝑥# 𝑥 − 𝑥' … 𝑥 − 𝑥GS' ******(7)

Se obtiene (7) a partir una equivalencia entre interpolación cuadrática y lineal.

!

𝑏# = 𝑓 𝑥0 ! 𝑏' = 𝑓 𝑥1 , 𝑥0 𝑏( = 𝑓 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 ⋮ 𝑏G = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , … , 𝑥𝑜

Para encontrar los coeficientes se emplean las diferencias divididas.

!

! !

4

!

𝑥 − 𝑥0

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥# + 𝑓 𝑥' , 𝑥# + 𝑓 𝑥2 , 𝑥1 , 𝑥0 𝑥 − 𝑥 0 𝑥 − 𝑥 1 + ⋯ + *𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , … , 𝑥𝑜 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 … 𝑥 − 𝑥𝑛−1 !

Reemplazando todas las diferencias en (7), se obtiene el polinomio de interpolación de newton

Fig3. Interpolación de Newton

2.2. Demostraciones Específicas Específica 1: Método de Euler AFIRMACIÓN 𝑦 @ = 𝑓 𝑥, 𝑦 ,

! !

𝑦 𝑥Q = 𝑦Q

JUSTIFICACIÓN Se considera la representación de una derivada [3].

𝑦' 𝑥 = 𝑦 @ 𝑥Q 𝑥' − 𝑥Q + 𝑦Q *(8)

Linealizando la curva solución 𝑦(𝑥) en el punto 𝑦Q .

ℎ = 𝑥' − 𝑥# *(9)

Se deduce ℎ de (8), que representa el desplazamiento en el eje 𝑥 .

𝑦' 𝑥' = 𝑦Q + ℎ𝑦 @ 𝑥Q (10)

Se reemplaza (9) en (8).

𝑦 @ 𝑥# = 𝑓 𝑥# , 𝑦# (11)

Considerando la igualdad de nomenclaturas.

5

!

𝑦GZ' = 𝑦G + ℎ𝑓 𝑥G , 𝑦G *(12) 𝑥G = 𝑥# + 𝑛ℎ

Se reemplaza (10) en (11), y se lo expresa a la n-ésima, obteniendo así la fórmula de recurrencia [2].

Fig4. Método de Euler

Específica 2: Método de Euler predictor-corrector AFIRMACIÓN

JUSTIFICACIÓN

𝑓 𝑥# , 𝑦# *(13)

Se considera el paso (11)

𝑓 𝑥# , 𝑦# + 𝑓(𝑥' , 𝑦 𝑥' ) **(14) 2

Se realiza un cambio en (13) considerando la media entre (11) y una nueva pendiente obtenida a partir de (11) [1].

y1 = y0 +

! !

h [ f ( x0 , y0 ) + f ( x1, y( x1)) ] (15) 2

Se reemplaza (14) en (12).

6

!

z1 = y0 + hf ( x 0, y 0) (16)

y1 = y0 +

h [ f ( x0 , y0 ) + f ( x1 , z1 ) ] (17) 2

Se reemplaza el nuevo valor de 𝑦(𝑥' ), representándolo como 𝑧' . Se reemplaza (16) en (15).

h y j+1 = y j + éë f ( x j , y j ) + f ( x j+1, z j+1) ùû 2

Se expresa (17) en forma n-ésima para hallar la fórmula de recurrencia del método [4].

zj +1 = yj + hf ( xj , yj )

Se expresa (16) en forma n-ésima para explicar la fórmula de recurrecia.

j = 0,1,2,3,...

Fig5. Método de Euler predictor-corrector

Específica 3: Método de Euler mejorado AFIRMACIÓN

𝑦GZ ' (

ℎ = 𝑦G + ∙ 𝑓(𝑥G , 𝑦G ) 2

𝑦′GZ ' = 𝑓 𝑥GZ' , 𝑦GZ ' *(18) (

! !

(

(

JUSTIFICACIÓN Se modifica la ecuación (12) considerando el punto medio del intervalo. Se calcula una nueva pendiente en el punto medio.

7

!

𝑦GZ' = 𝑦G + ℎ ∙ 𝑓 𝑥GZ', 𝑦GZ ' (

(

Se usa (18) para extrapolar linealmente desde 𝑥G hasta 𝑥GZ'

Fig6. Método de Euler mejorado

2.3. Demostraciones de la Teoría de Errores: Error del Método 1: Error de truncamiento AFIRMACIÓN

𝑦 @ = 𝑓 𝑥, 𝑦 =

𝑑𝑦 𝑑𝑥

( xi , yi )

yi+1 = yi + yi ' h +

! !

yi '' 2 y ( n) h + ... + i h n + Rn (19) 2! n!

JUSTIFICACION Se consideran las nomenclaturas [5].

diferentes

Se describen los puntos inciales.

Se desarrolla la serie de Taylor a partir de los coeficientes de (5).

8

!

Rn =

Se obtiene 𝑅𝑛 considerando el término (n+1) de la expansión de Taylor obtenida en (7).

y ( n+1)( x) n +1 h (20) (n +1)!

yi+1 = yi + f (xi , yi )h +

Rn =

f '( xi , yi ) 2 f h + 2!

Se considera (11) y se reemplaza ( xi , yi ) n h + O (hn +1 ) en (19). n!

( n-1)

Se considera (11) y se reemplaza en (20), y así queda demostrado el error de Euler [5].

f '( xi , yi ) 2 h + O( h n +1) 2!

Fig7. Error Residual (Rn)

3. Caracterización Caracterización 1: Ventajas / Desventajas /Limitaciones VENTAJAS Euler permite calcular el valor aproximado de la solución incluso cuando las EDO del sistema son rígidas.

! !

DESVENTAJAS Euler predictor causa más error

9

!

Es un método sencillo de implementar en la programación.

Para mejores aproximaciones se debe considerar un promedio del punto inicial y final; y generalmente no se conoce el valor de y en el punto final. Para Euler mejorado se necesita un punto inicial y punto final.

Se puede mejorar el método aplicando un método de integración numérica más preciso, este es Euler mejorado.

Caracterización 3: Conclusiones / Recomendaciones CONCLUSIONES

RECOMENDACIONES

El método de Euler permite aproximaciones de una solución EDO bajo condiciones iniciales, su simplicidad trae consigo una serie de errores, por lo cual lo convierte en un método poco eficiente.

Se recomienda acudir a métodos de mayor elaboración cuando se obtenga errores sobresalientes utilizando el método de Euler.

Para funciones lineales no se encuentra presente el error de truncamiento, debido a que la segunda derivada es cero.

En Euler corrector es recomendable definir el valor h en función del número de divisiones n, es decir es factible hacer uso de la expresión. ℎ=

𝑥^ − 𝑥# 𝑛

4. Referencias Bibliográficas [1] S. Chapra y C. Raymond , Métodos numéricos para Ingenieros, México: McGraw Hill 5ta Ed., 2006. [2] L. Leithold, Cálculo, México D.F.: Oxford University Press, 1998. [3] J. Hernández, «Métodos numéricos para integrales,» 2012. [En línea]. Available: https://sites.google.com/site/metodosnumericosmecanica/home/unidadvi/62-mtodos-de-un-paso-mtodo-de-euler-mtodo-de-euler-mejorado-ymtodo-de-runge-kutta. [4] UAM, «Método de Euler mejorado,» 2015. [En línea]. Available: http://test.cua.uam.mx/MN/Methods/EcDiferenciales/EulerM/EulerM.php. [5] J. Mathews y K. Fink, Método numéricos con Matlab, Madrid: Prentice Hall, 2000.

! !

10

!

! !

11...