Euler Gleichung PDF

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Etwas über die eindimensionalen Eulerschen Bewegungsgleichungen...

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(Ronald Weller)

Seite 1 von 7

10.03.2019

Etwas über die Eulerschen Bewegungsgleichungen 1) Die thermische und kalorische Zustandsgleichung eines perfekten (idealen) Gases Thermische Zustandsgleichung eines idealen Gases: p=ρ∗R s∗T

Kalorische Zustandsgleichung eines perfekten Gases: spezifische innere Energie: e=cV ∗T spezifische Enthalpie: h=c p∗T Beziehung zwischen c p , c V und R s : c p =c V +R s ⇒ Rs =c p−cV ⇒ p=ρ∗ Rs∗T =ρ∗( c p −c V )∗T ⇒

p=(c p−c V )∗T ∗ρ=

(

=c V ∗

cV ∗( c p−cV )∗T∗ρ cV

c p−c V ∗T ∗ρ=c V ∗( γ−1 )∗T ∗ρ cV

)

( )

= ( γ−1)∗( c V ∗T )∗ρ= ( γ−1 )∗e∗ρ

,

γ=

cp cV

wobei folgendes gilt: p : Druck , ρ: Dichte , T : Kelvintemperatur , c V : spezifische Wärmekapazität für gleichbleibendes Volumen ( =const) , c p : spezifische Wärmekapazität für gleichbleibenden Druck ( =const ), Rs : spezifische Gaskonstante .

Seite 2 von 7 2) Die Eulerschen Bewegungsgleichungen in Erhaltungsform Perfektes Gas Kompressibler Fall ∂ ρ + ∂ (ρ∗v) = 0 (1.1 ) ∂x ∂t ∂ (ρ∗v) + ∂ (ρ∗v 2+ p) = 0 (1.2 ) ∂t ∂x

(( ) 2

v ∂ ρ∗ +e ∂t 2

( ( ) ) 2

v + ∂ v∗ρ∗ +e +v∗ p = 0 ∂x 2 p=(γ−1)∗e∗ρ

(1.3)

Gleichung A

( 1.4 )

ρ : Dichte ,

p : Druck , e : spezifische innere Energie , c v :Geschwindigkeit , γ= p :Verhältnis der spezifischen Wärmen cv

3) Die Eulerschen Bewegungsgleichungen nicht in Erhaltungsform Perfektes Gas Kompressibler Fall ∂ ρ + ∂ (ρ∗v) = 0 (2.1) ∂t ∂x ∂ v + v∗ ∂ v + 1 ∂ p = 0 (2.2) ρ ∂x ∂x ∂t ∂ e + v∗ ∂ e + p ∗ ∂ v = 0 (2.3) ρ ∂x ∂x ∂t p=(γ−1 )∗e∗ρ ρ : Dichte ,

( 2.4 )

p : Druck , e : spezifische innere Energie , c v :Geschwindigkeit , γ= p :Verhältnis der spezifischen Wärmen cv

Gleichung B

Seite 3 von 7 4) Zeige, dass Gleichungen A und B äqivalent sind: Dass (1.1) und (2.1) äquivalent sind, ist offensichtlich. Nun zeigen wir, dass (1.2) und (2.2) äquivalent sind. (1.2)

0= ∂ (ρ∗v) + ∂ (ρ∗v 2+ p ) ∂x ∂t

=v∗ ∂ ρ + ρ∗ ∂ v + ∂ (ρ∗v∗v ) + ∂ p ∂x ∂x ∂t ∂t

=v∗ ∂ ρ + ρ∗ ∂ v + v∗ ∂ (ρ∗v) + ρ∗v∗ ∂ v + ∂ p ∂x ∂x ∂t ∂t ∂x =v∗

(∂∂t ρ + ∂∂x (ρ∗v ))

+ ρ∗ ∂ v + ρ∗v∗ ∂ v + ∂ p ∂x ∂t ∂x

=0 =ρ∗ ∂ v + ρ∗v∗ ∂ v + ∂ p ∂x ∂x ∂t

⇔

1 0= ∂ v + v∗ ∂ v + ρ ∗ ∂ p ∂x ∂t ∂x

(2.2)

w.z.b.w.

Zum Schluss zeigen wir noch dass (1.3) und (2.3) äquivalent sind

( ( ))

v2 0 = ∂ ρ∗ +e ∂t 2

(1.3)

(

( ( ) )

v2 +e +v∗ p + ∂ v∗ρ∗ ∂x 2

)

ρ∗v∗v = ∂ + ∂ (ρ∗e ) 2 ∂t ∂t

(

)

+

∂ ρ∗v∗v∗v 2 ∂x

+

∂ ( v∗ p) ∂x

=

1 ∗ v∗ ∂ (ρ∗v )+ρ∗v∗ ∂ v +ρ∗ ∂ e+e∗ ∂ ρ ∂t 2 ∂t ∂t ∂t

+

1 ∗ v∗ ∂ (ρ∗v∗v ) + ρ∗v∗v∗ ∂ ( v ) 2 ∂x ∂x

(

(

+ ∂ ( ρ∗v∗e ) ∂x

)

) + e∗ ∂∂x (ρ∗v )

+ ρ∗v∗ ∂ e ∂x

Seite 4 von 7 + v∗ ∂ p + p∗ ∂ v ∂x ∂x =

(

)

1 ∗ v∗ ∂ (ρ∗v )+ρ∗v∗ ∂ v +ρ∗ ∂ e ∂t ∂t 2 ∂t

+e∗ ∂ ρ + e∗ ∂ ( ρ∗v ) ∂x ∂t = 0 +

(

1 ∗ v∗ ∂ (ρ∗v∗v ) + ρ∗v∗v∗ ∂ ( v ) 2 ∂x ∂x

) + ρ∗v∗ ∂∂x e

+ v∗ ∂ p + p∗ ∂ v ∂x ∂x

(

)

=

1 ∗ v∗ ∂ (ρ∗v )+ρ∗v∗ ∂ v +ρ∗ ∂ e ∂t ∂t ∂t 2

+

1 ∗ v∗ ∂ (ρ∗v∗v ) + ρ∗v∗v∗ ∂ ( v ) 2 ∂x ∂x

(

) + ρ∗v∗ ∂∂x e

+ v∗ ∂ p + p∗ ∂ v ∂x ∂x

(

)

=

1 ∗ v∗ ∂ (ρ∗v )+ρ∗v∗ ∂ v ∂t 2 ∂t

+

1 ∗ v∗ ∂ (ρ∗v∗v ) + ρ∗v∗v∗ ∂ ( v ) 2 ∂x ∂x

(

) + v∗ ∂∂x p

+ρ∗ ∂ e + ρ∗v∗ ∂ e + p∗ ∂ v ∂x ∂x ∂t =

v ∂ v v ∗ (ρ∗v ) + ∗ ∂ ( v∗v∗ρ) + ∗ ∂ p 2 ∂t 2 ∂x 2 ∂x

+

ρ∗v∗v ∂ ρ∗v ∂ v v + ∗ ∂ p ∗ v + ∗ ∂t ∂x 2 ∂x 2 2

+ρ∗ ∂ e + ρ∗v∗ ∂ e + p∗ ∂ v ∂x ∂t ∂x =

(

)

v ∗ ∂ v∗ρ ( ) + ∂ ( v 2∗ρ+ p) 2 ∂t ∂x = 0

Seite 5 von 7 +

(

ρ∗v 1 ∗ ∂ v + v∗ ∂ v + ρ ∗ ∂ p ∂x ∂t ∂x 2 = 0

)

+ρ∗ ∂ e + ρ∗v∗ ∂ e + p∗ ∂ v ∂x ∂x ∂t = ρ∗ ∂ e + ρ∗v∗ ∂ e + p∗ ∂ v ∂x ∂x ∂t

(

)

p = ρ∗ ∂ e + v∗ ∂ e + ρ ∗ ∂ v ∂x ∂x ∂t p 0 = ∂ e + v∗ ∂ e + ρ ∗ ∂ v ∂t ∂x ∂x

⇒

(2.3)

w.z.b.w

5) Darstellung der Eulerschen Bewegungsgleichungen in eine für Partikelmethoden (z.B. SPH – Smoothed Particle Hydrodynamics) geeignete Integralform Transformation der Differentialgleichungsform der Impulserhaltungsgleichung in eine für die Integralform geeignete Darstellung 0 = ∂ (ρ∗v ) + ∂ (ρ∗v 2+ p) ∂t ∂x

(

p ∗ρ∗v = ∂ (ρ∗v ) + ∂ v∗ρ∗v+ ∂t ρ∗v ∂x = ∂ (ρ∗v ) + ∂ ∂t ∂x

((

v+

= ∂ (i) + ∂ (V i∗i ) , ∂x ∂t

)

) )

p ∗ρ∗v ρ∗v

( pi ).

i=ρ∗v , V i= v +

Darstellung der Impulserhaltungsgleichung in eine für Partikelmethoden geeignete Integralform xei (t )

const= I

(

∫

=

i x a(0) , x ei (0)

i

)

p( x k (t) , t) d i i x k (t )=V i ( x k (t) ,t )= v ( xik (t) ,t )+ , dt i( xi (t) , t) k

i( x , t)dx ,

x ia(t ) i o x k (0)=x k∣i , k =a∧k =e ,

x ai (t)...